Описание нестационарных систем

Пример V-1. Математическое описание нестационарного режима периодически действующего реактора идеального смешения представляется системой уравнений [c.207]

Графически функцию У (р) можно представить только в сложной системе координат. Подробное рассмотрение этого вопроса не входит в нашу задачу — описание нестационарного режима химических элементов процесса. [c.307]

Из системы уравнений (111-51) и (111-53) с учетом (111-54) получим математическое описание нестационарного процесса в аппарате идеального перемешивания [c.96]

Потоки пара н жидкости постоянны по секциям колонны. Система уравнений математического описания нестационарных [c.319]

Комплексные значения энергии используются в физике для описания нестационарных состояний системы. Величина Л, входящая в (123,17), определяет вероятность распада системы в единицу времени и называется постоянной распада. Она положительна, если квадрат модуля волновой функции убывает с течением времени (радиоактивный распад), и отрицательна, если квадрат модуля волновой функции возрастает с течением времени, например при захвате нуклона ядром. [c.586]

Дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между независимыми переменными, неизвестными (искомыми) функциями и их производными, широко используются в химической технологии для описания нестационарных процессов, а также процессов с распределенными параметрами. Например, концентрация реагента, вступающего в реакцию, является функцией времени пребывания, условий ведения процесса, и для того чтобы определить закон ее изменения во времени, необходимо составить дифференциальное уравнение, решение которого и устанавливает необходимую функциональную зависимость. Аналогично для определения числа ступеней разделения в процессе периодической ректификации необходимо определить состав кубового остатка и дистиллата как функции степени отгона. Это можно осуществить путем решения системы дифференциальных уравнений материального и теплового балансов. [c.347]

Доминирующее влияние диффузии как первичного физического процесса, обусловливающего изменение реологических свойств полимера и, как следствие, вызывающее движение фазовой и оптической границ, привело к ряду моделей [И, 12, 20, 26], кинетика набухания в которых описывается на основании уравнения нестационарной диффузии. В работах [И, 12, 20] исследование и описание процесса набухания полимеров рассматриваются в двух аспектах движение фазовой границы системы полимер — растворитель движение оптической границы вглубь материала полимера. [c.299]

В главе приведена общая постановка задачи идентификации, дано понятие о корректно и некорректно поставленных задачах, предложена классификация методов идентификации по признаку математического описания динамической системы, дана связь между различными формами представления функционального оператора для стационарных и нестационарных систем, рас- [c.305]

Рис, III,2,а иллюстрирует обычный для гетерогенных систем факт переноса вещества против градиента концентраций (в окрестности точки х = 0). Законы Фика, естественно, не применимы к этой области пространства. Однако в каждой из фаз диффузия должна подчиняться законам Фика в их концентрационной форме. Поэтому задача описания нестационарной диффузии в двухфазной системе сводится к решению системы уравнений типа (111,3) — (111,7), записанных для каждой из фаз, [c.150]

Если внутри зерна катализатора имеются незначительные градиенты температуры, то математическое описание нестационарного процесса тепло- и массообмена при протекании экзотермической реакции можно представить системой уравнений [7, 81 [c.86]

Здесь /Сот — коэффициент размножения бесконечной среды, при которой описанная система (т. е. система с заданной геометрией) находится в стационарном состоянии. Следует заметить, что эта величина полностью эквивалентна числу с, введенному выше при оперировании с нестационарными системами. Далее, в случае некритических систем уравнение (8.198) можно записать также в виде [c.344]

В предыдущих параграфах были рассмотрены стационарные системы, математическое описание которых основывалось на дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами. Кроме таких систем, могут быть нестационарные системы, имеющие переменные во времени параметры. Как отмечено в параграфе 1.3, математические модели нестационарных систем состоят из дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Если эти уравнения линейные, то нестационарные системы называют линейными. [c.72]

В заключение отметим, что предложенный метод расчета может быть использован не только для оценки динамических свойств колонны при ступенчатом возмущении, но и для описания нестационарного режима при возмущениях произвольной формы, а также для моделирования системы управления ректификационной колонны. [c.153]

Описанный нестационарный метод обезвреживания газов требует очень надежной системы управления процессом и достаточно сложной, если концентрация удаляемых компонентов [c.370]

Гидродинамический модуль базируется на уравнениях нестационарного течения Сен-Венана для описания речной системы и течений на затопленных поймах, имеющих вид [c.306]

В ходе последовательной смены состояний при неизменности граничных условий система с неизбежностью достигает того или иного стационарного состояния. В этом случае говорят, что происходит эволюция нестационарной системы к стационарному состоянию. Здесь термин эволюция выступает как синоним термина процесс, совершаемый системой . Поскольку среди возможных состояний как изолированных, так и неизолированных систем равновесные нестационарные состояния отсутствуют, в природе нет и равновесных процессов. Все действительно совершаемые тем или иным объектом процессы являются неравновесными. Однако в случае неизолированной системы и отдельных частей изолированной системы нестационарные состояния могут носить квазиравновесный характер. Следовательно, неизолированная система и отдельные части изолированной системы могут совершать в действительности квазиравновесный процесс, т, е, процесс, близкий к равновесному, но не совпадающий с ним. Представление о квазиравновесном процессе позволяет во многих случаях упростить описание сложной картины взаимодействия объектов, [c.39]

Задачи планирования, преобладающие в системах с ограниченными ресурсами. Описание нестационарного режима отдельных блоков оказывается ненужным, так как предполагается, что они работают в стационарном режиме. Это означает, что совершенная система управления обеспечивает постоянство качества продукции и стабильность потоков. [c.333]

Наконец, третья особенность гетерогенных реакций связана с тем, что в них участвуют , как минимум, две фазы, и следовательно, хотя бы одна из них долл<на быть конденсированной, т. е. представлять собой твердое тело или жидкость. При обычных спо-.собах проведения реакций с участием конденсированной фазы поток реагентов из подвижной фазы (газ, жидкость) пропускают через фиксированное количество неподвижной фазы (л идкость, твердое тело). Если неподвижной фазой является жидкость, то наиболее близок к этой схеме барботажный реактор, в котором пузырьки газа барботируют через жидкость если неподвижная фаза — твердое тело, то реакцию обычно проводят, пропуская поток газа или жидкости через слой зерен твердого реагента. Во всех этих случаях система не является полностью открытой состав и свойства конденсированной фазы изменяются во времени, что обусловливает нестационарность гетерогенного процесса. Поэтому гетерогенные реакции, как правило, нестационарны (за исключением гетерогенного катализа), и их кинетическое описание фактически является описанием эволюции системы — изменения ее свойств во времени. [c.257]

Предыдущий раздел был посвящен рассмотрению стационарных задач. Целесообразно остановиться также и на способах описания нестационарных режимов теплопереноса в неизотермических проточных системах. В настоящем разделе обсуждаются задачи, которые можно решить с помощью уравнения нестационарного макроскопического баланса энергии. Эти задачи весьма полезны, так как они позволяют оценивать времена, требуемые для осуществления разных процессов / нагревания, встречающихся в промышленности. Кроме того, некоторые из указанных задач интересны с позиций управления технологическими процессами и расчета контрольно-измерительной аппаратуры. [c.417]

Система уравнений математического описания нестационарных режимов колонны включает следующие уравнения [c.332]

Полное математическое описание динамики процесса должно включать описание нестационарных режимов гидродинамики двухфазной системы и процесса массопередачи. [c.64]

При математическом описании нестационарных процессов переноса в катализаторах помимо применимости законов Фика и Фурье, предполагается, что наблюдаемая кинетика химических превращений может быть описана степенным законом. Кроме того, без потери общности можно считать, что реакционная смесь состоит только из двух компонентов и реакция протекает без изменения числа молей. Концентрации и температуры на поверхности частиц и в обтекающем потоке могут значительно различаться. При этих предположениях система уравнений, определяющих нестационарный связанный тепло- и массоперенос на отдельном зерне катализатора имеет вид дс с д с, а дс [c.70]

Математическое описание нестационарного процесса в реакторе с гидродинамическим режимом движения реакционной смеси и хладоагента, близким к режиму идеального вытеснения, можно представить в виде следующей системы дифференциальных уравнений в частных производных (обозначения см, с, 33) [c.30]

При малых концентрациях нитропродукта реакция подчиняется первому порядку (рис. 2). В этом случае процесс протекает нестационарно и может быть описан следующей системой уравнений [4] [c.59]

Для описания нестационарной радиально-симметричной фильтрации реопектических сред может быть предложена система уравнений [c.240]

Потоки пара и жидкости постоянны по секциям колонны. Система уравнений математического описания нестационарных режимов колонны включает следующие уравнения для тарелок отпарной секции колонны [c.319]

Математическое описание и алгоритм решения системы уравнений баланса. В качестве математического описания элементов схемы используются уравнения баланса (табл. 7.9), записанные для нестационарных условий [c.404]

Реактор идеального вытеснения представляет собой объект с распределенными параметрами. Поэтому математическое описание его нестационарных режимов представляется системой дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей изменение концентраций реагентов и температуры как по длине реактора, так и во времени. [c.369]

Многие методы идентификации линейных систем ориентированы на форму представления описания системы в виде весовой или передаточной функции. При этом возникает проблема перехода от весовых и передаточных функций к дифференциальным операторам линейных динамических систем. Если для систем с постоянными параметрами этот переход всегда может быть выполнен, то в случае нестационарных систем могут возникнуть дополнительные трудности. [c.288]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Проверку адекватности математического описания нестационарных процессов гидродинамики в насадочном аппарате выполним на примере наиболее важных с практической точки зрения каналов 1 и 2 путем сравнения экспериментальных и расчетных кривых переходных процессов по этим каналам. Как следует из выражений (7.116) и (7.124), главной частью передаточных функций по каналам 1 и 2 является передаточная функция W I, р), которая определяется выражением (7.113). Непосредственное использование передаточной функции W (I, р) в виде иррационального и трансцендентного выражения (7.113) как для целей проверки адекватности, так и для целей анализа динамики объекта и синтеза соответствующей системы управления затруднительно. Поэтому решим задачу приближения передаточной функции (7.113) дробнорациональными функциями путем применения интерполяционных дробей Паде [45], с помощью которых экспоненциальная функция переменной z с удовлетворительной точностью представляется в виде [42] [c.412]

Почти все существующие модели регенерации закоксованного слоя катализатора относятся к неподвижному слою [146, 147, 149, 150, 160-162]. В принципе полная математическая модель нестационарного процесса в слое катализатора учитывает продольный и радиальный перенос тепла и вещества в слое катализатора, а также наличие температурных и концентрационных градиентов внутри пористого зерна, т. е. включает в себя модель (4.15)-(4.16) [159]. Математическое описание такой модели представляется очень сложной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому, чтобы математически моделировать такой сложный процесс, как регенерация катализатора, обычно прибегают к ряду упрощающих допущений. [c.83]

Второй уровень модели реактора — математическое описание процессов на одном пористом зерне катализатора — включает в себя как составную часть модель нестационарных процессов на внутренней поверхности катализатора с учетом воздействия реакционной среды на состав, структуру и свойства катализатора. Как и обсуждалось в гл. 1, математическая модель такого нестационарного процесса — это система алгебраических, дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, отражающих состояние катализатора в любой момент времени в зависимости от изменяющегося во времени состава, температуры и давления газовой фазы она определяет (в конечном счете) наблюдаемые скорости расходования и образования различных компонентов газовой фазы. [c.66]

Чрезвычайно показательно, что кинетическая модель реакции и описанное поведение системы в области атмосферных давлений и температур 1000 К в реальных условиях в значительной мере определяет гидродинамический механизм воспламенения и горения газа в детонационных волнах. Многочисленные экспериментальные наблюдения и теоретический анализ течения газа в зоне химической реакции, инициируемой нагревом газа за ударным фронтом плоской детонационной волны, показывают, что одномерная и стационарная схема течения в такой зоне неустойчива. На практике реализуется локально нестационарная и многофронтовая модель детонационного горения 1119, 1521, в которой термическое состояние ударно нагретого газа варьируется в достаточно широких пределах — от 900 до 3000 К вместо 1800 К, характерных для стационарной детонационной волны Чепмена — Жуге. Это изменение температуры обычно представляется в виде непрерывного распределения вдоль искривленного [c.305]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Проверку адекватности математического описания нестационарного процесса абсорбции в насадочной колонне и определение влияния различных факторов на характер переходных процессов в аппарате производили путем сравнения экспериментальных и расчетных динамических характеристик системы для хорошо-, средне- и плохорастворимых газов (соответственно системы N113—1120, ЗОа—НаО, СОа—Н2О). Для системы N113—Н2О равновесные данные рассчитывали по формуле [51]Ig т=4,705—1922/Г для системы СО2—Н2О — по формуле [52] т = 2АЬ/ а- Ь Р) для системы ЗОз—Н2О — по формуле [53] с = Р1о,1т) К РЬо п, где т — константа равновесия а, Ь — постоянные коэффициенты Т — абсолютная температура — константа равновесия реакции [c.422]

Рассматриваемый здесь подход к описанию релаксации скорости гетерогенной каталитической реакции является феноменологическим, потому что он основывается на явлениях и зависимостях, которые регистрируются соответствующими химическими экспериментами, а их математическим описанием служит система (1.8), параметры которой могут быть найдены экспериментально. Эта система передает лишь существенные стороны явления и, будучи в этом смысле упрощенной, никак не может заменить или исключить необходимость исследования нестационарной кинетической модели процесса. Поскольку система (1.8) является линейным приближением общей задачи (1.7), то она, строго говоря, может быть применима для анализа малых отклонений от квазистационарпого состояния. Однако часто ее можно с достаточной степенью точности использовать и за пределами области линейного приближения. В работе [34] приведены примеры исследования динамических свойств поверхности катализатора при протекании процессов различной степени сложности. Полученные данные сравнивались с результатами, найденными из анализа математического описания (1.8), в которое подставлялись значения М и Р, оцененные из исходного выражения типа (1.7а). Из сравнения релаксационных кривых следовало, что в широком диапазоне концентраций и констант скоростей стадий наблюдаемые скорости химического превращения с небольшой но- [c.19]

Основными этапами при разработке реактора и САУ является построение математического описания процессов в реакторе, теоретическая оптимизация, качественный анализ описания, выбор типа реактора и исследование его статических и динамических свойств, определенне основных технологических и конструктивных характеристик реактора, выбор каналов управления, поиск оптимального управления и, наконец, синтез САУ. Значения многих технологических параметров и конструктивных характеристик реактора, как, например, диаметр трубки, размер зерен катализатора, в значительной мере определяющих стоимость, надежность и гидравлическое сопротивление реактора, должны выбираться с учетом реально возможного качества работы САУ. Таким образом, уровень и стоимость системы САУ могут влиять на аппаратурно-технологические решения процесса, а для реакторов, обладающих пониженной стабильностью, целиком определить эти решения. Так, неустойчивость оптимального стационарного режима приводит к частым срывам на высокотемпературный или низкотемпературный режим. Система управления реактором возвращает этот режим в окрестность неустойчивого ста-циоиарного состояния, процесс в целом оказывается нестационарным, рыскающим в окрестности этого состояния. [c.21]

Математическая модель с сосредоточенными параметрами включает в себя переменные, которые зависят только от времени и не зависят от координат. Поэтому при описании нестационарных режимов процессов химической технологип математическая модель с сосредоточеппыми параметрами имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная физическая предпосылка, которая обычно приводит к модели с сосредоточенными параметрами,— предположение об идеальности перемешивания фаз. [c.5]

Если параметры нестационарной системы изменяются незначительно за характерное для исследуемого процесса время, то переменные коэффициенты в уравнении (2.179) или переменные матрицы в уравнениях (2.185) и (2.186) могут быть заменены постоянными значениями, которые вычисляют в какой-либо фиксированный момент времени Такой приближенный метод описания нестационарных систем называют методом замороженных коэффициентов. Передаточная функция системы с сзаморожен-ными коэффициентами представляет собой нулевое приближение параметрической передаточной функции и может быть определена в виде [c.73]

Теплообменник типа смешение — смешение (рис. 1[-15). Математическое описание теплообменника в данном случае задают системой уравнений типа (11,20), относящихся к обоим теплоносителям. Интенсивность источника тепла при этом чпределяется соотнонлепием (И,28). Стационарный режим теплообменника можно вписать нестационарными уравнениями, в которых производные по времени пола- [c.62]

Пример. Математическое описание нестационарного режима периодически действуЮ1цего реактора идеального смешения представляется системой дифференциальны. уравне чий [c.42]

Процесс горения является нестационарным по интенсивности, кинетике и динамике протекания химических и физических процессов и в топочной камере ограничен весьма кратким временем пребывания в ней горючей смеси. В камере сгорания процессы протекают в условиях непрерывного изменения полей температур, кенцентраций, скоростей и химического состояния реагирующих веществ. В этих условиях процесс математически может быть описан сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений. Аналитическое решение этих уравнений с учетом всей сложной совокупности явлений процесса горения в условиях, близких к топочным, не представлялось возможным. Вынужденно принимаемые упрощения вносили существенные искажения в получаемые результаты, которые зачастую расходились с практикой топли-восжигания. [c.5]

Долгое время внимание исследователей бы.гго приковано к газифицирующимся системам типа взрывчатых веществ, порохов и твердых ракетных топлив. Здесь большую роль в развитии представлений о механизме горения сыграли ученики Николая Нико.лаевича Семенова А. Ф. Беляев и П. Ф. Похил. Следует отметить успехи, достигнутые в создании теории нестационарного горения порохов (Я. Б. Зельдович, Б. В. Новожилов и другие). Интересно, что в больншнстве случаев описание нестационарных эффектов не зависит от сложной картины превращения вещества при горении и может быть проведено в обобщенной форме. [c.93]

Наибольщее распространение в литературе получила модель обновления поверхности, предложенная Кишиневским [16, 17] и Данквертсом [18]. В основе этой модели лежит представление о непрерывной замене элементов жидкости (или газа), прилегающих к межфазной поверхности, новыми элементами, поступающими на поверхность вследствие турбулентного перемешивания. В течение промежутков времени, когда элемент пребывает на поверхности, процесс массопередачн описывается, как и в теории Хигби, уравнением нестационарной диффузии в полубесконечной неподвижной" среде. Для характеристики интенсивности обновления вводится понятие среднего временл пребывания элементов жидкости на поверхности Дт. Первоначально такая картина была предложена -для описания массообмена в системах жидкость — газ, однако в дальнейшем ее стали использовать и для описания других систем, в частности систем жидкость — твердая стенка [19]. [c.173]

Рассмотрение кинетики набухания в указанных аспектах приводит к проблеме решения уравнения нестационарной диффузии в условиях перемещающихся границ. Точное решение задач подобного рода известно лишь в очень ограниченном числе случаев [27, 28]. Метод аналитического решения задач диффузии (теплопроводности) при наличии движущихся границ предложен [29—31]. Этот метод основан на разложении искомого решения в ряд по некоторым системам мгновенных собственных функций соответствующей задачи. Таким образом, рассмотрение процесса набухания с учетом диффузионных явлений приводит к весьма сложной проблеме решения уравненийТмодели. Этот подход к описанию кинетики набухания нельзя признать исчерпывающим по ряду причин. Так, здесь недостаточно четко отражены физические особенности внутренней структуры полимеров. Параметры моделей не имеют явной связи с молекулярными характеристиками ноли- [c.299]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология