Исследование системы уравнений

Система уравнений (13.7) с условиями (13.8) решалась численными методами. Но прежде, чем излагать результаты, проведем качественное исследование системы уравнений (13.7). [c.320]

Интегральные радиальные уравнения. Для исследования системы уравнений теории столкновений, а в некоторых случаях и для ее численного решения можно перейти от уравнений (43.39) к системе интегральных уравнений. Этот переход осуществляется путем формального решения уравнений с помощью функции Грина 0(г, г ), удовлетворяющей уравнению [c.598]

Исследование системы уравнений [c.14]

Эти результаты позволили принять модель для последующего исследования. Система уравнений, учитывающая лишь главнейшие связи между параметрами процесса, имеет вид [c.361]

Исследование системы уравнений (2.139) — (2.141) ограничим поиском зависимости относительной (логарифмической) [c.206]

Оценка динамической устойчивости стационарного режима системы при отклонении величины расхода может производиться путем исследования системы уравнений с помощью тех или иных критериев устойчивости, используемых в системах автоматического регулирования, например с помощью критерия Гурвица. Причем, обязательным условием устойчивости во всех случаях является положительность всех коэффициентов уравнения. Для выполнения такого анализа необходимо упрощать полученные зависимости, учитывая параметры, оказывающие наиболее сильное влияние на устойчивость системы. В случае невозможности такого упрощения без ущерба для правильности получаемых выводов решение системы уравнений следует выполнять с помощью ЭВМ. На основании результатов расчета строится зависимость h — f (t), на основании которой можно судить об устойчивости работы клапана. [c.110]

Обычно для получения решений применяют приближенные аналитические и численные методы. Из аналитических методов наиболее традиционны и обоснованны асимптотические методы разложения по малому параметру, в качестве которого выступает входящее в уравнение Навье-Стокса число Рейнольдса или же обратная ему величина. Соответственно этому система уравнений Навье-Стокса асимптотически переходит в систему уравнений Стокса или же в систему уравнений пограничного слоя. Обе системы проще исходной, что позволяет значительно продвинуться в их аналитическом исследовании. Системы уравнений пограничного слоя и уравнений Стокса будут проанализированы далее. [c.148]

Первое решение соответствует колмогоровскому спектру и присутствует в системе при любом значении параметра. Численные исследования системы уравнений (7.22) показали, что при г <г =0.384 колмогоровское решение является устойчивым фокусом системы. При г =г имеет место бифуркация Хопфа, а при г=е =0.395 происходит новая бифуркация, после которой в системе возникает хаос. [c.118]

Задача исследования трехфазного потока еще более осложняется, если хотя бы одна из фаз - сжимаема. В этом случае уже не удается исключить фазовые давления р, и свести задачу к системе уравнений для насыщенности [c.289]

Найти общий метод оптимального решения-а случае сложных процессов химической технологии необычайно трудно. Очень редко (на основе полного изучения процесса в результате систематических исследований) удается дать точное описание явлений в виде системы уравнений (чаще всего дифференциальных) и определить. положение экстремума. [c.31]

Аналитическое исследование гидродинамики и массообмена в каналах с отсосом или вдувом проводят для ламинарных течений интегрированием системы уравнений (4.1)—(4.4), для турбулентных — на основе дифференциальных и интегральных соотношений модели пограничного слоя при этом основные результаты по коэффициентам трения и числам массообмена обычно представляют в форме относительных законов сопротивления и массообмена [1—3] [c.123]

Таким образом, вся сумма экспериментальных исследований дает основание описать механизм каталитического окисления спиртов на платине, а вероятно, и на других металлах, в растворе электролита следующей системой уравнений [c.51]

Термин устойчивость широко используется при исследовании решений, в частности, систем дифференциальных уравнений. Пусть системе уравнений [c.163]

Как отмечено выше (стр. 79,80), исследование можно произвести, используя некоторые очевидные для каждой схемы связи, не требующие определения вида кинетических уравнений. Так, например, из системы уравнений материального баланса для первой из простых схем следует, что одно из уравнений можно проинтегрировать независимо, после чего получим для изменения чисел мольных потоков п, — Аи, [c.338]

Полученные таким образом постоянные величины параметров Р1 и Рг применимы только для исследованной системы в данных условиях процесса. С использованием этих параметров уравнение (VI,54) может быть принято для расчета различных вариантов процесса промывки с приближением к оптимальным условиям оно не может быть принято для расчета других систем в других условиях промывки без нового экспериментального исследования. [c.252]

Даже в простейших случаях система уравнений (IX.8), (IX.24), (IX.28) не поддается аналитическому интегрированию. Машинное время, необходимое для численного решения, резко возрастает с увеличением числа ключевых веществ, поскольку граничные условия для концентраций и сопряженных переменных заданы на разных концах реактора и при решении приходится использовать метод последовательных приближений. Тем не менее, исследование расчетных уравнений часто позволяет, не решая их, сделать важные качественные выводы о форме ОТП. [c.374]

Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

Прежде чем выбрать тот или иной численный метод, необходимо проанализировать ограничения, связанные с его использованием, например подвергнуть функцию или систему уравнений аналитическому исследованию, в результате которого выявляется возможность использования данного метода. При этом весьма часто исходная функция или система уравнений должна быть соответствующим образом преобразована с тем, чтобы можно было эффективно применить численный метод. Преобразованием или введением новых функциональных зависимостей часто удается значительно упростить задачу. Такое упрощение преобразованием иллюстрируется на примере 1. [c.24]

Если получены матрицы преобразования для отдельных технологических операторов, то расчет ХТС сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Если математические модели отдельных ТО нелинейны, то решается система нелинейных алгебраических уравнений. Выбор формы представления математических моделей технологических операторов ХТС связан с каждым конкретным исследованием системы. [c.99]

Для эффективного решения задач, возникающих на всех уровнях иерархии химического производства, необходимо прежде всего выполнить идентификацию операторов отдельных ФХС, составляющих ХТС, т. е. оценить входящие в них параметры. Это может быть достигнуто либо решением обратных задач с постановкой соответствующих экспериментов (если объектом исследования служит действующее производство), либо априорным заданием ориентировочных значений технологических параметров, используя данные аналогичных производств (при проектировании новых химико-технологических систем). После процедуры идентификации отображение (2) можно считать готовым для изучения свойств ФХС в рабочем диапазоне изменения ее параметров нахождения оптимальных конструктивных и режимных параметров технологического процесса синтеза оптимального управления системой анализа и моделирования поведения ХТС, в состав которой в качестве элемента входит рассматриваемая ФХС и т. п. Реализация перечисленных задач так или иначе связана с решением системы уравнений, соответствующих отображению (2), что равносильно получению явной функциональной связи между переменными у и и либо в аналитической форме конечных соотношений, либо в виде результата численного решения задачи на ЭВМ. Формально это решение представляется в виде соответствующего отображения [c.8]

Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования. [c.202]

Численные исследования нелинейной системы уравнений моментов показали [2], что из устойчивости в малом следует асимптотическая устойчивость в целом а в случае неустойчивости в малом в системе устанавливается колебательный процесс одной определенной конечной амплитуды. На рис. 4.2 показаны рассчитанные на ЭВМ [2] при различных значениях m переходные процессы изменения концентрации в кристаллизаторе в устойчивой (кривые /, 2) и неустойчивой (3—5) зонах. Из формы кривых 4, 5 видно, что в случае неустойчивости состояния стационарности вне зависимости от начальных условий в системе самопроизвольно устанавливались нелинейные колебания определенного периода и амплитуды. Изменение характеристик процесса в автоколебательном режиме изображено на рис. 4.3. [c.334]

Подстановка этих выражений в кинетическое уравнение (8.31) приводит к системе уравнений, допускающих аналитическое решение. Исследование решений для различных начальных распределений позволило получить общую картину релаксации. В частности, если начальное распределение задается больцмановской функцией с некоторой температурой Тц =- Т, [c.48]

Нетрудно видеть, что каждая точка численного решения аналогична опытной точке при физическом эксперименте. Система уравнений, положенная в Основу расчета (или в общем случае — алгоритм), как бы. имитирует исследуемый объект, отражает его состояние при различных значениях определяющих факторов. Иначе говоря, математическое описание объекта играет при его исследовании роль модели. Вполне естественно, что такие модели называют математическими, а сам метод — математическим моделированием.. [c.261]

Следует ожидать, что при меньших начальных закоксованностях и более высоких концентрациях кислорода достижение максимального разогрева сместится в область конверсий углерода порядка 10%. Это отмечается в литературе [145, 150, 151] и получено в работе [153] с помощью изотермической модели. В любом случае характер распределения температуры после достижения максимального разогрева близок тому, который предсказывается при теоретическом исследовании [158] квазистационарных решений для экзотермических процессов. Последнее наводит на мысль о возможности применения приближения квазистационарности для уравнения теплового баланса. Правда, при таком подходе пропадает качество описания переходного периода на зерне формирование у внешней поверхности крутого температурного фронта и его последующее движение к центру зерна, сопровождающееся перестройкой температурного профиля по радиусу. С другой стороны, достаточно надежные результаты получены с помощью изотермических уравнений вида (4.14), которые не учитывают влияние теплопереносов на зерне в ходе всего процесса. Трудно априори отдать предпочтение одной из моделей изотермической или квазистационарной. При моделировании процесса регенерации на зерне катализатора было использовано квазистационарное приближение для уравнения теплового баланса. С учетом сказанного выше математическое описание процесса выжига кокса на зерне катализатора представляется следующей системой уравнений [c.74]

Блок-схема системы уравнений детерминированной модели реактора приведена на рис, 4-12. Программа решения системы уравнений была выполнена на языке АЛГОЛ-60 , а реализована программа на ЭЦВМ ОДРА-1204 . По найденным при экспериментальных исследованиях на пилотной установке закономерностям развития опасных параметров, характеризующих предаварийные режимы на разных стадиях процесса [давление в реакторе (Р) и температура реакционной массы (Т)], были получены недостающие коэффициенты математической модели, значения которых составили [c.210]

Расчеты Амундсона и Билоуса были выполнены для необратимой реакции первого порядка, так что г имеет вид (1 — ) /с (Г). Типичные расчетные кривые, полученные численным интегрированием системы уравнений (IX.65), (IX.66), показаны на рис. IX.15. Здесь показаны температурные профили Т ( ) при постоянной начальной температуре Гд = 340°К, но при температуре теплоносителя изменяющейся от 300 до 342,5° К. Вплоть до = 335° К температурный профиль изменяется весьма слабо, но дальнейший прирост всего на 2,5 град приводит к образованию резкого температурного пика, превышающего температуру у входа на 80 град. При дальнейшем увеличении на 5 град перепад температур между входом в реактор и горячей точкой возрастает до 100 град. Анализ чувствительности реактора, проведенный Амундсоном и Билоусом, основан на исследовании отклика системы на синусоидальные возмущения впоследствие был дан более строгий анализ отклика на случайные возмущения. Здесь мы ограничимся только качественным исследованием вопроса. [c.281]

Различные преобразования и представления этой системы уравнений, удобные для проведения численных расчетов, приведены в работах [3, 33, 38]. Использовались различные приближенные методы рещения уравнений (9.73), (9.76), дающие связь между давлением и насыщенностью на контуре залежи, а также метод последовательных приближений, МПССС, метод усреднения и др. С приближенными подходами к исследованию нестационарной фильтрации трехфазной смеси можно познакомиться по работам [57, 66, 69]. [c.292]

Дпя обработки результатов исследования процессов каталитического гидрооблагораживания по упрощенной и вполне доступной методике в качестве первого этапа следует идентифицировать кинетическую модель (см. т. 2). Следующий этап - изучение закономерностей дезактивации слоя катализатора в соответствии с методическими принципами, изложенными выше. Дпя обработки данных экспериментов от обоих этапов исследования может быть предложено соответствующее математическое описание в виде системы уравнений, связывающих изменение содержания серы в потоке по высоте слоя катализатора с отложешем металлов и времени работы слоя. [c.142]

Дополнительные трудности при решении оптимально задачи методами исследования функций классического анализа вО Зникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате пх применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности. Поэтому все решения данной системы (а их может быть и ие- жолько) должны быть проверены на достаточность. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают рен1ение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибол1зшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи. [c.30]

При решении практических задач исследование устойчивости системы уравнений (IX,51) в общем случае может оказаться весьма сложным. Поэтому проще всего попытаться найти решение данной системы в достаточно больиюм интервале интегрирования. При этом в процессе интегрирования не лишним является контроль изменения величины оптимизируемой функции R [л (/)1, который может показать наличие или отсутствие стационарной точки в процессе наблюдения за значением R (/). Разумеется, при этом возможны также случаи, когда при различных начальных условиях системы уравнений (IX,51) будут определяться разные локальные минимумы функции R (д ). [c.503]

Полное изучение процесса юстигается редко. Оно основывается на нахождении системы уравнений, описывающих зависимости интересующих нас зависимых переменных от изменений независимых параметров. Проведение систематических исследований, называемых также однофакторными, с целью полного изучения процесса, в котором зависимая переменная у является функцией независимых переменных Х, Х2, Хз,. .Хп [c.24]

В заключение остановимся на вопросе о том, при каких условиях фазовая плоскость реакторов непрерывного действия не содержит предельных циклов, т. е. в соответствующих системах не могут возникнуть автоколебания. Воспользуемся изложенными в главе 111 результатами исследования автотермического реактора непрерывного действия, т. е. реактора, в котором отсутствует теплопередача через стенку. Система уравнений, описывающая поведение автотермического реактора, получается из (IV, 8) при X = ц, т. е. X = iijX = 1. Как было показано в главе III, положения равновесия этой системы расположены на интегральной прямой. Так как фазовые траектории не могут пересекаться, то отсюда следует, что фазовая плоскость автотермического реактора не может содержать предельных циклов [c.153]

Механизм 1. Импульсом для создания математических моделей реальных гетерогенных каталитических систем, в которых возможно возникновение сложных и хаотических колебаний, послужила работа [146], в которой исследован механизм возникновения хаотических колебаний, состоящий из двух медленных и одной быстрой переменной. Большинство математических моделей, описывающих автоколебания скорости реакции на элементе поверхности катализатора, двумерны, поэтому они не пригодны для описания хаотического изменения скорости реакции. Механизм возникнования хаоса из периодического движения для кинетической модели взаимодействия водорода с кислородом на элементе поверхности металлического катализатора предложен и проанализирован в работе [147]. Модель учитывает основные стадии процесса адсорбцию реагирующих веществ, взаимодействие адсорбированных водорода и кислорода, растворение реагирующих веществ в приповерхностном слое катализатора. Показано, что сложные и хаотические колебания возникают в системе с кинетической моделью из трех дифференциальных уравнений, два из которых описывают быстрые процессы — изменение концентраций водорода и кислорода на поверхности катализатора, и третье уравнение описывает медленную стадию — изменение концентрации растворенного кислорода в приповерхностном слое катализатора. Система уравнений имеет вид [c.322]

Задача течения и массообмена в каналах при симметричном отсосе или вдуве была сформулирована в виде системы уравнений (4.1) — (4.4) и граничных условий (4.5) и (4.6). Ограничим данную задачу исследованием только стабилизированного течения несжимаемой среды с постоянными физическими свойствами. Тогда для плоского канала с симметричным отсосом (вдувом) уравнения неразрьгоности и движения запишутся в следующем виде [c.127]

Такие высокие численные значения длины застойной поры лишают этот параметр физического смысла и превращают его в фиктивный параметр, на который в сильной степени влияют факторы, не учитываемые в математическом описании (см. с. 249). Поэтому уравнение (VI,55) можно использовать с уверенностью только для исследованной системы в принятых условиях. Применение этого уравнения для других систем или в измененных условиях не может быть рекомендовано без предварительного экспе1рименталь-ного исследования. [c.254]

В результате решения системы уравнений математического опи-сагшя определяются составы продуктов разделения, составы и температуры по всем тарелкам колонны, а также величины потоков жидкости и пара на тарелках. Математическая модель может использоваться для исследования различных режимов разделения, а также для расчета различных статических характеристик ректификационных колонн, разделяющих бинарные смеси компонентов с резко отличающимися температурами кипения. [c.314]

Для исследования системы (4.7) — (4.13) на устойчивость необходимо привести ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этой цели продифференцируем по времени к-й момент функции / (а , Г) и в подынтегральное выражение подставим вместо dfjdf ее значение из соотношения (4.9). В результате ири любом к получим основное уравнение моментов [c.332]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

В. учебной литературе по вычислительной математике (напрнмер, в [63]) не описано каких-либо общих методов исследования сходимости метода Зейделя. Для системы уравнений (21) можно использовать следующий путь доказательства сходимости. Расслютрим задачу решения системы как равносильную ей задачу нелинейного программирования пои ка минимума некоторой функции Р переменных Х1- Термодинамика (с точностью до множителя ЯТ) подсказывает нам такой вид [c.30]

В отличие от вышеприведенного трудоемкого комплекса методик (установившегося состояния, импульсного возмушения и отсечки) при исследовании по новому методу (моментов функции распределения) отпадает необходимость в решении системы уравнений относительно безразмерной дисперсии. На примере комбинированной модели рассмотрим методику определения параметров математической модели. Структуру математической модели можно определить из характера зависимости, приведенной на рис. 3.5. Прямые участки свидетельствуют о наличии зон полного перемешивания, а экспоненциальные участки - диффузионной зоны, что позволяет определить размеры этих зон и величины Ре,. [c.118]

Алгоритм одновременной коррекции системы уравнений подходит для всех типов задач многокомпонентного многостадийного разделения в отдельной колонне. В случае взаимосвязанных колонн решение математического описания всех колонн одновременно предпочтительнее последовательного модульноитерационного подхода, когда алгоритм одновременной коррекции используется для каждой из колонн. Наши собственные исследования по решению задач разделения показывают, что итерации по колоннам несравнимо хуже, чем одновременное решение всех уравнений математического описания взаимосвязанной системы. Если же спецификации не содержат информации о разрывных потоках, то трудности итерационного расчета по колоннам будут увеличиваться. [c.263]

Устойчивость колонн синтеза аммиака с внутренним теплообменом. Число стационарных состояний и их свойства можно найти по методу, примененному для анализа стационарных режимов в зерне и в слое катализатора. Аналогичная задача об устойчивости колонн синтеза решена В. И. Мукосеем Он провел численный анализ системы уравнений знаковой модели колонны синтеза и построил зависимость конечной температуры реакционной смеси от начальной (рис. ХУ-35). Как видно из рисунка, имеются области начальных температур, для которых суш,ествует одна или три температуры на выходе из колонны и соответственно одно или три стационарных решения (рис. ХУ-Зб). Верхняя кривая отвечает норхмальному режиму (/ к), средняя —неустойчивому, а >лижняя кривая (Тд ) не представляет практического интереса. Анализ устойчивости колонн синтеза аммиака методом исследования параметрической чувствительности выполнил В. С. Бесков [c.520]

Заключительные замечания. Проведенное исследование управления для двухфазной модели процесса в псевдоожиженном слое, состоящей из гиперболической системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными, подтвердило, что выбранная форма обратной связи в виде функционала от решения с соответствующим образом подобранными интегральными ядрами обеспечивает стабилизацию пеустойчт1вого решения. Наряду с этим, если, например, запас устойчнвостп для стационарного режима недостаточен для уверенного ведения процесса, то данный метод управления позволяет увеличить запас устойчивости введением обратной связи и расширить область допустимых возмущений, при которых система не переходит в другой стационарный режим. [c.126]

Решением системы дифференциальных уравнений найдены радиальные и тангенциальные компоненты скорости движения испаряющихся капель и их радиаль юго перемещения при известных внешних условиях скорость воздуха (газа) на входе камеры Овх, начальный диаметр капли dкo параметры газа-п-плоносителя (гемпература ( , плотность Рв, теплопроводность вязкость и жидкости (теплота испарения г, плотность р , температура поверхности С ). Дополнительным условием при решении системы уравнений была зависимость = 1( ), полученная при а.зродинамических исследованиях. Эта зависимость имеет вид [c.178]