Функция распределения . в. Уравнение для функции распределения

Капиллярная конденсация описывается уравнением Кельвина, в которое входит радиус кривизны мениска, и это позволяет использовать его для расчета функции распределения пор по размерам. В принципе количественная характеристика дисперсных систем по дисперсности может быть представлена распределением массы, объема, числа частиц и др. по радиусу, поверхности, объему, массе и др. Перейти от одного распределения к другому сравнительно просто, особенно если поры или частицы имеют правильную форму. Метод расчета функций распределения частиц (пор) по размерам заключается в построении интегральных и дифференциальных кривых распределения. [c.137]

Переходя из расчетного времени т для N реакторов к расчетному времени для одного реактора и принимая во внимание равенство F = i — t, найдем уравнение функции распределения времени пребывания частиц в системе из [c.29]

В ряде случаев при моделировании сложных объектов химической технологии необходимо учитывать процессы как детерминированной, так и стохастической природы. При этом результирующее математическое описание объекта обычно представляется в форме интегро-дифференциальных уравнений. Например, такая форма уравнений характерна для уравнения баланса свойств ансамбля частиц дисперсной фазы в аппарате, где эффекты взаимодействия (дробления—коалесценции) задаются соответствующими интегралами взаимодействия в дифференциальном уравнении для многомерной функции распределения частиц по физико-химическим свойствам. Другим характерным примером интегро-диффе-ренциальной формы функционального оператора объекта может служить дифференциальное уравнение, описывающее процесс диффузии или теплопереноса, свернутое по временной координате с помощью функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. [c.202]

Как видим, в этом случае сам по себе фракционирующий параметр (время I) от М не зависит, но М дополнительно входит в качестве Р(М, i) в распределение Ап по L Введение этой функции в уравнение Фредгольма первого рода делает его, в принципе, пригодным для решения обратной задачи, ибо теперь ядро уравнения, наряду с искомой функцией Qw M), содержит одну известную (из независимых опытов) и одну непосредственно определяемую функцию М [c.51]

И форма кривой распределения изменяется весьма значительно. Поэтому функция распределения времени пребывания реагентов, движущихся турбулентно через цилиндрический реактор, изображается крутой кривой [уравнение (V,42)], которая имеет максимум при времени реакции, соответствующем скорости движения в ядре потока (гг ос, Тос). Форма кривой распределения не зависит от каких-либо физических свойств реагентов или реактора, за исключением отношения длины его к диаметру, и в малой степени зависит от критерия Re и шероховатости поверхности (численные значения т принимаются в зависимости от шероховатости поверхности трубы). [c.99]

В вероятностных терминах данную случайную величину нужно представить в виде суммы независимых слагаемых. Тривиальным решением уравнений (И) или (12) является Р, (х) = Р (х), Р (х) = 0 (х) [или / 1 ( ) = / (г), /а t) = 11- При исследовании нетривиальных решений выясняется (см., например, [64]), что существуют неразложимые в виде (И) функции распределения — аналоги простых чисел в задаче о разложении чисел на множители. [c.140]

Ее можно рассчитать как функцию г из функции распределения. (Заметим, что наклон кривой в любой точке равен соответствующей весовой доле.) Следует напомнить, что при полимеризации стирола обрыв происходит путем соединения радикалов, следовательно, подходящим уравнением распределения для небольшой глубины полимеризации является уравнение (7.39). Было показано, что в условиях опытов Бейкера и Уильямса передачей цепи можно пренебречь. Сходимость между расчетной и наблюдаемой функциями распределения показана на рис. 49 и, как видно, является очень хорошей. Очевидно, целесообразно распространить этот метод для изучения полимеризации при различных условиях. [c.317]

Кроме явного вхождения в уравнения функций распределения, т. е. производных от изотерм чистых газов, независимая адсорбция характеризуется еще иным выражением для суммарной сорбции. Последнюю в этом случае ни при каких условиях нельзя приравнивать адсорбции какого-либо одного из чистых газов, а по уравнению [62] необходимо из суммы изотерм чистых веществ вычесть их произведение. [c.357]

Энергия процесса бимолекулярного соединения E + -f-+ термическая энергия реагентов) целиком сосредоточена на молекуле продукта. Если известны величины Е , АН и теплоемкости всех реагентов, то энергия возбужденного промежуточного состояния также известна. Распределение по энергиям зависит от теплового распределения реагентов. Функция распределения может быть представлена уравнением (1), если реагенты находятся в термическом равновесии [19]. Это условие редко не выполняется на практике даже для реакций соединения радикалов, хотя эти реакции фактически происходят при каждом соударении [35]. Молекулы продуктов, если они не дезактивируются, будут распадаться на исходные частицы (рис. 1, а) или, если существует другое направление реакции (рис. 1, Ь или 1, е),— на другие продукты. [c.70]

В частности, для изотермических условий и постоянного пересыщения системы переменные в уравнении функции распределения (25) могут быть разделены и временная зависимость этой функции запишется в виде суммы бесконечного ряда экспоненциальных слагаемых [c.16]

Было предложено много методов, с помощью которых можно оценить потенциал отдельного электрода и активность ионов одного типа. Абсолютный потенциал каломельного электрода был вычислен методом, описанным выше для определения Е°, но с дополнительным рассмотрением изменения энтропии ионов одного типа. Основная трудность такого расчета заключается в построении теоретической модели и подборе эмпирической кривой, которые позволяют достаточно точно оценить энергию гидратации и энтропийные члены отдельных ионов. Латимер, Питцер и Слан-ский [10] вычислили энергию гидратации ионов одного типа с помощью уравнения Борна (см. гл. 2) при этом оказалось необходимым определить радиус иона и распределение энергии гидратации между положительным и отрицательным ионами. Опираясь на модель гидратированного иона, авторы приняли радиус катиона равным ионному радиусу по Полингу +0,85 А, т. е. = = (/"кат + 0,85) А (см. гл. 4). Функцию распределения энергии гидратации между положительным и отрицательным ионами в Сз1 подбирали таким образом, чтобы значения для обоих ионов легли на кривую Борна. Этот путь, вероятно, может дать правильное значение для энергии гидратации ионов одного типа, но не является термодинамически оправданным. [c.342]

Однако В противоположность другим исследователям Майер использовал уравнение диффузии для описания конформаций цепей, приводящих к реальному расположению их концов в доменах. Он исходил также из физически оправданного требования постоянства плотности во всех частях домена. В связи с этим он ввел функции распределения плотности, которые были обработаны с помощью вычислительной машины для различных типов доменов и размеров цепей. Результаты представлены схематически на рис. 4.12. На основании таких расчетов Майер получил характеристические размеры доменов, выраженные через молекулярные параметры [c.128]

Искомая функция распределения, таким образом, выведена в двух формах. Уравнение (8-3) известно как весовое распределение, т. е. это уравнение показывает долю от общего веса, приходящуюся на х-мер. Уравнение (8-4) дает числовое распределение, т. е. долю от общего числа молекул, приходящуюся на х-мер, другими словами, мольную долю. Для многих случаев весовое распределение более важно. Довольно большое число молекул с низ- [c.167]

Для определения гранулометрического состава выгружаемых материалов использованы методы математической статистики и приведенные выше уравнения. Функция распределения диаметров выгружаемых гранул [c.72]

Другой подход к расчету полидисперсной системы, образующейся при гранулировании, заключается в применении уравнения сплошности для изменения числа частиц в системе [171], Основываясь на этом уравнении, функцию распределения размеров частиц можно записать в виде [c.164]

Уравнение (1-72), которое получается при учете 1/Тз = к [Я ] = = VI, представляет собой так называемое наиболее вероятное распределение (распределение Флори). Функция распределения живых цепей при этом будет [c.37]

Это время выражается через такие параметры релаксирующей системы, которые характеризуют ее взаимодействие с тепловым резервуаром в состоянии равновесия. Последнее обстоятельство позволяет сравнительно легко получать оценки t, не рассматривая в явном виде решения релаксационных уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что вследствие упрощенного подхода к решению релаксационной задачи величина т, определенная выражением (12.16), в общем случае может передавать лишь порядок величины времени, характеризующего скорость приближения неравновесной функции распределения к равновесной. [c.140]

Основные обозначения 220 Основные определения и критерии 222 Модели кинетики низкотемпературной плазмы 228 Р. 1 Модель локального баланса энергии электронов 230 Р.2 Модель релаксации температуры электронов 236 Р.З Модель рекомбинационного нагрева электронов 240 Р.4 Модель нагрева газа в плазме 243 Р.5 Модель неравновесной ионизации 249 Р.6 Модель неравновесной стационарной ионизации 255 Р.7 Модель рекомбинационно-диффузионного распада плазмы 259 Р.8 Модель кинетики электронов, положительных и отрицательных ионов 264 Р.9 Система уравнений баланса возбужденных атомов. Релаксация возбужденных состояний 268 Р. 10 Распределение атомов по возбужденным состояниям в стационарной и квазистационарной неравновесной плазме. Одноквантовое приближение 273 Р. 11 Распределение атомов по возбужденным состояниям в стационарной и квазистационарной неравновесной плазме. Диффузионное приближение 276 Р. 12 Рекомбинация и релаксация высоковозбужденных атомов, обусловленная столкновениями с электронами и резонансной дезактивацией нейтральными частицами 280 Р. 13 Модель функции распределения электронов по энергии в сла- [c.5]

Если газ однородный, функции и / не зависят от г следовательно, в этом случае отличен от нуля только интеграл столкновений иными словами, интеграл столкновений уравнения Энскога отличается от интеграла столкновений уравнения Больцмана только множителем %. Поэтому можно воспользоваться соображениями, изложенными в 5.2, и показать, что в однородном газе функция/представляет собой функцию распределения Максвелла [c.358]

Вариационные методы. Можно показать, что решение уравнения Больцмана с граничными условиями эквивалентно нахождению экстремумов некоторых функционалов функции распределения. Существует множество таких функционалов, соответствующих различным вариационным принципам, и их выбор диктуется лишь соображениями удобства. В частности, можно найти такие функционалы, экстремумы которых дают величины, представляющие непосредственный интерес, например коэффициент скольжения. В силу вариационного характера задачи точные результаты для интересующих нас величин получаются даже при довольно грубой оценке функции распределения. Поэтому метод очень удобен для вычисления отдельных коэффициентов, а не для получения функции распределения. Хорошим примером такого подхода может служить вариационный метод вычисления коэффициентов переноса, изложенный в гл. 5. [c.468]

Для аналитического выражения функций распределения с (а) нефтяных смесей предложено также следующее уравнение [17] [c.35]

Третий подход основан на теоретическом анализе псевдоожиженных систем методами кинетической теории газов [55, 56]. Конечной целью, к которой стремятся исследователи, развивая это направление, является получение шестимерной плотности распределения частиц по скоростям и координатам, полностью описывающей поведение каждой частицы в слое (см. 1.5). Знание этой функции дает возможность описать осредненпые пульсационные движения в рассматриваемой ФХС. В работе [55] предложено уравнение Больцмана для твердой фазы, дифференциальная часть которого включает диффузионный член. Это уравнение содержит много экспериментально определяемых величин, что затрудняет его практическое использование. Кроме того, на уровне кинетической задачи не рассматривается взаимодействие между твердой и газовой фазами. В работе [56 ] приводится кинетическое уравнение для твердой фазы п eвдooжижeннoгoJ слоя, полученное из уравнений Лиувилля и Гамильтона. При этом физические эффекты в системе в целом рассматриваются в масштабах изменения функции распределения частиц газовой фазы. Однако не учтено, что масштабы изменения функции распределения частиц газовой фазы значительно меньше масштабов изменения функции распределения частиц твердой фазы. Для устранения этой некорректности модели требуется осреднить функцию распределения частиц газовой фазы по объему, являющемуся элементарным для твердой фазы. При этом необходимо рассматривать уже не одно, а два кинетических уравнения — для газа и твердой фазы. Кроме того, корректное использование уравнения Лиувилля для вывода уравнения, описывающего движение твердой фазы, является затруднительным из-за неконсервативности поля сил, в котором движется отдельная твердая частица. [c.161]

Наибольший интерес на современном этапе представляют работы другого теоретического направления , в которых пытаются рассчитать термодинамические и кинетические свойства растворов, исходя из концепции их ионномолекулярной структуры, с использованием общего статистического аппарата Гиббса и метода коррелятивных функций Боголюбова. При статистическом подходе рассматриваются функции распределения вероятностей положений комплексов из одной, двух, трех и т. д. частиц в растворе. Далее для совокупности этих функций составляется система интегро-дифференциальных уравнений, решение которой иногда удается последовательно осуществить применением методов асимптотических разложений по степеням специально подобранного малого параметра. Потенциальная энергия системы взаимодействующих частиц может быть представлена в виде суммы энергий всех парных взаимодействий. Поэтому в данном случае особую роль играет бинарная функция распределения. [c.48]

Линейный массив с взаимодействиями между ближайшими соседями впервые описан Айзингом. Упрощения функции распределения, помимо учтенных в уравнении (А.2), основаны на предположении об отсутствии взаимодействия между различными остатками. Это совершенно неверно в случае а-спиралей, поскольку в них существуют водородные связи между остатками / и 3 (рис. 5.4). Кроме того, кривые, описывающие переходы спираль — клубок в синтетических полипептидах [328, 787], имеют сигмоидальный характер, что указывает на кооперативность. Чтобы учесть этот факт, необходимо ввести иные аппроксимации функции распределения. Для подобного случая, а именно для линейного массива ферромагнетиков с взаимодействиями между ближайшими соседями, аппроксимация предложена Айзингом [788]. [c.295]

С помощью уравнения Лиувилля можно понять, что необходимо знать для получения у11аппения, которому подчиняется одночастичная функция распределения. Болес того, изучая следствия, вытекающие из уравнения Лиувилля, можпо найти путь для построения его приближенных решений, дающих, в частности, кинетические уравнения. Таной путь открывается при рассмотрении цепочки уравнений для Л1ногочастичных функций распределения, получаемой с помощью уравнения Лиувилля. [c.186]

Сформулируем теперь второе предположение, используемое при решении кинетического уравнения функция распределения зависит от времени лишь неявно через макропараметры и их пространственные производные [c.56]

Сопоставление выражения (П1,86) с уравнениями (IV,87), (IV,88), (IV,91) и (V,26) показывает, что формулы для констант скоростей на реальной и однородной поверхностях практически совпадают. В случае биографически неоднородной поверхности появляются дополнительные множители, связанные с функцией распределения (IV,31). [c.141]

S = 1,2,3,... т.е. распределение Шульца-Флори) lk(s p) — ортогональные полиномы, ассоциированные с весовыми функциями (ортогональные полиномы Лагерра) a (i р) — коэффициенты, зависящие от времени (они получаются из теории преобразований ортогональных полиномов) р — параметр оптимизации представления. Для практических приложений достаточно просуммировать конечное число членов разложения. Численная реализация дискретного метода Галеркина основана на предварительной обработке усеченной функции распределения частиц по размерам — Pi," (i). Ее дифференцируют по времени и подставляют в уравнения химических реакций. Эта процедура приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов а (t р) и параметра р распределения Шульца-Флори. [c.320]

Установив Гмакс и Гмин — нредельные значения радиусов частиц суспензии, на кривой седиментации выбирают ряд точек в местах наибольшего изменения кривизны. На рис. 1.11 это точки С, О, Е, Р. Таким образом, исследуемую суспензию разбивают на несколько фракций, в данном случае на пять. Радиусы частиц каждой фракции будут лежать в определенных узких интервалах. Далее проводят касательную к кривой в одной из выбранных точек, например в точке С, и прямую, параллельную оси абсцисс. Отрезок 00 численно равен массе <2 (Тх) всех частиц, осевших ко времени т . В осадке находятся частицы всех размеров, как крупные, так и мелкие, которые к началу анализа находились вблизи чашки весов. Частицы, которые за время прошли путь Я от поверхности жидкости до чашечки весов [их радиус может быть вычислен по уравнению (1.45)], а также все более крупные частицы ко времени осядут полностью и их в суспензии не останется. Масса этих частиц составит часть общей массы осадка. Она равна Ф (т ) — значению интегральной функции распределения в точке т . Остальная часть осадка будет состоять из частиц с радиусом меньше г , т. е. из частиц тех фракций, которые еще не полностью осели. Если массу этой части осадка обозначить 8, то [c.50]

Уравнения Аристотеля и Ланжевена — простейший, следующий за ЧЭДТ шаг в иерархии ИМММ, вслед за которым можно взять за основу уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова и далее основное кинетическое уравнение [12, 16]. При этом каждый следующий метод иерархии либо использует предыдущие как источник экспериментальных коэффициентов, либо полностью включает их на определенных этапах вычислительных процедур. Необходимо подчеркнуть, что объектами вычислений здесь уже являются функции распределения, а не координаты и импульсы отдельных частиц, как в ЧЭДТ, [c.84]

Поверхностный просмотр может создать впечатление о применении большого числа математических символов, по существу же объем их весьма мал. Введение некоторых уравнений и формул неизбежно, но автор старался дать физическое объяснение по возможности каждому выражению, значение которого не может быть понято непосредственно. Некоторые объяснения необходимы, повидимому, в отношении главы Статистические методы . Это несомненно трудный вопрос, но основные идеи его просты и знание их необходимо для понимания химии водор10да и современных теорий химической кинетики. Оба эти вопроса приобрели важное значение и можно без опасения предсказать, что понятие функции распределения приобретет в ближайшее время еще большее значение. [c.3]

При конденсации в присутствии неподвижного газа профиль конденсата изменяется за счет столкновений молекул газа, находящихся только в тепловом движении, с молекулами пара, и за счет разрядки ассоциированных комплексов на поверхности конденсации. Здесь споптанное испарение определяется теми же условиями, что и при конденсации чистого пара. В соответствии с этим в уравнение функции распределения вводятся коэффициенты Ло и во, и оно принимает вид [c.83]

Предлагались уравнения функции распределения, в которых величина = 1пф( ) подставляется в уравнение нормальной кривой распределения 16, 13], однако они не были широко применены к результатам опытов. По одной из предложенных формул ]13] можно определить максимальный размер капли, который является более показательной величиной, чем вычисление нескольких диаметров очень больших капель по другим формулам. Можно ожидать, что это уравнепие лучше согласуется с данными опытов в случаях грубого распыливания одпако при мелком распыливании, обычно встречающемся в реактивных двигателях, такое усовершенствование уравнения не является необходимым, так как другие формулы, математически более простые, по-видимому, дают соответствующее описание результатов опытов в интересующих нас условиях. Бивенс ]6] считает, что в случае крупных капель [c.346]

Принцип кинетической независимости простых реакций - отдельные простые реакции, составляющие сложную реакцию, протекают независимо друг от друга, так что кинетические функции (т.е. зависимости скорости простой реакции от концентраций и температуры) не изменяются при протекании в данной системе других реакций. Принцип независимости стадий сложной реакции обоснован тогда, когда отдельные реакции, выраженные в виде стехиометрических уравнений, соответствуют элементарным актам химического превращения, т.е. стехиометрическая схема правильно отражает истинный механизм сложной реакции. Принцип независимости простых реакций применим для большинства типов сложных реакций (параллельных, последовательных, цепных). Для сложных реакций, в которых одни простые реакции существенно влияют на протекание других, например - сопряженных реакций, принцип независимости неприменим. Принцип независимости стадий сложной химической реакции соблюдается лишь в термически-равновесном газе, когда имеет место максвелл-бол ьцмановское распределение по всем степеням свободы реагентов. При резком воздействии на газ - в ударных волнах и гиперзвуковых потоках, электрических разрядах, при горении и взрывах, в газовых лазерах, при лазерном и ином мощном световом воздействии -возможно заметное нарушение термического равновесия. Это приводит к [c.164]