Приложение В. Теорема Пойа

Приложение В. Теорема Пойа [c.70]

Частная производная от потенциальной энергии упругой деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению точки приложения силы по направлению силы (теорема [c.348]

Имеются два общих подхода к выводу уравнения состояния первый — это определение давления из теоремы вириала (кинетическое давление) и второй — расчет давления на основании функций распределения, применяемых в статистической механике (термодинамическое давление). Можно ожидать, что оба подхода равноценны, и этому легко дать общее доказательство. Сначала представим вывод теоремы вириала в классической механике. Это достаточно общий вывод, относящийся только к усредненным по времени уравнениям движения. Здесь же обсуждается несколько простых приложений указанной теоремы, включая упрощенный вывод второго вириального коэффициента. В следующем разделе показано, что теорема вириала будет справедлива и в квантовой механике, если уравнения движения Ньютона заменить уравнениями Шредингера, а вместо классических переменных рассматривать их квантовомеханические аналоги. Одна из причин, по которым приводится теорема вириала (это не дань истории, так как именно из названия этой теоремы взято название вириального уравнения состояния), заключается в том, что эта теорема является достаточно общей и дает более обширную информацию в том случае, когда степенной ряд по плотности оказывается бесполезным. [c.23]

В табл. 3.2 приведены сводные результаты предварительной обработки статистической информации по группе технологических установок НПП. Распределения рассматриваемых случайных величин подчиняются нормальному закону (по отдельным продуктам это иллюстрируется данными, приведенными в приложении). Объективно это связано с тем, что рассматриваемые параметры отражают множество независимых случайных факторов — в этом случае в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения сколь угодно близок к нормальному. Необходимо отметить, что с учетом фактической точности исходной статистической информации, на основе которой определяются законы распределения в технико-экономических расчетах, и ограничений, налагаемых на условия функционирования производственно-экономических объектов, может осуществляться и приближенная замена одних законов распределения другими. [c.96]

Сила давления в общем случае определяется интегралом, взятым от элементарных сил давления по поверхности, соприкасающейся со средой. Однако такой способ вычисления гидродинамических сил обычно не удается применять ввиду трудностей, связанных с нахождением закона распределения давления по поверхности тела, обтекаемого средой в ограниченном пространстве. В связи с этим силы давления, действующие на элементы регулирующих и распределительных устройств, чаще определяют с помощью теоремы об изменении количества движения среды, протекающей сквозь выделенный объем. В приложении к решению подобного класса задач теорема формулируется следующим образом сумма локальной производной по времени от количества движения среды в некотором замкнутом фиксированном объеме V потока и количества движения среды, протекающей в единицу времени сквозь внешнюю поверхность 5, ограничивающую этот объем, равняется сумме объемной силы Р , действующей на среду, заключенную в объеме V, главного вектора Р поверхностных сил, действующих на внешней поверхности 5, и гидродинамической реакции Рт- непроницаемого тела, обтекаемого потоком внутри объема V. Эта теорема может быть выражена уравнением [c.301]

Предположим, что ст G / ф не принадлежит замкнутой выпуклой оболочке указанного множества мер р. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение А.3.3 (с)) существует такое Ф е X, что [c.64]

Точка приложения сил давления (Р, Ру) на стенку называется центром давления. Координата этой точки (/1д или sin а) может быть найдена при помощи теоремы Баритона, согласно которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил относительно одной и той же оси. Приняв за ось линию пересечения плоской стенки со свободной по- [c.29]

В 1911 г. М. Планк (1858—1947) подтвердил этот вывод для случаев, когда энтропия чистых кристаллических веществ при абсолютном нуле равна 0. Тепловая теорема Нернста немедленно привлекла к себе внимание исследователей прежде всего как основа для расчета энтропии и других термодинамических параметров химических реакций и фазовых переходов. Оказалось, что для вычисления энтропии по формуле Кирхгоффа достаточно знать лишь характер зависимости теплоемкости от температуры. После дискуссии о пределах применимости теоремы Нернста была принята следующая ее формулировка (1911) при абсолютном нуле все равновесные процессы происходят без изменения энтропии, которая остается равной нулю. Она получила приложение в ряде исследований. Сам В. Нернст рассчитал из удельных теплот температуру перехода ромбической серы в моноклинную. Особое значение теорема имела при расчетах режимов различных технологических процессов. Так, Ф. Габер в 1907 г. вычислил значение равновесия реакции синтеза аммиака из элементов. Далее на основе данных теплот образования углеводородов, определенных Ю. Томсеном, оказалось возможным рассчитать, что при взаимодействии водорода с углеродом при 500 °С и атмосферном давлении равновесие реакции наступает [c.242]

В теории сопротивления материалов имеется метод определения перемещений по направлению в некоторой точке при условии, что известны внутренние усилия в системе (теорема Максвелла — Мора [32, 33]). Изложим его применительно к бинарной консоли. Приложим к узлу А по направлению и единичную силу, если надо определить линейное перемещение, или же единичный момент, если интересующее нас перемещение угловое. Все остальные внешние нагрузки снимем. В каждой точке пути из Л в корень ДТ возникнут внутренние усилия, вызванные приложенным единичным усилием. Мы сохраним для них указанные выше обозначения, добавляя нижний индекс 1 . [c.32]

По теореме Кастильяно, величина перемещения любой точки осевой линии кольца (или угол поворота сечения) может быть найдена как производная от потенциальной энергии (1-1) по усилию (моменту), приложенному в том же направлении, в котором определяется перемещение. [c.8]

Пусть ацг — прогиб под грузом Qi (в точке i), когда в точке приложения груза Qft (в точке к) действует сила Q =l. Коэфициенты а, называются коэфициентами влияния, и они будут рассмотрены подробнее ниже, в 4. Здесь отметим лишь, что, как известно по теореме взаимности перемещений, имеем [c.432]

Полный энергетический баланс поточных процессов. Из опыта известно, что взаимные превращения различных форм энергии и превращение тепла в работу при реальных процессах сопровождаются деградацией энергии, Тг е. переходом ее в менее полезные формы. По этой причине первый закон термодинамики — или закон сохранения энергии — менее важен для практических приложений, чем уравнение энергетического баланса, известное, как теорема Бернулли. Уравнение баланса может быть выведено из уравнения (17.3) следующим образом. Вследствие того, что в текущей жидкости происходят необратимые процессы, в действительности энергия, которой обладает единица массы вытекающей жидкости, не выражается левой частью уравнения (17.3) сюда необходимо ввести член, учитывающий потерю энергии единицей массы на преодоление трения. Таким образом, из уравнения (17.3) получаем [c.310]

Набор матриц R, связанных с элементами группы есть представление (представление вектора) группы которое может быть либо приводимым, либо неприводимым. Левая часть равенства (2.4) не зависит от поворота R если усреднить правую часть этого равенства по g операциям группы, взяв сумму по операциям R и разделив на g, то в силу теоремы об ортогональности представлений (приложение Б, 3) среднее значение будет отлично от нуля лишь в том случае, если представление [c.228]

Заметим, что представление, для которого характер, связанный с операцией / , равен произведению % "Ч ) Х ( ). является представлением нулевого волнового вектора в подгруппе пространственной группы, которое сохраняет волновой вектор. Его можно разложить обычным способом (приложение Б, 2) по неприводимым представлениям этой подгруппы. Исходя из них, можно на основании корреляционной теоремы ) найти неприводимые представления нулевого волнового вектора, входящие в пространственную группу. [c.277]

Из основной формулы и. Е. Жуковского (И1—70) следует, что наиболее важная для дальнейших приложений составляющая силы взаимодействия — подъемная сила — существует только в том случае, если набегающий поток создает циркуляцию вокруг профиля. Очевидно, вдали от профиля, где поток практически равномерный и прямолинейный, эта циркуляция образоваться не может, тем более при сделанном предположении об отсутствии сил трения в потоке. Значит, причина ее возникновения лежит в самом профиле. Как было уже указано, при симметричных профилях, обтекаемых потоком с углом атаки, равном нулю, подъемная сила отсутствует. Она появляется в этих профилях при несимметричном обтекании или замене их искривленными профилями. В том и другом случаях частицы потока, движущиеся по разным сторонам профиля, будут проходить различные пути по его контуру (см. рис. 129). Они должны сбегать с профиля при отсутствии отрывов и разрывов одновременно, поэтому частицы, проходящие по длинной выпуклой части контура, должны иметь большие скорости, чем соответствующие частицы, движущиеся по короткой (вогнутой) части контура. По теореме Эйлера (III—61) давления на этих частях находятся в обратных соотношениях, т. е. на длинном участке контура давление меньше, а на коротких больше, что приводит к образованию силы, действующей на профили перпендикулярно к скорости с с и направленной от вогнутой его стороны к выпуклой. Одновременно из определения (III—67) следует, что циркуляция по рассматри-вае.мо.му контуру [c.302]

Пусть будет —прогиб под грузом Q, (в точке г), когда в точке приложения груза Р (в точке к) действует сила Р = 1. Коэфициенты называются коэфициентами влияния, и, как известно по теореме взаимности Максвелла, имеем [c.349]

Так можно рассуждать, однако, только в случае матричных элементов между функциями S =Sj,=5, потому что в противном случае все матричные элементы от обычных спиновых операторов обращаются в нуль и ни о какой истинной пропорциональности нельзя говорить. Справедливость теоремы о подстановке [см. формулу (27) приложения 1П], которая по существу представляет собой другую формулировку полученного результата, также ограничена указанной ситуацией. [c.283]

Основная теорема позволяет вычислять определенный интеграл, находя сначала первообразную F x), а затем разность между значениями F x), вычисленными для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Мы должны, однако, помнить, что по определению определенный интеграл есть предел суммы. В физических или геометрических приложениях отдельные слагаемые ее имеют смысл, который можно упустить из виду, если вычислять определенный интеграл исходя из первообразной. [c.560]

Теорема 3. Если функции fxy и fyx непрерывны, то [ху = fyx-Иными словами, если смешанные производные высших порядков непрерывны, то несущественно, в каком порядке вычислять производные. В большинстве случаев в приложениях условия непрерывности выполняются, и поэтому результат получается один и тот же независимо от того, дифференцируют ли сначала по X, а потом по у, или наоборот. [c.578]

Для вычисления этого интеграла необходимо построить эпюры изгибающих моментов (г) от единичной силы, приложенной к валу там, где укреплен диск. Величина искомого интеграла может быть найдена по теореме о среднем значении интеграла (правило Верещагина), которое на участках вала с постоянной жесткостью позволяет осуществить интегрирование, пользуясь умножением площадей эпюры изгибающих моментов (лежащих по одну сторону от оси) на значение моментов в центрах тяжести площадей эпюр. На рис. 98 приведены простейшие способы крепления ротора с одним диском, а в табл. 6 указаны соответственные положению диска податливости вала и приведены значения критических угловых скоростей. Для консольного ротора показаны эпюра моментов и значения момента на этой эпюре в центре тяжести площади, с помощью которых может быть определено 230 [c.230]

Удобство теоремы об изменении моментов количества движения в приложении к сплошной среде заключается в том, что с ее помощью динамическое взаимодействие между жидкостью и обтекаемыми поверхностями можно определить по характеру течения в контрольных сечениях без учета структуры потока внутри выделенного объема. [c.34]

Велика также роль аналитической химии и в системе общего образования учащихся. Подобно тому как теоремы и правила математики становятся лучше всего понятными при решении математических задач, так и основные законы и теории химии, с которыми учащиеся встречались уже в курсе общей химии, особенно отчетливо усваиваются при практическом приложении их к решению аналитических задач. Особенно ценным в этом отношении является качественный анализ. Кроме того, работы по аналитической химии создают навыки точного научного экспериментирования, развивают наблюдательность и т. д. [c.12]

Используя описание пространств (1К ) в терминах коэффициентов разложения их элементов по базису полиномов Эрмита в 2 (1К°°, 71), как и в п. 3, можно определить аппроксимацию основных и обобщенных функций цилиндрическими полиномами, установить аналоги утверждений п. 4 о действии в пространствах семейства (Я (1К° ))т Т дифференциальных операторов и т. д. Единственное существенное отличие от случая пространства (1К° ) состоит в принципиальной невыполнимости аналога теоремы вложения 4.3. Точнее говоря, ни при каком выборе мультииндекса т нельзя добиться непрерывности функций из Я (1К° ) на множестве положительной 71 меры в — последнее обстоятельство ограничивает возможности использования введенных пространств в приложениях. При фиксированном т °° имеют место включения [c.172]

Основная часть этой главы посвящена доказательству теоремы о разложении по обобщенным совместным собственным векторам произвольного семейства коммутирующих, вообще говоря, неограниченных нормальных операторов ( проекционной спектральной теоремы ), В этой теореме выделены проекторы на обобщенные собственные подпространства, сами спектральные интегралы континуальные. В конце главы и в главе 4 приводятся ее приложения, иллюстрирующие удобство такой формы спектральной теоремы для некоторых вопросов. [c.202]

В (23) интегрирование производится по всем частотам от —оо до -- 00. Отрицательные частоты не имеют физического смысла, по запись (23) предпочтительнее в математическом отношении. Эта формулировка позволяет использовать ряд э )фективных математических приемов. Например, интегрирование иа комплексной плоскости с использованием теоремы о вычетах позволяет оценить интегралы вида (20) в замкнутой форме. Но в приложениях к физическим явлениям следует возвращаться к вещественным, положительным значениям со. [c.46]

Согласно теореме о количестве движения изменение количества движения секундной массы воздуха равно сумме всех внешних сил, приложенных к этой массе. Внешними силами по отношению к этой массе воздуха будут силы давления в плоскостях /—1, 2—2 и на поверхностях тока 1—2, Г—2, а также сила реакции со стороны элемента лопатки плоской решетки. [c.45]

По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т х, у, г, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.30]

Приложение теоремы Гиббса — Вульфа. Ввиду того, чтоЛу находится в знаменателе, правая часть уравнения (111.27) имеет заметную величину только для чрезвычайно малых кристаллов, поскольку 7 равна нескольким десяткам или сотням эрг на 1 см , а 17 = 10 см . По этой причине только для очень малых кристаллов р будет заметно отличаться от роо или от Цоо, и, следовательно, только для очень малых кристаллов можно ожидать формы, предсказываемой теоремой Гиббса — Вульфа. [c.76]

Теорема Лиувилля — результат приложения законов механики к описанию движения роя изображающих точек ансамбля изолированных систем или систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Для каждой системы ансамбля число частиц N, энергия Е и все внешние параметры а ,. .., а, фиксированы. Обычно мы будем рассматривать только потенциал, создаваемый стенками сосуда, и учитывать только один внешний параметр — объем сосуда V. Таким образом, для системы ансамбля заданы параметры Е, N, V. При строгом условии Н (p,q) = Е = onst фазовые точки, изображающие состояния систем, движутся по гиперповерхности постоянной энергии, наблюдается распределение этих точек по поверхности. Чтобы иметь дело с объемным распределением, смягчим условие постоянства энергии и запишем его в виде [c.49]

Для того чтобы записать правильную систему точек асимморф-ной пространственной группы, необходимо, следовательно, знать вынос генерирующих осевых или плоскостных операторов. Последнее можно сделать по готовому плану пространственной группы или по плану ее, построенному самостоятельно по символу пространственной группы- и теоремам сложения элементов симметрии с трансляцией. В приложении 6 дан перечень пространственных групп, где наряду с генерирующими группу операторами даны суммы нецелых трансляций, определяемых выносом оператора и его собственными трансляциями. Эти суммы трансляций даны в доля единичных век- [c.78]

В предыдущем разделе Остерхоф провел критическое обсуждение ряда концепций, лежащих в основе объяснения естественной и индуцированной вращательной способности молекул. В настоящем раздело будут рассмотрены вопросы, которые возникают при приложении указанных концепций к интерпретации экспериментальных данных по оптической активности естественно активных соединений с целью получения из этих данных информации о структуре оптически активных молекул. Точнее, будут доказаны две полезные теоремы и отмечены их возможные применения. Первая из этих теорем (теорема I) устанавливает связь между формой полосы поглоп ения разрешенного электрического дипольного перехода и формой соответствующей полосы поглощения, связанного с круговым дихроизмом в сочетании с соотношениями Кронига — Крамерса эта теорема часто позволяет легко строить кривые дисперсии оптического вращения по экспериментальным данным 1Г0 поглощению. Вторая теорема (теорема II) касается подбора оператора вращательной силы перехода, который бы гарантировал независимость вращательных сил переходов от выбора начала координат при расчетах с неточными волновыми функциями. Ввиду имеющихся в настоящее время трудностей построения точных волновых функцргй необходимость в такого рода гарантиях совершенно очевидна. [c.260]

Мы пе будем доказывать его строгим образом (отсылая читателя по этому поводу к [41] или другим курсам математической статистики), а ограничимся, если можно так выразиться, лишь логической формулировкой. Этот принцип является своего рода приложением к статистике теоремы о произведении вероятностей независимых событий. Допустим, какое-то статистическое распределение возникло в результате нескольких взаимопезависимых процессов, каждый из которых приводит к некоторому частному распределению. Из теоремы о произведении вероятностей сразу следует, что результирующее распределение получится в результате операций перемножения и суммирования (интегрирования) тина приведенных на стр. 40—41 (формулы (1.33) —(1.38)). Поскольку имеется аналогия с произведением вероятностей, последовательность этих процессов утрачивает всякое значение. Иными словами, [c.46]

Полученный выше результат называется теоремой Жуковского и формулируется следующим образом при плоскопараллельном обтекании газом или жидкостью бесконечной решетки рыльев (профилей) равнодействующая всех сил, приложенных потоком к единице длины крыла, равна геометрической сумме циркуляционной силы Жуковского, определяемой по формуле [c.42]

Некоторые решения разработаны автором и публикуются, насколько ему известно, здесь впервые. Такова теорема о разложении в одном частном случае определителя частот на произведение двух определителей, приведение формул Геккелера для цилиндра и шара, приближенное решение краевой задачи для конической оболочки, раздел о быстровращающихся сосудах, расчет упругих подшипников, расчет центрифуг с упругим подшипником, ряд задач по приложению теории оболочек к расчету сосудов, расчет некоторых типов лопастных и эллиптических мешалок, теория и расчет планетарных мешалок, весь раздел о бандажах (частично опубликованный раньше), определение коэфициента сопротивления лопастных мешалок, вывод распорных сил и т. д. Впервые, насколько известно автору, в предлагаемой им законченной форме сформулировано уравнение сосудов с иллюстрацией его приложения к значительному числу случаев, в частности — к решению задачи о цилиндре, укрепленном бандажами, каковое решение автор имеет основание также считать оригинальным, хотя, в известной мере, не новым. То же относится, очевидно, и к расчету цилиндров со сплошной оплеткой. [c.5]

Собственные функции атомных и молекулярных гамильтонианов удовлетворяют некоторым определенным теоремам, которые полезны и интересны с физической точки зрения,— гипервириальным теоремам, обобщенным теоремам Гельмана — Фейнмана и т. д. Кроме того, эти функции одновременно могут быть и собственными функциями каких-то других операторов К, коммутирующих с гамильтонианом Я. В следующих параграфах обсуждаются условия, при которых сразу же можно быть уверенным, что аналогичными свойствами обладают и оптимальные пробные функции. (В приложении В собраны воедино подобные же результаты для нестационарных задач.) Если указанные теоремы применимы, то они позволяют вскрыть физическую сущность величин и , а также определить степень той точности, с которой эти величины аппроксимируют поведение истинных собственных функций и собственных значений. Кроме того, если в рамках данного множества пробных функций не удается точно вычислить величины з и , то та точность, с которой применимые теоремы удовлетворяются приближенными значениями ф и , может давать опеределенные указания на степень точности аппроксимации — например, на то, в какой мере вычисления по методу НССП аппроксимируют результаты метода НХФ ). Последнее замечание поднимает также вопрос, который является, очевидно, чрезвычайно сложным некоторый мы обсуждать не будем. Суть его в следующем. Пусть заданные условия почти удовлетворяются в некотором определенном смысле этого слова. Тогда в ка- [c.100]

В югассах функций конечной гладкости справедлив аналог теоремы 1, утверждающий корректность постановки задачи Коши в малом по I. Для приложений этих результатов к конкретным задачам особенно важно свойство единственности решения. Оно позволяет выяснить существенные структурные особешгости движений газа. [c.65]

Пятая глава посвящена приложениям проекционной спектральной теоремы к бесконечномерному гармоническому анализу. Так, в 2 изучается бесконечномерная проблема моментов, т. е. проблема представимости функционалов при нарастающем количестве переменных в виде моментов некоторой меры на бесконечномерном пространстве (роль таких функционалов могут играть, например, функции Швингера в евклидовой теории поля). Положительно определенные функции, заданные в слое пространства 0 °°, изучаются в 3, в слое гильбертова пространства — в 4. Доказывается теорема о возможности их продолжения на все пространство н устанавливается спектральное представление (обобщение теоремы Минлоса — Сазонова на слой). В 5 излагается общая схема получения спектральных представлений положительно -определенных ядер через обобщенные совместные собственные векторы семейств коммутирующих самосопряженных операторов — 2—4 являются ее частными реализациями. Эта схема — обобщение подхода М. Г. Крейна, относящегося к одному оператору и использующего метод направляющих функционалов. В 1 этой главы изложен ряд критериев самосопряженности общих операторов. Эти критерии группируются вокруг эволюционных критериев, когда о самосопряженности можно судить по свойствам соответствующих эволюционных уравнений и вытекающего из них ква-знаналитического критерия. Результаты 1 используются как в гл. 5, так и в последующих главах. [c.10]

Построения этого параграфа обобщают на случай бесконечного числа операторов схему Березанского 15, гл. 8, 1), относящуюся к случаю их конечного числа они изложены в менее совершенной форме в статьях Березанского [8, 20]. Примеры реализации теоремы 5.1 в случае конечного числа операторов Ах содержатся в книге Березанского [5, гл. 8, 3) по поводу бесконечномерного случая см. также статью Рудинского [1]. Теорема 5.3 доказана Березанским [9—11] в связи с этой теоремой см. также работу Шифрина [2]. Приложения теории представлений п. о. ядер к спектральной теории случайных полей см. в книге Ядренко 11]. [c.652]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология