Уравнение диффузии Фика Фурье

Это есть уравнения Фика, Фурье и Ньютона, в которых О — коэффициент диффузии с — концентрация х — координата Т — температура Я, — коэффициент теплопроводности т] — коэффициент вязкости V — скорость движения потока. Эти уравнения фактически определяют скорость приближения системы к равновесию. Эти уравнения можно дополнить конвективным членом, членом, учитывающим диффузию, неоднородность системы по фазовому состоянию и химический процесс, а также другие составляющие потока. [c.252]

Математическая модель формально описывается уравнениями диффузии и теплообмена [76], составленными на основе классических законов Фика и Фурье — Кирхгоффа дС. [c.40]

Совершенно аналогичен вывод, исходящий из закона (12.7) и приводящий к уравнению диффузии (Фика — Фурье) [c.182]

Частные случаи общего дифференциального уравнения переноса (4.0), отражают линейные законы переноса импульса (Навье-Стокса для вязкой жидкости), массы (Фика для диффузии) и энергии (Фурье). Ко.эффициенты пропорциональности в этих уравнениях известны как динамический [c.150]

Закон Фика и дифференциальное уравнение диффузии сформулированы как аналоги соответствующих закона Фурье и дифференциального уравнения теплопроводности [c.15]

В роли феноменологического коэффициента, связывающего потоки и силы, могут выступать коэффициент диффузии О, закон Фика), коэффициент проницаемости Ьр, закон Дарси), коэффициент теплопроводности (а, закон Фурье), кинематическая вязкость и = г]/р, закон Ньютона) и удельная электропроводность (1//2, закон Ома). Феноменологические уравнения представлены в табл. 1-7. [c.32]

В уравнениях сохранения фигурируют такие величины, как касательное напряжение, тепловой и диффузионный потоки. В случае ламинарного пограничного слоя эти величины выражаются через закон вязкости Ньютона, закон теплопроводности Фурье и закон диффузии Фика. Представляется удобным принимать, что и для турбулентных течений эффективные касательные напряжения, тепловой ноток и т. д. также следуют этим законам с заменой коэффициентов ламинарного переноса на эффективные коэффициенты обмена, которые обычно гораздо больше первых. [c.27]

Потоки и силы взаимозависимы. Их связь легко устанавливается для одного потока, возникающего под действием одной силы. Таковы решения уравнения теплопроводности Фурье (поток тепла, сила — разность температур), уравнения диффузии Фика (поток вещества, сила — разность концентраций) и т. д. В химических реакциях мы имеем дело со скалярными потоками и силами. Таким образом, в линейном приближении потоки пропорциональны силам [c.24]

Здесь с обозначает концентрацию диффундирующего вещества т — время д — расстояние по направлению диффузии. Фик показал наличие полной формальной аналогии между явлениями диффузии и процессами теплопроводности. Это позволило ему применить уравнения теплопроводности Фурье к случаю диффузии. Первый и второй законы Фика формально тождественны с первым и вторым законами Фурье. Интегрирование второго уравнения Фурье сопряжено с известными вычислительными трудностями. Но способы интегрирования этого уравнения излагаются в курсах теории теплопередачи. Излагаемыми в этих курсах решениями второго уравнения Фурье можно воспользоваться для подсчетов диффузии при электролизе на капельном ртутном катоде. Д. Илькович тщательно учел характер диффузии ионов к поверхности капелек ртути, вытекающих из капилляра, и пришел к следующему выражению для силы тока (уравнение Ильковича) [c.290]

Если процесс тормозится транспортом вещества не к внешней, а к внутренней поверхности контакта, например к внутренней поверхности зерен твердого пористого катализатора, то необходимо учитывать скорость тормозящей стадии — внутреннего транспорта. В этом случае модель усложняется, так как концентрации Су и температура изменяются по поверхности контакта в зависимости от радиуса зерна контактного материала Д. Скорость внутреннего транспорта можно описать законами Фика и Фурье, применив эффективный коэффициент внутренней диффузии эф и эффективный коэффициент теплопроводности Хэф. При этом для неподвижного слоя идеального вытеснения можно пользоваться моделью (11.11), изменив уравнения для расчета [c.74]

Дифференциальные уравнения. Законы природы, которые управляют течением химически реагирующей жидкости, можно разделить на два класса законы сохранения и законы для потоков. Первый класс включает первый закон термодинамики, принцип сохранения массы и закон сохранения индивидуальных химических элементов второй класс включает закон теплопроводности Фурье и закон диффузии Фика. Здесь будем пользоваться той же системой обозначений и теми же приемами, что и в предыдущей статье Л. 50], и сосредоточим внимание на двух дифференциальных уравнениях для стационарного течения газа со средними скоростями без учета эффектов гравитации, электрического, магнитного и электромагнитного полей. Это дает [c.186]

Первые исследования в области термодинамики необратимых процессов, а именно теплопроводности, были выполнены в 1822 г. Ж. Фурье. В полученном им дифференциальном уравнении распространения тепла внутри твердого тела учитывались время и производные по времени. В 1826 г. Г. Ом экспериментально установил свой знаменитый закон электрической цепи Дж. Стокс в 1845 г. разработал теорию движения вязкой жидкости (уравнение Навье—Стокса), а А. Фик в 1855 г. получил уравнение диффузии. Все это эмпирические истоки будущей неравновесной термодинамики. Ее становление в качестве особой области физики началось только в 1931 г., когда Л. Онсагер сформулировал принцип, представляющий собой обобщение физических соображений, лежащих в основе выводов уравнений движения Фурье, Ома, Стокса и Фика. [c.443]

Примерами линейных эмпирических определяющих уравнений являются ньютоновский закон вязкости, закон теплопередачи Фурье и закон Фика диффузии массы. Эти соотношения уже рассматривались в разд. 5.1. [c.134]

Поведение сплошной среды описывается уравнениями, следующими из законов сохранения массы, заряда, количества движения, момента количества движения и энергии. Эти уравнения должны быть дополнены соотношениями, отражающими принятую модель сплошной среды, которые называются определяющими уравнениями или феноменологическими соотношениями. Примерами определяющих уравнений являются закон Навье — Стокса, который устанавливает линейную зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций закон Фурье, согласно которому поток тепла пропорционален градиенту температуры закон Фика, в соответствии с которым поток массы пропорционален градиенту концентрации вещества закон Ома, который гласит, что сила тока в проводящей среде пропорциональна напряженности приложенного электрического поля или градиенту потенциала. Эти определяющие уравнения были получены экспериментально. Коэффициенты пропорциональности — коэффициенты вязкости, теплопроводности, диффузии, электропроводности, называемые коэффициентами переноса, могут быть получены экспериментально, а в некоторых случаях и теоретически с использованием кинетической теории [1]. [c.45]

Очевидно, имеется принципиальная возможность создания программных комплексов, объединяющих рассмотрение термодинамики и кинетики химических процессов. Для этого необходимо использовать достижения термодинамики неравновесных процессов, в развитии которой определенную роль сыграли кинетические соотношения и уравнения, в частности, кинетические уравнения таких неравновесных процессов, как теплопроводность (уравнение Фурье), течение вязкой жидкости (уравнение Навье — Стокса), диффузия (уравнение Фика) и др. [c.25]

Впервые метод расчета диффузии дал А. Фик (1855 г.), использовав для вывода уравнения аналогию с теплопроводностью, изученной Фурье. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество диффундирующего вещества j, переходящее за единицу вре- [c.28]

На развитие учения о растворах большое влияние оказали работы зарубежных ученых. Д. В. Гиббс сформулировал известное правило фаз. Я. Вант-Гофф показал, что осмотическое давление разбавленных растворов подчиняется уравнению состояния идеальных газов он ввел понятие об изотоническом коэффициенте. Швейцарский физик А. Фик распространил законы теплопроводности Фурье на диффузию в растворах. Нернст вывел уравнение для коэффициента диффузии. [c.9]

Это — уравнение второго закона диффузии. Оно показывает, что изменение концентрации в единицу времени при диффузии пропорционально второй производной от концентрации по расстоянию. Законы диффузии принято связывать с именем швейцарского физика А. Фика, который в 1855 г. вывел уравнения законов диффузии, исходя из законов теплопроводности Фурье. Приведенная выше теория диффузии была развита В. Нернстом (1888 г.). [c.119]

Неудовлетворительное описание теплопроводности и диффузии при больших градиентах - температуры и концентрации линейными уравнениями Фурье и Фика является следствием того, что, как отмечалось ранее, линейные градиентные законы переноса могут быть обоснованы только в предположении о незначительности отклонения рассматриваемой степени от состояния термодинамического равновесия, а тем самым и малости градиентов потенциалов переноса. [c.31]

Диффузия — это процесс переноса вещества из одной части системы в другую, вызванный тепловым движением молекул. Феноменологическая 1, 5] теория диффузии основывается на законе Фика, который первым дал количественную теорию диффузии, использовав уравнения теплопроводности, полученные несколько ранее Фурье. Закон Фика устанавливает связь между градиентом концентрации и потоком диффузии. Закон Фика дает [c.5]

Мы уже не раз говорили, что, хотя представления принципа наименьшего рассеяния энергии через силы и через потоки в принципе эквивалентны друг другу, практически дело обстоит иначе. Так, априори ясно, что при представлении принципа через потоки невозможен непосредственный вывод уравнений переноса (уравнений Фурье, Фика, Навье — Стокса и т. д.), если при варьировании по потокам ставится условие постоянства сил. Причина этого заключается в том, что при выводе уравнений переноса, описывающих теплопроводность, диффузию, вязкое течение и т. д., необходимо варьировать интенсивные величины, т. е. температуру, химические потенциалы, скорость и т. д. Это, однако, несовместимо с представлением через потоки, где налагается условие постоянства сил, определяемых отрицательными градиентами интенсивных величин. Указанная трудность автоматически исключается в представлении через силы. Следовательно, естественно ожидать, что представление через силы окажется более плодотворным (по крайней мере в практическом отношении, как и в стационарном случае), чем представление через потоки. [c.206]

Сходстёо между молекулярным переносом тепла и вещества вытекает из сравнения уравнения теплопроводности Фурье с уравнением диффузии Фика [c.51]

Основным законом, описывающим все типы контактного теплообмена, является закон теплопроводности Фурье (см. уравнение (4) из 2.1.2). Основным законом п теории массопереноса является закон диффузии Фика, описываемый уравиеиием (5) 2.1.2. Это уравнение, однако, применимо только п том случае, когда коэффициенты диффузии всех компопемтов равны, а полный поток массы [c.88]

Прн таком определегши понятия вязкости т) достигается единообразие математического смысла вязкости и других коэф])ициентов в уравнениях, описывающих явления переноса в уравнениях переноса массы, теплоты, заряда и импульса. Свойства материалоз, связанные с этим[[ процессами (коэффициент диффузии, теплопроводность, электрическая проводимость и вязкость соответственно), определяются как ксэ 1)4)ициенты в уравнениях Фика, Фурье, Ома и Ньютона. [c.186]

Понятие массы количественно характеризуюет материалы по их способности участвовать в основных явлениях переноса подобно коэффициентам диффузии, теплопроводности и электропроводности в уравнениях Фика, Фурье и Ома соответственно и вязкости в законе внутреннего трения (3.10.2). [c.673]

В термодинамике два основных направления возникли почти одновременно в 1822 г. появилась работа Фурье Аналитическая теория тепла [1], а в 1824 г.— Размышления о движущей силе огня Карно [2]. Обе они основывались на понятии о теплороде как неуничтожаемом флюиде (благополучно перекочевавшем и в современные учебники под видом тепловой энергии) в обеих температура рассматривалась одинаково у Фурье как аналог потенциала, градиент которого является теплорододвижущей силой , у Карно как тепловой потенциал, разность значений которого определяет направление перехода теплорода, возможного лишь при Гг >7 . В сущности, оба определения тождественны. Время и производные по времени содержались только у Фурье, тогда как в работе Карно время не фигурировало, что наложило отпечаток на все развитие термодинамики и дало основание Брайяну поставить эпиграфом к его статье в Энциклопедии математических наук изречение Термодинамика не знает времени . Далее идеи Фурье развивались в наиравлении нахождения уравнений динамики различных процессов Ом [3] вывел в 1827 г. свой знаменитый закон, Фик [4] в 1855 г. — уравнения диффузии. [c.5]

Теории диффузии. Современные теории подходят к изучению разновидностей диффузии, с одной стороны, феноменологически, не принимая во внимание атомную структуру тел, и, с другой, — рассматривая конкретную атомную модель (микроскопические теории). Феноменологическая теория, предполагающая, что диффузия протекает в результате наличия градиента концентрации, была разработана Фиком, взявшим за основу уравнения теплопроводности, выведенные Фурье. Уравнения Фика являются простейшими в теоретическом описании процессов диффузии при постоянной температуре. Они не учитывают механизм перемещения атомов диффундирующего элемента. Фик исходил из гипотезы, что в изотропной среде количество диффундирующего вещества т, проходящее в единицу времени единичную площадь поперечного сечения, пропорционально градиенту концентрации, измеряемому по нормали к этому сечению (первое уравнение Фика) [3] [c.198]

Массопередача относится к числу диффузионных процессов. Простейшпм процессом массопередачи является молекулярная диффузия. Законы диффузии были разработаны Фиком в 1855 г. по аналогии с законами теплопроводности Фурье. В 1896 г. Щу-карев [1] впервые использовал уравнение молекулярной диффузии для описания массопередачи применительно к процессу растворения. Им была предложена формула [c.194]

Рассмотрим более подробно неспецифическую диффузию. Различают активированную, полуактивированную и неактивированную неспецифическую диффузию [26, 150—152, 154, 158—160]. Простейшая феноменологическая теория активированной неспецифической диффузии, основанная на предположении, что движущей силой является градиент концентрации, была разработана Фиком, взявшим за основу уравнения теплопроводности Фурье. В соответствии с первым законом Фика поток вещества Р, проходящий в единицу времени через единицу площади поперечного сечения, пропорционален градиенту концентрации d ldx [c.127]

В основе термодинамики необратимых процессов лежат линейный закон переноса и соотношения взаимности Онза-гера. Согласно линейному закону цоток некоторой величины пропорционален термодинамической силе X, которая в свою очередь выражается через градиент потенциала рассматриваемой величины, например, закон теплопроводности— закон Фурье о пропорциональности теплового потока q градиенту температуры (iq=—Я grad Г) закон диффузии — закон Фика о пропорциональности потока компонента смеси градиенту концентрации (Ят=—grad ф) закон Ома — закон о пропорциональности силы электрического поля тока I градиенту потенциала (1 = —agrad ) и т. д. Как известно, эти линейные законы являются основой для вывода соответствующих дифференциальных уравнений переноса (теплопроводности, диффузии, электропроводности, фильтрации и т. д.). [c.10]

В основе массопередачи кислорода при барботажной аэрации лежит диффузия молекул кислорода из газовой фазы в жидкостную. Начало систематического изучения диффузии было положено в середине прошлого века трудами Фика, который установил физическую аналогию процессов диффузии и теплопередачи, что позволило ему использовать уравнение Фурье для определения скорости диффузионного переноса кислорода в жидкостьdm/ [c.13]

Соотношения, выражающие аналогичные зависимости для той или другой частной группы процессов, были эмпирически установлены ранее. Сюда относятся, например, закон Фурье, выражающий пропорциональность между теплопроводностью тела (поток) и градиентом температуры (характеризующим движущую силу), закон Фика, выражающий пропорциональность между скоростью диффузии (поток) и градиентом концентрации, закон Ома, выражающий пропорциональность между разностью электрических потенциалов (движущая сила) и количеством проходящего электричества (поток). Коэффициенты этих соотношений коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии, коэффициент электропроводности соответствуют феноменологическим коэффициентам уравнения (XVIII,41). [c.732]

Мы говорили, что частицы сорта Л переходят Туда, где их меньше. Следовательно, возникает поток этих частиц. Выражение для плотности диффузионного потока, т. е. числа частиц, проходящих через ед -ничную площадку в единицу времени, было впервые получено в 1855 г. швейцарским физиком А. Фиком. Фик предположил, что движение вещества вследствие диффузии аналогично распространению теплоты вследствие теплопроводности. Поэтому для описания диффузии можно использовать уравнения, которые еще в 1824. были написаны Фурье для теплопроводности. Достато -но, — писал Фик, — заменить в законе Фурье слова к личество тепла" словами количество вещества и слово температура словом концентрация . Это оказалось действительно верным. [c.34]

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выводится уравнение Фурье для тенлонроводностн (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обобщенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, силового , представления принципа наименьшего рассеяния энергии доказывает, что такое представление является более полезным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сформулировать новый интегральный принцип термодинамики. После общей формулировки интегрального принципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа проводится вывод уравнений переноса, описывающих различные неизотермические явления с учетом перекрестных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Лежандра диссипативных плотностей лагранжиана и гамильтониана и приводится каноническая форма интеграла рассеяния. [c.28]

Исходя из представления принципа наименьшего рассеяния энергии через силы, мы сначала выведем уравнение теплопроводности Фурье в различных представлениях и затем как обобщение полученных результатов сформулируем интегральный принцип термодинамики (Дьярмати [55, 56, 58, 60, 78]). С помощью этого метода для случая многокомпонентной изотермической диффузии и вязкого течения будут получены уравнения Фика (Верхаш [65, 79]) и уравнение Навье — Стокса в общем виде (Верхаш [65, 79], Бэрэцз [80]). [c.205]

Фактически ири выводе общих уравнений переноса можно также исходить из второго выражения в левой части соотношения (6.1). Однако в этом случае дивергенции различных плотностей потоков, входящих в выражение для производства энтропии, можно исключить только с помощью различных уравнений баланса. Точнее говоря, производные по времени а, можно ввести в выражение для плотности лагранжиана только косвенным образом, поэтому сам метод называется косвенным. Последний метод впервые был применен Верхашем [65, 79] в сущности аналогичный подход мы применили при выводе уравнения теплопроводности в энергетическом представлении и в обобщенном Г -представлении, а также при выводе обобщенного уравнения движения вязкого потока и уравнения Фика для изотермической диффузии. Таким образом, наиболее существенные стороны косвенного метода нетрудно понять, рассматривая частные случаи (особенно вывод уравнения Фурье в обобщенном Г -представлении), поэтому мы здесь не останавливаемся на выводе уравнений переноса в наиболее общем виде. [c.240]

Конечно, развитие нелинейной теории не повлияет на справедливость канонического формализма термодинамики. Только первая группа канонических уравнений поля (6.165) изменится в соответствии с потенциалом рассеяния, взятым за основу. Интегральный принцип и вторая группа канонических полевых уравнений (уравнений баланса) останется справедливой при любых условиях. Это должно быть так, поскольку область применимости и точность канонического формализма, разработанного Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном, основывается на математических методах вариационного исчисления и не зависит от того, к какой физической дисциплине этот формализм применяется. Другое дело, что это чрезвычайно мощное оружие математической физики только в наши дни начало применяться в термодинамике, хотя знаменитые работы Лагранжа (Аналитическая механика, 1788 г.), Фурье (Аналитическая теория тепла, 1822 г.), Навье (1822 г.), Стокса (1845 г.) и Фика (О диффузии, 1855 г.) уже давно дали для этого достаточную основу. Такая задержка почти на столетие и явилась причиной для создания этой книги по принципу bis dat qui ito dat ). Итак, автор просит читателя судить о недостатках этой книги — особенно гл. VI, — принимая во внимание безуспешные исследования в течение столетия. [c.260]

Выясним теперь, насколько важны полученные результаты. Как мы установили, обпще законы сохранения в кинетической теории совпадают с уравнениями гидродинамики для массы, скорости и энергии. Это означает прежде всего, что определения тензора давлений, вектора теплового потока и диффузионной скорости, принятые в кинетической теории, по меньшей мере согласованы с обычными гидродинамическими определениями. Между ними, однако, существует важное различие. В уравнениях, полученных выше, тензор давлений, вектор теплового потока и скорости диффузии определены через функции распределения, которые на данном этапе неизвестны. Следовательно, законы сохранения кинетической теории имеют лишь формальный смысл. Наоборот, в гидродинамике уравнения для массы, скорости и энергии дополнены так называемыми определяющими уравнениями которые связывают внутренние напряжения, вектор теплового потока и диффузионные скорости с градиентами макроскопических параметров (плотности, скорости, температуры). Например, закон теплопроводности Фурье связывает вектор потока тепла с градиентом температуры при помощи коэффициента теплопроводности. Аналогично закон Ньютона гласит, что тензор напряжения пропорционален тензору скоростей деформации и что константой пропорциональности служит коэффициент вязкости среды закон Фика выражает линейное соотношение между скоростью диффузии и градиентом плотности (с коэффициентом диффузии в качестве константы пропорцдональности). Разумеется, феноменологические уравнения гидродинамики ничего не говорят о том, как вычисляются константы пропорциональности (так назьшаемые коэффициенты переноса, или кинетические коэффициенты) входяпще в определяющие уравнения — фактически их значения устанавливаются только из эксперимента. Важно, однако, отметить, что уравнения для массы, скорости и энергии вместе с определяющими уравнениями образуют замкнутую систему при заданных начальных данных эту систему можно решить при соответствующих граничных условиях. [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология