Применение степенных рядов

При применении степенных рядов для теплоемкостей величины Ру в известной мере фиктивны, так как эти ряда непригодны для низких Т. [c.276]

Применение степенных рядов. Не всегда имеются достаточно полные сведения о теплоемкостях для точного расчета констант равновесия или термодинамических функций. Чаще всего не-хватает данных для низких и очень высоких температур. В этих случаях приходится довольствоваться приближенными расчетами, для которых пригодны приближенные формулы Нернста (1906), имевшие до недавнего времени широкое распространение. [c.373]

Согласно 288, величина Аг должна быть равна разности химических констант ] реагирующих газов. Однако, как указывалось в 293, применение степенных рядов для теплоемкостей вносит в расчеты ошибку она должна быть компенсирована эмпирическим подбором величины для Дг, отвечающей опытным данным и не совпадающей с истинной j. При таком подборе на основании хотя бы одного достаточно достоверного опытного Кр формула (238) дает отличные результаты для всех тем- [c.376]

Этот случай впервые был рассмотрен Блазиусом, причем решение уравнения (36) было получено путем применения разложения функции f ц) в степенной ряд, асимптотического разложения для больших т и последующей стыковки обоих разложений в некоторой определенным образом выбранной точке т]. В настоящее время решение уравнения (36) легко может быть получено численными методами с высокой точностью. Значения функции м/ыо = / (г)) приведены в табл. 6.3. [c.291]

В последние годы в соответствии с принятыми соглашениями в таблицах термодинамических функций приводятся не только коэффициенты степенных рядов, а и величины Я°(7)—Я°(0) для интервалов температур ДГ=100 К. Цель этого — исключение возможного наложения ошибок при подборе коэффициентов ряда и при его применении. [c.44]

При использовании соотношений (111.22) и (П1.23) в области низких температур оказывается очень полезной функция Дебая 1(11.120)— (П.123)1, а при более высоких температурах находят применение степенные температурные ряды типа (11.100) и (П.104). Например, если принять для азота функцию (11.101), т. е. [c.77]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ 1)]- В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)lp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

Строго говоря, применение метода наименьших квадратов в отношении преобразованных величин (логарифмов, степеней, отношений) не вполне обоснованно, поскольку неизвестно, по какому закону распределены эти величины. Тем не менее ввиду отсутствия достаточно универсальных и доступных альтернативных методов следует считать обработку результатов методом наименьших квадратов не только допустимой, но и желательной Существенно отметить, что в принципе для всех непрерывных функций могут быть подобраны хорошо сходящиеся степенные ряды, которые аппроксимируют исходные функции тем меньшим числом членов разложения, чем с большим избытком выполняется условие сходимости. С другой стороны, на отдельных участках криволинейные зависимости с хорошим приближением могут быть интерпретированы как линейные, а их параметры вычислены с помощью метода наименьших квадратов. [c.145]

Графическое изображение двух рассматриваемых методов линеаризации расходно-перепадной характеристики турбулентного гидродросселя показано на рис. 2.23. Исходная нелинейная функция представляет собой ветвь параболы. На ней выделены зоны линеаризации р (0) < р < р (Д) и ( (0) < р д (Д). Линеаризация путем применения линейной части степенного ряда Тейлора соответствует на рис. 2.23 прямой АС, проведенной касательно к параболе в начальной (опорной) точке А с координатами р (0) к Q (0). Линеаризация посредством интерполяционного многочлена первой степени соответствует на рис. 2.23 секущей линии АВ, проведенной через начальную и граничную точки А и В с координатами р (0). С2 (0) и р (Д), (3 (Д). [c.139]

Механохимическая деструкция является, пожалуй, наиболее характерным для полиокса процессом снижения молекулярной массы в растворах, а также самым серьезным препятствием или ограничением для его успешного применения в ряде важных отраслей техники [164, 165]. Деструкция полимера в сдвиговом поле различной конфигурации обусловлена большими линейными размерами макромолекул, причем в наибольшей степени затрагивает самую высокомолекулярную часть полимера. [c.277]

Задача (2.108) может быть решена методом аппроксимаций Кармана — Польгаузена [79—81] или методом возмущений [78, 82], а также с помощью применения аналоговых компьютеров [82]. Задача имеет автомодельное решение, и, следовательно, скорость на межфазной поверхности постоянна по всей длине. Аналитическое решение задачи (2.108) для последующего описания кинетики массообмена было впервые получено методом возмущений, состоящим в разложении функций f и ф в степенные ряды по малым параметрам О, и 02 с учетом членов разложения до кубических включительно [c.40]

Несмотря на развитие методов разделения, которые делают возможным успешное выделение и определение компонентов при анализе сложных смесей, их применение в ряде случаев связано с некоторыми неудобствами и затруднениями. Среди них нужно отметить увеличение времени анализа при разделении компонентов сложной системы возможные потери в ходе выделения, особенно при определении небольших количеств вещества введение некоторых загрязнений в анализируемую систему в результате многоступенчатого процесса с использованием множества реактивов и др. Поэтому в аналитической практике часто для определения какого-то компонента прибегают к маскировке мешающих компонентов. Под маскировкой следует понимать снижение концентрации мешающего компонента настолько, что некоторые из его химических или физических свойств не могут проявиться в измеримой степени и помешать определению или от-де.яению других компонентов. [c.424]

Основные идеи вывода Боголюбова. Бинарная функция распределения. Вывод, предложенный Н. П. Боголюбовым, представляет собой одно из применений разработанного им метода статистического расчета свойств систем, состоящих из взаимодействующих между собой частиц. Метод сводится к разложению в ряд функций распределения частиц по степеням некоторого малого параметра (что обеспечивает достаточно быструю сходимость ряда) и вычислению членов этого степенного ряда. Выбор малого параметра определяется условиями задачи. [c.426]

Применение метода наименьших квадратов для обработки нелинейных зависимостей. Рассмотренная на конкретном примере линейная зависимость вида у = а + л относится к числу наиболее распространенных в практике химико-аналитического исследования. Однако многие другие нелинейные зависимости путем соответствующих преобразований также могут быть сведены к линейной. Так, замена величин 1/х или х" на новую переменную 2 в уравнениях у = + а х или у = ао + + Й1Х приводит их к виду у = йо + й1г. Равным образом, зависимость у = ах при логарифмировании превращается в линейную относительно логарифмов lg у = lg а-Ь т х. Таким же образом, любая зависимость, имеющая вид степенного двучлена у = аох -Ь а1Х", может быть приведена к линейной введением двух новых переменных I = г//х и о = в отношении которых справедливо, равенство t = ao + alV. Интерпретация экспериментальных данных через новые переменные позволяет найти оптимальные параметры ао и а с помощью стандартных формул (48) и (49) метода наименьших квадратов. Существенно отметить, что в принципе для всех непрерывных функций могут быть подобраны хорошо сходящиеся степенные ряды, которые, аппроксимируют исходные функции тем мень-щ[им числом членов разложения, чем с большим избытком выполняется условие сходимости. Это означает, что на отдельных участках криволинейные зависимости с хорошим приближением [c.115]

Исследование системы регулирования качества до сих пор проводилось частотными методами. Интерпретация полученных при этом результатов с помощью переходных функций связана иногда с значительными трудностями вследствие необходимости применения обратного преобразования по Лапласу к функциям выражающим транспортное запаздывание. Однако для получения реакции на импульсное или ступенчатое возмущение можно разложить в степенной ряд динамическую характеристику, описываемую уравнением (I, 94). Выражения [c.67]

Для любых высоких Т можно получить достаточно точные результаты, применяя для теплоемкостей обычные степенные ряды как для газов ( 202), так и для твердых и жидких тел. Без стандартных таблиц применение таких рядов, как уже указывалось, дает лишь грубое приближение, так как тогда эти ряды нужно интегрировать от О до Т, захватывая при этом область низких температур, для которых такие ряды совершенно неприменимы. [c.386]

Продукты каталитического риформинга бензиновых фракций представляют собой смеси ароматических углеводородов, нафтенов и парафинов с примесью непредельных углеводородов. Это могут быть либо узкие фракции, содержащие соответственно бензол, толуол или ксилолы, либо широкие фракции, содержащие смесь ароматических углеводородов. Выделение ароматических углеводородов высокой степени чистоты (99—99,9%) из этих смесей является сложной задачей, связанной с применением целого ряда процессов. [c.90]

За последние годы нефелометрия нашла значительное применение прп ряде исследований как неорганических, так и органических веществ. Широкое использование фотоэлементов дало возможность перейти от субъективного к объективному определению степени мутности. [c.215]

Разность максимальных значений огибающей напряжения на выходе фильтра, найденных по СФ и АЧС воздействующего процесса, вызвана наличием четных членов в разложении модуля и аргумента СФ процесса в пределах полосы пропускания этого фильтра. Если при разложении в степенной ряд модуля и аргумента СФ процесса, воздействующего на фильтр, в пределах полосы пропускания фильтра можно без больших погрешностей ограничиться двумя членами, то методическая погрешность, обусловленная применением АЧС, стремится к нулю, в частности, это полностью справедливо для кратковременных импульсов. [c.74]

Зависимость теплоемкости газов и кристаллических тел от температуры может быть также выражена функциями Планка — Эйнштейна и Дебая. Эти функции являются результатом применения к теории теплоемкости принципов квантовой теории в упрощенной форме. Они, в противоположность степенным рядам, могут быть использованы при невысоких и низких температурах вплоть до 0° К. [c.47]

В каждой области технического применения выдвигается ряд специфических требований к основным характеристикам полупроводникового материала. Такими характеристиками, как уже говорилось выше, являются ширина запрещенной зоны, концентрация и степень ионизации примесей, подвижность и время жизни носителей тока и др. [c.83]

Несмотря на сложность, подобные устройства еще находят применение на ряде отечественных предприятий, а некоторыми проектными институтами предусматриваются в качестве защитных устройств даже для котлов ВОТ и другого оборудования, где по ходу технологической среды за устройством должен устанавливаться еще предохранительный клапан, работоспособность которого в этом случае, естественно, будет нарушена. После разрыва стержня другие части устройства также требуют замены и индивидуальной подгонки. К стержню предъявляются высокие требования по точности механической обработки (особенно в месте ослабления сечения) и качеству материала, обладающего стабильными механическими свойствами и достаточной усталостной прочностью. Предохранительная мембрана также должна быть высококачественной. Работоспособность таких устройств в значительной степени зависит еще от качества и даже порядка сборки. [c.72]

Более широкое применение найдут различные видоизменения техники кипящего слоя. В первых применениях степень обратного перемешивания частиц в слое обычно не принималась во внимание. Турбулентность слоя является одним из наиболее значительных его преимуществ. Однако в ряде случаев обратное перемешивание является нежелательным или не соответствует оптимальным условиям процесса. В некоторых приложениях необходимо осуществить противоток газа с частицами. Такой пример приведен в последней статье по адсорбции на угле в кипящем слое, где частицы движутся через тарелки с колпачками, и создается противоток частиц и газа [8]. [c.103]

Метод отнесения расчетов коэффициентов диффузии по степенным рядам к срединной точке кинетической кривой хотя и нивелирует до некоторой степени влияние на диффузионную константу слоя красителя, отложившегося на поверхности волокна и не проникшего внутрь полимера, но не всегда дает возможность исключить из расчетов эту долю красителя полностью. С учетом сказанного лучший способ определения действительных коэффициентов диффузии красителей в волокнистых материалах состоит в применении различных вариантов микро-фотометрического анализа распределения окрашенных зон в поперечном сечении волокна. Для расчета коэффициента диффузии в данном случае содержание красителя в волокне выражают как функцию расстояния X, на которое он проник в полимер, и пользуются зависи- [c.166]

Следует, впрочем, отметить, что ошибки в Qq при применении степенных рядов частично компенсируются при вторичном интегрировании, так что формула (2э8) с истинными Ду дает все же большей частью приблизительно правильные результаты, достаточные для полуколичественнсй ориентировкиЧ [c.377]

Теоретическое развитие вириального уравнения состояния было начато гораздо позже его применения для описания экспериментальных данных. Правда, это не относится к теории второго вириального коэффициента. Строгое теоретическое обоснование уравнения состояния представляло огромные трудности даже после того, как в 1927 г. Урселом [12] была математически обоснована форма разложения в виде степенного ряда. И только после работ Майера [13], выполненных в 1937 г., теория уравнения состояния получила свое развитие. Формальную теорию и в классической, и в квантовой механике теперь можно рассматривать как в основном законченную теорию, хотя все еще существуют трудности, связанные с точным численным расчетом высших вириальных коэффициентов. В отличие от общей теории вириального разложения теоретическое обоснование второго вириального коэффициента известно уже давно. Причиной является то, что это частный случай вириального разложения для низких плотностей, который можно было решить сравнительно просто. Несколько разных математических методов было использовано для развития теоретической интерпретации второго вириального коэффициента. Возможно, самым старым и простым из них является расчет давления при рассмотрении потока момента через воображаемую единицу площади поверхности в газе [14]. Второй вириальный коэффициент является тогда дополнительным членом, учитывающим двойное взаимодействие. Этот кинетический метод очень трудно применить к вычислению высших вириальных коэффициентов, исключая некоторые модели молекул, например жесткие сферы [15]. Более общие методы [c.12]

В заключение следует сказать, что вьюокая моющая способность, низкое пенообразование, термическая и гидролитическая устойчивость в кислых и щелочных средах, степень биоразложения, низкая токсичность и, наконец, внешний вид (белый цвет, отсутствие запаха) дают основание надеяться, что соли альфасульфокарбоновых кислот найдут широкое применение. В ряде случаев найдет применение паста, получаемая Полной нейтрализацией сульфомассы. [c.251]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

Помимо рассмотренных выше зависимостей, обобщаемых уравнениями Вооля, получили применение некоторые другие методы, основанные на использовании иных форм зависимости функции Ф от состава смесей. Одно из первых предложений в этом направлении было выдвинуто Бенедиктом, Джонсоном, Соломоном и Рубиным [67], которые предложили выражать избыточную свободную энергию смешения в виде степенного ряда с эмпирическими коэффициентами. Число последних определяет вид функциональной зависимости неидеальной доли свободной энергии смешения от состава. Уравнения с разным числом констант, выражающие зависимость избыточной свободной энергии смешения Рх и коэффициентов активности от состава бинарных смесей, приводятся в табл. 22. Эти уравнения были использованы для описания условий равновесия между жидкостью и паром в бинарных системах, образованных метанолом, гептаном и толуолом. Оказалось, что система гептан — толуол со сравнительно небольшими отклонениями от идеального поведения может быть описана трехчленными уравнениями. Для систем же, содержащих метанол, необходимо применять четырехчленные уравнения. [c.199]

Эта реакция дает исключительно полезный путь получения тетрагидрофуранов различной степени сложности. Так, гептанол-1 при обработке тетраацетатом свинца в кипящем бензоле дает 2-пропилтетрагидрофуран с выходом 50% и незначительным количеством побочных продуктов [112]. Реакция находит широкое применение в ряду стероидов, а также простейших полициклических систем. Указанием на возможности метода может служить превращение 2-гидроксиметилбицикло [2.2.2] октана (81) в тетра-гидрофурановое производное (82) с выходом 43% [113]. [c.402]

Использованный подход показал высокую эффективность и зарекомендовал себя как прогрессивное направление в экологии буровых работ. Основные принципы безамбарного бурения в той или иной степени находят применение в ряде других регионов страны. [c.374]

Применение общего дифференциального метода. В практике хи-мической кинетики имеется много случаев, когда кривые с - t первой серии опытов неинвариантны при линейном преобразовании. Это может быть, например, когда скорость реакции выражается степенным рядом [c.106]

Автоклав для водно-эмульсионной непрерывной полимеризации хлорвинила является другим примером реактора комбинированного типа. Водно-эмульсионная (латексная) полимеризация хлорвинила находит широкое применение в ряде стран. По имеющимся данным, для этой цели применяются одноаппаратные установки типа автоклавов комбинированного вида смешения-вытеснения емкостью 10—12 м . Высокая степень превращения достигается за счет пониженного съема продукта с 1 рабочего объема. [c.127]

Течение в трубах прямоугольного сечения. Течение в трубах прямоугольного сечения рассматривали Бейер и Товсли , а также Спенсер . Для описания кривой течения эти авторы воспользовались степенным рядом, состоящим из четырех-пяти членов. Однако полученные уравнения, по-видимому, невозможно разрешить относительно перепада давлений. Более того, область применения их для расчета ограничена одним-двумя порядками градиента скорости за пределами области ньютоновского течения (малые градиенты скорости). [c.71]

Окончательный вид формулы lgP==/(7 ) зависит от того, какие формулы взяты для p—f(T). В гл. VIII были даны точные квантовые формулы для теплоемкостей газов и твердых тел, применение которых не всегда возможно вследствие отсутствия достаточно полных экспериментальных данных. Для жидкостей таких теоретически обоснованных формул вовсе не су--ществует и приходится довольствоваться эмпирическими степенными рядами или другими приближениями. [c.355]

Метод дисперсии и рефракции Динсли и Карлтона был также применен к ряду насыщенных фракций нашего набора нефтяных фракций, а именно к таким фракциям, данные о дисперсии которых были известны. При сравнении полученных результатов с данными прямого метода (см. табл. 79) следует принимать во внимание только долю углерода, содержащуюся в ароматических структурах (% Сл), и среднее общее число колец в молекуле (Ко), потому что только эти цифры независимы от изменяющихся основных предположений о числе атомов углерода в кольце (степени конденсации). На самом деле, прекрасное совпадение не является удивительным, так как схемы обоих методов анализа предельных фракций одинаковы. [c.367]

Подобные соображения в применении к ряду метилированных аммониевых ионов показывают, что величины (Ьо) убывают для первых трех членов (от п = до л = 3) (табл. 7) [72, 73]. Поэтому зависимость lg г от л-числа метильных групп в амине изобразится в виде прямой лишь для первых трех членов ряда (рис. 12). Можно сделать вывод, что для триметиламмония расположение противоположно заряженных групп, как показано схематически на рис. 10, близко к оптимальному и прибавление четвертого заместителя не будет иметь существенного значения. Три метильные группы обнаруживают такой же экранирующий эффект вокруг положительного атома азота, как и четыре, но две метильные группы значительно менее эффективны. Это прямое следствие геометрии данных ионов. Ион ди-метиламмония допускает взаимодействие с полярными молекулами воды, главным образом путем образования водородных связей, и таким путем претерпевает значительную гидратацию. В триметилза-мещенных ионах аммония стерические препятствия уже достаточны, чтобы предотвратить такое взаимодействие. Чем выше степень метилирования, тем меньше количество связанной воды (гидра-тационная вода) и меньше эффективный радиус катиона. Вследствие этого катион ближе подходит к анионным центрам. Мы имеем здесь полную аналогию с поведением одновалентных ионов щелочных металлов по отношению к катионообменникам. При этом чем больше ион, тем меньше он связывает гидрата-ционной воды и поэтому крепче связывается с фиксированными отрицательными зарядами полимера [74]. Наоборот, в ряду К4Ы гидратация отсутствует уже для низшего члена ряда (где К = СНз). Поэтому большие заместители увеличивают сродство к поверхности фермента только за счет увеличения [c.323]

Разделение жидких смесей на компоненты играет большую роль в ряде отраслей промышленности. Среди различных методов разделения жидких смесей все возрастагош,ее значение приобретают процессы экстракции, основанные на применении избирательных растворителей, в которых компоненты смеси растворимы в различной степени. Помимо лесохимической и нефтяной промышленности, где экстракция сравнительно давно является одним из основных технологических процессов - , следует отметить все более широкое ее применение в ряде новых отраслей промышленности, например в производствах синтетического каучука, капролактама, антибиотиков, а также ядерного горючего - 7. После применения экстракции в атомной технике в этой области были развернуты широкие исследования, часть которых, проведенных в Харуэлле (Англия), освещена в предлагаемой вниманию читателей серии статей Пратта. Среди опубликованных отечественных и зарубежных работ по вопросам экстракции (см. ссылки 21, 59, 90, 96, 98, 100) серия статей Пратта представляет собой один из самых современных, но не исчерпывающий обзор проблем экстракции в системах жидкость—жидкость. В связи с этим сделана попытка дополнить обзор Пратта на основе главным образом работ советских исследователей. [c.129]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология