Функции вероятности и средние значения

Такие средние величины называют средними по совокупности . Здесь dW(p, д)—вероятность того, что наугад выбранная система попадет в бесконечно малую область Г-пространства в окрестности данной точки (р, д). Строгое определение величины ( (р,д) дано ниже ( 2), но основная идея достаточно ясна. Средние значения Р можно вычислить, если будет найден общий вид функции Ц "(р, д). Для произвольных систем эта функция не известна и не единственна. Однако для макроскопических равновесных систем такую функцию распределения действительно удалось найти. Усреднение с помощью W p, д) оказалось практически возможным и это привело ко многим новым результатам. Так возникла статистическая механика. С ее помощью были развиты новые методы расчета физических свойств макроскопических систем на основе их молекулярных моделей. Статистическая термодинамика— это раздел статистической физики, посвященный термодинамическим свойствам равновесных макроскопических систем. [c.191]

Проекция Xi вектора г на ось Ох является функцией двух случайных величин г и 0,. Среднее значение и дисперсия проекции вектора г определяется исходя из следующих теорем теории вероятностей. [c.28]

При обработке результатов измерений пульсирующих параметров и для установления закономерностей поведения последних, естественно, приходится применять статистические методы и характеристики. Весьма подробная статистическая характеристика — это функция распределения вероятностей различных значений данного параметра, например, локальной плотности (р). Менее полными, но зачастую достаточными для практики являются первые моменты функции распределения среднее значение параметра, среднее квадратичное отклонение от среднего и т. д. Часто используют и среднее абсолютное отклонение от среднего значения. [c.85]

Математическое ожидание функции или переменной будет обозначаться символом Е I, где аргумент в скобках обозначает конкретную функцию (переменную). Каждое среднее по ансамблю представляет собой детерминированную функцию, описывающую определенные характеристики случайной переменной, такие как ее наиболее вероятное (среднее) значение или разброс (дисперсию). (Обычно слова по ансамблю опускаются, но молчаливо подразумеваются, когда говорят о среднем.) [c.31]

Итак, два приема упрощения среднее значение заменяется наиболее вероятным и среднее значение функции заменяется функцией от среднего значения. Эти приемы могут давать заметные ошибки, но в качестве первого приближения бывают полезны. Совсем простым аналогом может служить известное несовпадение в общем случае средней скорости со средним арифметическим скоростей на отрезках пути. [c.80]

В работах [207] предложено перейти от непрерывной функции распределения плотности вероятности параметров системы к дискретному (приближенному) ее выражению. Можно, например, диапазон изменения каждого из п неопределенных параметров разделить на т интервалов. В пределах каждого интервала можно пользоваться средним значением функции распределения плотности вероятности соответствующего параметра системы. [c.336]

Рис. 12.1-3. Функция плотности вероятности нормального (гауссова) распределения, имеющего среднее значение р и дисперсию <т . Площади под кривой в пределах ц а, / 2<т и / 3<т равны вероятностям нахождения значения величины в пределах соответствующего интервала и равны 68,3, 95,4 и 99,7%.

Для определения средних значений функцию системы разлагают в ряд по собственным функциям оператора данной величины. Квадраты коэффициентов разложения суть вероятности найти при измерении для данной величины одно из собственных значений оператора этой величины. [c.58]

Газы. Предположим, что атомы — непроницаемые шарики. Тогда можно утверждать, что вероятность сближения двух атомов на расстояние R а 2г равна нулю (рис. 1.3,а). Если плотность газа очень мала, то за пределами сферы радиуса R = 2г расположение атомов по отношению к фиксированному будет равновероятным (хаотическим). Число атомов в единице объема на этом расстоянии равно среднему значению Рат функция W R) = I. Если же газ достаточно плотный, то при / = 2г функция W R) имеет максимум, при R С 2г она стремится к нулю, а при Н > 2г — к единице (рис. 1.3,6). [c.13]

Как будет показано ниже, по результатам эксперимента в аппарате с интенсивным перемешиванием можно определить кинетическую кривую для каждого компонента С вектора концентрации с [10]. Б выходном потоке доля объемов, пробывших в системе время от т до т + т, определяется функцией плотности вероятности /5(т). Для установившегося состояния концентрация в объеме, пробывшем в реакторе время т, равна С (т). Здесь Сг(т) —решение уравнения кинетики (интегральная кривая) рассматриваемой химической реакции. Так как время т — случайная величина с плотностью распределения р(т), то среднее значение концентрации на выходе подсчитывается как математическое ожидание функции случайной величины по формуле [c.274]

Если воспользоваться диффузионным приближением [151, то можно найти функцию плотности вероятности Ф(х) того, что ча стота аллеля А1 находится в интервале от х до х+бх. Для это го достаточно определить среднее значение изменения часто , за единицу времени М5 и дисперсию изменения частоты х Оказывается, что М5 = -да + о(1-х) + х(1-х)/(2Ш>й1 /<ах, х(х-1)/(2Ы), [c.84]

Эти функции позволяют определить плотность распределения вероятности в каждом стационарном квантовом состоянии и, следовательно, позволяют найти средние значения координаты, импульса и других величин в этих состояниях. Так, среднее значение импульса в состоянии ф будет получаться как [c.32]

Упражнение. Жгутиковая бактерия передвигается в химическом градиенте с постоянной скоростью вдоль оси X. В случайные моменты времени она останавливается и с равной вероятностью продолжает движение либо в направлении дг, либо в направлении —дг. Однако вероятность остановки за единичное время зависит от направления движения, так что она в конечном счете влияет на результирующее смещение X (/). Найдите характеристическую функцию величины (I), а также ее среднее значение и дисперсию . [c.370]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов Наконец, в разд. 3 3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия [c.78]

Пример 1 Рассмотрим функцию правдоподобия для среднего значения и дисперсии нормальной плотности вероятности, причем предполагается, что выборка состоит из п наблюдений [c.128]

Отсюда функция правдоподобия, рассматриваемая как функция от р., с точностью до множителя равна нормальной плотности вероятности со средним значением х и дисперсией а7л В противоположность этому в методе выборочных распределений X имеет нормальное распределение со средним значением (х и дисперсией <1 1 п [c.147]

Чтобы проиллюстрировать описанные в предыдущих разделах способы получения выводов, основанных на правдоподобии, рассмотрим задачу оценивания среднего значения и дисперсии по выборке наблюдений, которые по предположению имеют нормальную плотность вероятности Воспользовавшись (4 2 1), получаем функцию правдоподобия для [х и в виде [c.159]

Объяснить значение фундаментальных статистических терминов дискретная и непрерывная случайная величина, генеральная совокупность, плотность вероятности, функция распределения случайной величины, моменты функции распределения, среднее, дисперсия, объем выборки, выборочное распределение, выборочные параметры. [c.416]

Распределение случайной величины X называется нормальным (гауссовым) со средним значением x и дисперсией если ее функция плотности вероятности имеет следующий вид (см. также рис. 12.1-3) [c.423]

При нормальном распределении вероятностная функция f(x) распределения частот также выражается колоколообразной кривой. Измеряемая величина х может изменяться от —оо до +0О, а вероятность максимальна при ее среднем значении ц. Вероятность нахождения значений х в диапазонах, далеких от J1, уменьшается с возрастанием х—р, . Нормальное распределение полностью описывается двумя параметрами, от и ц. Среднее значение tx определяет положение кривой распределения относительно оси абсцисс, а стандартное отклонение о определяет форму кривой. Большие значения а приводят к широким и плоским пикам, а малые значения ст соответствуют узким и острым пикам. [c.39]

В самой монографии Вальда отмечается, что последовательного критерия, который обеспечивал бы минимальную продолжительность контроля при любом значении контролируемого параметра, не существует. Критерий отношения вероятностей оптимизирует значение функции среднего числа наблюдений лишь при фиксированных значениях контролируемого параметра, т.е. когда значение параметра совпадает либо с проверяемой либо с альтернативной гипотезами. Конечно при практическом применении метода это почти никогда не будет выполняться, поэтому правильнее считать, что параметр всегда будет отличаться от отмеченных выше фиксированных значений. В этом случае, как отмечается в [1], необходимо исходить из некоторого компромисса. [c.6]

Здесь / действует в функции р(х, х) только на переменные J ] после вычисления результата воздействия надо положить х =х. Таким образом, зная матрицу плотности, можно определить вероятность различных физических величин, характеризующих систему, и их средние значения. [c.30]

Конкретная реализация такого подхода может быть совершенно различной в зависимости от того, какой участок спектра турбулентности рассматривается. Например, в мелкомасштабной части несколько первых структурных функций не дают достаточной информации о локальных характеристиках турбулентности, так как амплитуда пульсаций диссипации значительно превышает ее среднее значение. Следовательно, необходимо использовать уравнение для плотности вероятностей разности скоростей. [c.262]

Второй член в правой части уравнения (4.104) учитывает асимметрию взаимного отталкивания, а третий — смягчение колебаний при больших амплитудах. Если смещения атомов от положения равновесия х малы, тогда членами с х и х можно пренебречь по сравнению с и колебания будут гармоническими. При относительно больших смещениях от положения равновесия пренебречь этими членами разложения нельзя, и колебания становятся ангармоническими. Найдем среднее смещение < х ) атомов от положения равновесия, которое и определяет изменение размеров тела при изменении температуры (для этого воспользуемся функцией распределения Больцмана, которая позволяет провести усреднение значений какой-либо физической величины с учетом термодинамической вероятности соответствующих значений) [c.163]

Множитель е/р =Я есть коэффициент диффузионной проницаемости (КДП). Согласно данному в предыдущем разделе определению, мерой извилистости была выбрана величина, обратная косинусу угла 0, характеризующего угол наклона оси капилляра к направлению диффузии. В изотропной пористой структуре все направления пор равновероятны. Вероятность пересечения порой плоскости, перпендикулярной оси X, под углом 0 определяется плотностью распределения /(0) =2 os0sin0. Используя эту функцию, определим среднее значение коэффициента извилистости [c.164]

В последнее время интенсивно развиваются методы, основанные на идеях, заимствованных из статистической физики, которые позволяют учесть хаотичный характер расположения частиц. Начало использованию статистических методов в механике суспензий было положено Бюр-герсом [96]. Далее методы статистического осреднения были развиты в работах Тэма [113] и Бэтчелора [114-116]. На наш взгляд, наиболее законченную фюрму эти методы приобрели в работах Буевича с сотрудниками [ 96, 117-119] и Хинча [120]. Главная идея, лежащая в основе указанных методов, состоит в том, что законы сохранения и реологические соотношения, описывающие некоторое произвольное состояние системы частиц (конфигурацию расположения центров частиц), должны усредняться по ансамблю возможных состояний системы. Такой ансамбль полностью описьгаается функцией распределения P t, Сдг), которая представляет собой плотность вероятности конфигурации N частиц в ЗЖ-мерном фазовом пространстве, образованном компонентами радиус-векторов Р центров частиц jv = . При этом среднее значение локальной физической величины 0(t, r ), которая связана с точкой г дисперсной системы и определяется конфигурацией jV, дается выражением [c.69]

В работе [426] для получения среднего значения ехр (- /R Г), где Е — энергия активации реакции, использовался следующий прием. Величина ехр (—f/RD раскладывалась в ряд Тейлора вблизи 7 и осреднялась по произвольной функции плотности вероятности пульсаций температуры. Ограничиваясь приближением вторых моментов, легко получить [c.180]

Из анализа функции нормального распределения (см. рисунок 5.7.1) следует, что около 66 % всех измеренных величин отклоняются от среднего значения менее чем на 5, 95 % — менее чем на 13, а вероятность появления отююнения от среднего значения дг на 35 уже пренебрежимо мала (0,003 %). [c.277]

В работах [1, 2] даны выводы вероятностного закона распределения коэффициента охвата неоднородного пласта фильтрацией и расчеты по определению среднего значения этого коэффициента. Исходной предпосылкой в этих работах является предположение, что распределение проницаемости по объему пласта описывается законом распределения М. М. Саттарова. При выводах используется имеющееся в теории вероятностей соотношение, позволяющее отыскать закон распределения функции по известному закону распределения аргумента. Функциональная связь между проницаемостью и коэффициентом охвата пласта фильтрацией получена нами ранее и также приведена в работе [1]. [c.60]

Использование диаграммы квантилей для определения параметров распределения может привести к ошибочным выводам ла счет элементов субъективизма, неизбежных при графической обработке исходных статистических данных. Так, по пласту Ди Константиновского и Туймазинского месторождений значения статистической функции распределения проницаемости на диаграмме квантилей вполне удовлетворительно укладываются около прямой (рис. 1). При этом средние значения проницаемости, полученные с помощью диаграммы квантилей, и среднеарифметические значения практически одинаковы. Однако оценка соответствия теоретического распределения М. М. Саттарова наблюдаемому статистическому распределению по критерию согласия А. Н. Колмогорова дает очень малую вероятность соответствия. В то же время гамма-распределение дает сравнительно хорошее согласие с наблюдаемым статистическим распределением. [c.62]

Зная дифференциальную функцию распределения F у (х), можно найти среднее значение параметра х, так называемое математическое ожидание. Согласно теории вероятности, математическое он идание находят по формуле [c.8]

Заметим, что для малых систем, рсли функция / X) несимметричная, различие между величинами X и X может быть значительным. Так, для молекулы ц/и 1,13, где V —наиболее вероятное значение модуля скорости [ему отвечает максимум на кривой / (у)] и — среднее значение (см. гл. IV, 2 и 3). [c.65]

Степень упорядоченности я имеет определенное значение для каждой конфигурации системы. В теории упорядоченности ставится задача нахождения среднего статистического (наиболее вероятного) значения этой величины, которое будет обнаруживаться на опыте. Требуется установить зависимость среднего значения з от температуры и выявить связь этой величины с термодинамическими функциями. Точка перехода порядок—беспорядок определяется в соответствии с условием 3 >0 при Т < 5 = О при Т Т , где 5 — среднее (наблюдаемое на опыте) значение степени дальней упорядоченности. Особый интерес представляет нахождение связи между величиной и энергетическими характеристиками взаимодействия частиц, а также определение свойств системы вблизи точки перехода. [c.345]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

ЦИИ (гл. 9). Обычно этот критерий возникает в форме неполного дифференциала, а это означает, что не существует термодинамического потенциала, который может быть в классическом смысле связан с этим критерием. Однако он может быть использован для обобщения понятия термодинамический потенциал — это так называемый локальный потенциал (гл. 10). Главная особенность метода локального потенциала состоит в том, что каждая неизвестная функция (например, распределение температуры в нелинейной задаче теплопроводности) появляется дважды один раз — как среднее значение и другой раз — как флуктуирующая величина. Это приводит к обобщению классической вариационной техники на несамосопряженные задачи. Локальный потенциал достигает минимума (в функциональном смысле), когда среднее значение совпадает с наиболее вероятным. [c.13]

Во многих практических статистических задачах необходимо рассматривать нелинейные функции от случайных величин Например, большинство задач спектрального анализа являются нелинейными За исключением некоторых специальных случаев, невозможно вывести точные плотности вероятности этих нелинейных функций, и, следовательно, нужно описывать эти плотности вероятности с помощью их моментов В этом разделе показывается, как вывести приблпл(енные выражения для среднего значения и дисперсии нелинейной функции от случайных величин. [c.99]

Предположим, мы хотим собрать конечную выборку наблюдений Х[, хо,, Хп, ПО которым нам нужно сосчитать некоторую функцию х(хи Хг,, х ), например среднее значение Тогда, прежде чем данные собраны, можно описать все возможные наборы данных, которые можно было бы получить с полшщью случайных величин Хи Хг,, Хп Таким образом, полнота возможных экспериментов описывается /г-мерным выборочным пространством, с которым можно связать совместную плотность вероятности /12 п Хг,, Хп) Используя методы, описанные, например, в [2], можно затем вычислить плотность вероятности х х) функции А (А, , Хг, [c.102]

Таким образом, функция правдоподобия, у которой в качестве аргумента взят агсзш У/7, будет лучше аппроксимироваться нормальной плотностью вероятности со средним значением ф и дисперсией а , получаемой из (4 4 14) [c.158]

Проанализировав п образцов, мы получим выборку из п независимых случайных величин Хг,Х2,... Хп, характеризующихся некоторой функцией распределения. Из этих данных можно оценить значение некоторого параметра распределения т (например, среднего /х или дисперсии ст ), используя соответствующую функцию Т Х) от результатов измерений она называется оценша-телем. Величина Т(Х) — также случайная она имеет свою собственную функцию распределения, среднее и дисперсию. Примером оценивателя может служить выборочное среднее, описанное в разд. 2.4. Разумеется, для каждой конкретной выборки мы получим свое значение реализацию) величины Т она называется оценкой. От надежных оценок требуется, чтобы вероятность их близости к истинному значению оцениваемого параметра была высокой. В идеальном случае центром распределения Т должно быть значение т, т. е. Е(Т) = г. Оцениватель, удовлетворяющий этому требованию, называется несмещенным. Как отмечено выше, Е(Х) = /х и Е з ) = поэтому выборочные среднее и дисперсия — несмещенные оценки соответствуюш,их генеральных параметров. [c.429]

О < р < 1 — вероятность успеха в отдельном испытании Гипергеометрическая функция Диагональная матрица, элементы главной диаг онали которой равны элементам вектора V (только для Math ad Professional) Плотность вероятности для логарифмического нормального распределения (ц — натуральный логарифм среднего значения, ст > О — натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения, х > 0) Плотность вероятности для логистического распределения (1 — параметр разложения, [c.436]