Начальные и граничные условия к уравнениям переноса

Подобие процессов переноса массы. Наиболее строгий и принципиально возможный путь для определения коэффициентов массоотдачи заключается в интегрировании уравнения диффузии в движущейся среде (Х,19) совместно с уравнениями движения, т. е. с уравнениями Навье— Стокса и уравнением неразрывности потока при заданных начальных и граничных условиях. [c.401]

Совместно с уравнениями, описывающими зависимость коэффициентов переноса От температуры и плотности, эти уравнения дают замкнутую систему, дополнив которую начальными и граничными условиями, можно решать достаточно широкий круг задач. [c.26]

В разд. 1.6 на примере уравнения Фурье—Кирхгофа детально рассмотрены его модификации применительно к различным ситуациям (стационарный процесс, отсутствие источников теплоты, теплоперенос в твердом теле — изотропном и анизотропном и др.) и конфигурациям рабочего пространства (плоская, цилиндрическая, сферическая задачи). В разделе 1.7 подробно рассмотрены условия однозначности, с которыми решается уравнение переноса начальное и граничные. [c.478]

Конвективный перенос теплоты описывается уравнением Фурье—Кирхгофа (1.143). Поскольку в это уравнение входит скорость жидкости, интенсивность конвективного переноса теплоты зависит от распределения скоростей в потоке жидкости, т. е. от гидродинамической обстановки. Последняя зависит от режима движения жидкости. Закономерности ламинарного движения выражают уравнения Навье — Стокса (1.142) и неразрывности (1.10), а закономерности турбулентного движения — уравнения Рейнольдса (11.56) и неразрывности (I. 10). Таким образом, конвективный перенос теплоты описывается системой уравнений, включающей уравнение переноса энергии (Фурье — Кирхгофа), уравнения движения и уравнение неразрывности. Чтобы придать системе этих уравнений определенность, свойственную конкретным задачам, т. е. чтобы выделить данный процесс из класса процессов, описываемых этими уравнениями, должны быть заданы условия однозначности, которые включают начальные и граничные условия. Начальные условия — совокупность значений скоростей, температур и других переменных в момент, принимаемый за начало отсчета времени. Граничные условия—характеристика геометрической формы системы, условий движения жидкости, а также условий теплообмена на границах системы. [c.290]

Для оценки процесса переноса импульса от тела, движущегося в кипящем слое, рассмотрим приближенную схему. Представим себе, что к вертикальной грани тела, движущегося со скоростью V вдоль оси X, в момент t = О подошел вплотную пакет, а спустя характерное время т этот пакет ушел, унося с собой переданный ему импульс. Тогда уравнение (111.53) надо решать со следующими начальными н граничными условиями [c.171]

В безразмерных переменных нестационарное уравнение диффузии при наличии конвективного переноса, начальное и граничные условия можно записать в виде [c.321]

Таким образом, в обоих случаях мы имеем дело с системой, нелинейных уравнений в частных производных параболического типа (в первом случае роль времени играет I — высота трубки) с начальными и смешанными граничными условиями. В такой постановке нет принципиальной разницы между этими системами. Остановимся на случае продольного переноса. [c.69]

Проблема замыкания системы уравнений. Приведенная выше система уравнений для определения осредненных параметров не является полной. Три уравнения содержат три искомые характеристики осредненного течения й, о, I и, кроме того, два других неизвестных параметра Ещ и гt, т. е. рейнольдсовы напряжения и величину турбулентного теплового потока. Напомним, что система уравнений для определения мгновенных значений параметров турбулентного течения (11.7.4) — (11.7.6) является полной, так как число неизвестных равно числу уравнений. Однако эти уравнения нельзя решить из-за отсутствия универсальных начальных и граничных условий. Лишние неизвестные, такие, как Вт и 8(, или рейнольдсовы напряжения и величина турбулентного теплового потока, появляются из-за осреднения уравнений для мгновенных значений, что создает проблему замыкания системы уравнений для расчета характеристик турбулентного переноса. Решение задачи становится возможным, если известны выражения для определения рейнольдсовых напряжений и турбулентного теплового потока. [c.78]

Численные результаты. Проведены обширные численные расчеты, причем для решения нестационарных определяющих уравнений (14.3.26) и (14.3.27) в основном использовались конечноразностные методы. Как отмечается в работе [271], большинство результатов достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными. Численные методы позволяют рассматривать широкие диапазоны определяющих параметров и различные типы граничных условий. Использование мощной вычислительной техники дало возможность получить много новой и интересной информации о процессах переноса в замкнутых полостях. Здесь описываются результаты лишь некоторых исследований, касающихся горизонтальных полостей. В большинстве этих работ с помощью различных схем дискретизации по времени исследуются нестационарные режимы течений, которые при достаточно больших временах переходят в соответствующее установившееся состояние. При этом интерес представляют результаты расчетов именно стационарных состояний. В качестве начального условия обычно принимается нулевое течение, а граничное условие для температуры при т = О задается в виде соответствующей ступенчатой функции (см. [128]). Как отмечалось в гл. 7 и как будет показано ниже в данной главе, некоторые исследования специально посвящались именно расчетам нестационарных течений при различных начальных и граничных режимах. Так, в работах [36, 65, 66, 93] были получены соответствующие численные результаты для самых разных типов граничных условий и различных значений определяющих [c.274]

При решении основных уравнений переноса — типа (1.20) — (1.22), а также ряда других, менее общих дифференциальных уравнений, встречающихся в курсе ПАХТ, необходимо отыскать постоянные интегрирования (или установить пределы интегрирования), дабы полученное в общем виде решение конкретизировать применительно к определенному интересующему нас технологическому процессу. С этой целью должны быть зафиксированы условия однозначности, вьщеляющие конкретное решение из более общего, записанного для группы сходных процессов. В широком смысле к условиям однозначности относят физические свойства рабочих тел (среды и др.), конфигурацию и размеры рабочей зоны аппарата. Без этого не удастся сформулировать начальное и граничные условия. [c.97]

В предыдущих разделах получены уравнения переноса чистой и многокомпонентной жидкостей, а также смеси, содержащей заряженные компоненты. Начальные и граничные условия для этих уравнений будут подробно рассмотрены в дальнейшем в связи с конкретными приложениями. В настоящем разделе будет рассмотрена наиболее часто используемая система уравнений и выявлены параметры подобия. [c.70]

Гиперболическое уравнение (5.6.1.15) представляет собой обобщенную модель переноса с двумя своими предельными формами. Для второй предельной формы— волнового уравнения (5.6.1.20) — начальные и граничные условия аналогичны условиям (5.6.2.1). [c.300]

Это уравнение описывает перенос вещества к растущему электроду. Для его решения необходимо выбрать соответствующие начальные и граничные условия. Илькович принял, что перед началом электролиза, т. е. во время / = О, концентрация деполяризатора на поверхности электрода с при л = О равна концентрации его в массе раствора с. Конечное условие должно выразить, каким образом деполяризатор отбирается с поверхности электрода при протекании электролиза. Предполагалось, что в ходе электролиза, т. е. при > О и X = О, концентрация деполяризатора на поверхности электрода постоянна и равна концентрации (зависит только от потенциала электрода см. гл. VII). Решив это уравнение, Илькович получил выражение для градиента концентрации у поверхности растущего капельного электрода [c.71]

При практическом использовании уравнений переноса на изменения переменных величин налагаются ограничения, вытекающие из свойств рассматриваемого конкретного процесса. Так, любой процесс протекает в системе с определенной геометрической характеристикой. Обычно обрабатываемая среда заключена в аппарат, размеры которого ограничивают пределы изменения координат в уравнениях переноса. Определяющими факторами являются также физические характеристики системы. Они могут быть заданы в виде чисел — значений соответствующих физических констант или в виде уравнений, выражающих зависимость физических свойств от влияющих на них параметров. Перечисленные сведения определяют геометрические и физические свойства системы. Кроме них должны быть заданы условия взаимодействия системы с окружающей средой на границах системы (граничные условия) и условия, характерные для того момента, который принимается за начало отсчета (начальные условия). Если объектом процесса [c.66]

Геометрические и физические характеристики системы совместно с граничными и начальными условиями содержат комплекс сведений, выделяющих данный конкретный процесс из класса процессов, описываемых соответствующими уравнениями переноса. Так, если объектом исследования или расчета является движение жидкости в трубе, то должны быть заданы диаметр, длина трубы и ее форма (геометрические характеристики), свойства жидкости (физические характеристики), граничные условия (для вязкой жидкости — равенство нулю составляющих скорости на границе со стенкой) и начальные условия (например, профиль скоростей на входе в трубу). [c.67]

Дифференциальные уравнения переноса, геометрические и физические характеристики системы, граничные и начальные условия составляют математическое описание процесса. Его можно использовать для расчета конкретного процесса. Такой расчет заключается в интегрировании соответствующего уравнения переноса (или системы уравнений) с учетом перечисленного выше комплекса сведений, характеризующих данный конкретный объект. Вследствие сложности уравнений переноса их интегрирование представляет большие трудности, однако оно возможно за счет упрощения этих уравнений путем исключения из них членов малой значимости и использования методов численного интегрирования с помощью ЭВМ. Принципы таких расчетов для различных процессов изложены в последующих главах. Результатом расчетов является получение числовых значений искомых величия. [c.67]

Решение этой системы уравнений — функция, описывающая поле концентраций компонентов, т. е. их распределение в пространстве и времени. Поскольку рассматриваемые уравнения — дифференциальные, для их решения должны быть заданы начальные и граничные условия. Начальные условия отражают состояние системы в момент, принятый за начало отсчета, а граничные условия определяют геометрические характеристики системы, а также условия ее взаимодействия с окружающей средой на границе раздела. При заданных начальных и граничных условиях рассматриваемая система уравнений становится определенной,так как число неизвестных равно числу уравнений. Следовательно, решить ее в принципе можно. Однако решение связано с большими математическими трудностями, поскольку эти уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Решение такой системы уравнений возможно лишь численными методами, причем трудоемкость расчетов быстро возрастает с увеличением числа компонентов. К этому следует добавить, что перенос вещества приводит к изменению физических свойств среды и для получения точных решений система дифференциальных уравнений должна быть дополнена уравнениями, описывающими зависимость физических свойств среды от состава. [c.405]

Следовательно, для описания процесса переноса вещества в потоке жидкости, движущемся в плоском канале, получается такое же уравнение и с такими же начальными и граничными условиями, как уравнение (IV. 27), описывающее теплоотдачу от стенок плоского канала к движущейся в нем жидкости. Решения уравнения (IV. 27) применимы и к уравнению (V. 22) с учетом замены теплового критерия Пекле Рет = W Hja на диффузионный Ред. Таким образом, поле концентраций переносимого вещества в ламинарном потоке жидкости, движущемся в плоском канале, описывается выражением, аналогичным (IV. 29) [c.415]

Здесь 1°— плотность тока. обмена а — коэффициент переноса. Выражение для Са (х t) может быть найдено из решения диффузионного уравнения (2.38а) с начальным и граничным условиями (2.39а) — (2.40а). Второе граничное условие получим, сочетая (2.43) и (2.52) [c.67]

Указанные четыре уравнения содержат четыре, неизвестных 15, Р, Г и С, и, в принципе, позволяют путем интегрирования найти эти неизвестные при заданных начальных и граничных условиях. Однако в реальных условиях ванны довольно трудно определить граничные условия протекания процесса. Весьма неопределенными, особенно в условиях тур лентного движения, являются и константы р, л и Д характеризующие различные процессы переноса. Поэтому определенные процессы изучаются с использованием экспериментальных методов, методов моделирования и подобия. [c.415]

Система уравнений (2.10) и (2.11) характеризует при определенных начальных и граничных условиях диффузию растворенного в жидкой фазе вещества, если поровое пространство среды полностью заполнено водой, так что отсутствует осмотический перенос воды. [c.22]

Как видно из уравнения (9.47), температурный профиль является линейным. Решение при указанных начальных условиях ограничено входной областью слоя 1-<ом1) тепло, выделяемое в этой области, переносится через слой со скоростью аи. Для 1>аШ температура должна соответствовать граничному условию Т=0. Для этой начальной стадии процесса решение уравнения материального баланса для кислорода (9.43) имеет вид [c.236]

Основой для постановки экспериментальной задачи является, как правило, замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая процессы переноса в рассматриваемой физической системе и являющаяся результатом соответствующей физической теории. Аналитическое или численное решение системы уравнений переноса (с граничными и начальными условиями) позволяет получить теоретическим путем интересующие исследователя поля физических переменных. Задача экспериментального исследования процессов переноса в условиях работы конкретного химико-технологи-ческого аппарата чаще всего состоит в нахождении указанных полей опытным путем с целью проверки адекватности построенной физической теории реально.му объекту, который она должна описывать. [c.182]

Второй упоминавшийся выше метод, заключающийся в решении дифференциальных уравнений с конкретными начальными и граничными условиями, значительно точнее, чем метод, основанный на концепции реакционного слоя. В этом случае толщина кинетического слоя 11 не является параметром теории, а используется только при оценках. Величина х при этом может быть найдена из зависимостей, описывающих распределение концентраций реагирующих веществ в приэлектродном слое раствора. Этот метод применим для электродных процессов, осложненных различными химическими реакциями, предшествующими переносу электрона", регенерацией деполяризатора , а также процессы с медленной электрохимической стадией и быстрыми предшествующими и последующими реакциями и др. 2 . [c.18]

Теперь придадим конкретное содержание поверхностному процессу. Пусть экстракция происходит в результате протекания необратимой реакции (Л— В) псевдопервого порядка между молекулой А, приходящей из объема, и молекулами, находящимися на поверхности в большом избытке (так называемая реакция прямым ударом [27], или su-процесс). Дифференциальные уравнения переноса, начальные и граничные условия для обсуждаемого примера представлены в табл. П1.1 (схема в). Решение приводит к уравнениям для дв и Гв, которые могут быть получены из уравнений (П1.72) и (П.75), если положить ал = 0. [c.174]

На основании закона сохранения и определений (I) - (3) приходим к следущей системе дифференциальных уравнений, описывающих перенос вещества в колонне при любом хроматографическом процессе, т.е. при произвольных начальных и граничных условиях. [c.51]

Интегрирование дифференциальных уравнений массо- и тепло-переноса при соответствующих начальных и граничных условиях дает функции [c.30]

Начальные и граничные условия к уравнениям переноса [c.26]

В тех случаях, когда уровень теоретических и экспериментальных знаний не дает возможности сформулировать адекватное и достаточно точное математическое описание процесса или системы в форме набора некоторых уравнений переноса с соответствующими начальными и граничными условиями, исследователь вынужден использовать методы разработки эмпирических уравнений. В области химической технологии классическими методами разработки эмпирических уравнений являются теория подобия и анализ размерностей. Оба эти подхода позволяют сократить число переменных в рассматриваемых задачах за счет перехода к удобным и легко интерпретируемым безразмерным комплексам (критериям подобия) и, кроме того, определяют ряд ограничений (принципы подобия) на проведение экспериментальных исследований. Далее исследователь выбирает функциональную форму эмпирического уравнения, стремясь ввести необходимое количество параметров и коэффициентов, чтобы в дальнейщем, определив их численные значения из экспериментальных данных, обеспечить необходимую точность расчетов по формуле. Выбор функциональной формы эмпирических уравнений относится скорее к интуитивной сфере, нежели к сфере точных знаний. [c.46]

В общем этот сложный комплекс взаимосвязанных процессов можно описать системой уравнений, включающей в себя законы сохранения массы, импульса, заряда и энергии, законы электромагнитного поля, зависимость термодинамических и кинетических свойств от параметров состояния системы, а также начальные и граничные условия. Если эту систему уравнений максимально упростить, отбрасывая путем численных оценок менее существенные процессы и оставляя только наиболее важные из них, то еще остается достаточно сложная система, решение которой связано со значительными математическими трудностями. Например, если для обдуваемых электрических дуг пренебречь трением, диффузионными потоками масс, объемным излучением, химическими реакциями, а диффузионный перенос энергии учесть в общем коэффициенте теплопроводности, то для стационарного ламинарного режима можно получить систему уравнений [1]. [c.158]

В работах А. В. Лыкова [Л. 16] даны решения как аналогичных, так и более сложных дифференциальных уравнений теплопроводности и массопроводности для различных начальных и граничных условий, главным образом при постоянных значениях коэффициентов переноса тепла и массы. Эти решения найдены для тел классической формы (шар, цилиндр и т. д.) и для реальных тел сложной конфигурации не дают достаточных совпадений с опытными данными. [c.34]

Массоотдача при ламинарном движении жидкости. Массоотдачу при ламинарном режиме движения жидкости можно рассчитать путем совместного решения уравнений переноса массы (I. 147) и количества движения (I. 142) с учетом начальных и граничных условий. Такое решение возможно, если жидкость ограничена фиксированной поверхностью. Даже для случаев, когда эта поверхность имеет простую форму, аналитическое решение оказывается возможным при введении ряда упрощающих допущений. Ниже рассматривается массоотдача от стенки к жидкости при движении последней в плоском и цилиндрическом каналах, а также при обтекании сферической частицы. С массоотдачей к жидкости, движущейся в плоском и цилиндрическом каналах, приходится иметь дело при расчете различных теплообменных и массообменных аппаратов, Массоотдача при обтекании сферических частиц встречается во многих процессах массопередачи — экстракции, ректификации, выщелачивании, распылительной сушке и т, д. [c.414]

Необратимая реакция, протекающая в диффузионной области. Пусть реакция между веществом и вмещающими породами необрати.ма — реакция (5.44). Если по-прежнему считать, что перенос вещества потоком больше, чем диффузией, то гео.химическая миграция описывается системой уравнений (6.92) и (5.61) при определенных начальных и граничных условиях. Легко видеть, что уравнение кинетики (5.61) представляет собой частный случай уравнения (5.53) при Ф (i) = V = onst. [c.140]

Перенос теплоты и массы вещества описывается в некотором приближении параболическими (по классификации И. Г. Петровского) уравнениями в частных производных. Решения этих уравнений при конкретных заданных начальных и граничных условиях, которые принято называть краевыми, отображают изучаемый теплофизический процесс и являются результатом исследования математических моделей поставленных задач. Решение модели (краевой задачи) позволяет получить картину распределения потенциалов переноса и на этой основе проводить исследования кинетики и динамики процесса. Замкнутые решения в простой аналитической форме позволяют теоретическими методами установить в тияние на ход процесса как отдельных параметров, так и их комплексов. [c.3]

Система уравнении молярно-молекулярного тепломассоперенос . устанавливает связь между временными и пространственными изменениями потенциалов переноса. Для однозначного определения полей этих потенциалов задаются начальное распределение потенциалов в теле, закон взаимодействия окружающей среды с поверхностью тела, а также форма последнего. Решение приведенной системы дифференциальных уравнений при знании всех коэффициентов, входящих в нее, с учетом их зависимости от температу ры и влагосодержания представляет значительные трудности Щ. 45]. Однако эту систему уравнений можно использовать для анализа процессов пысокотемпературной сушки, если воспользоваться теорией подобия. Из системы дифференциальных уравнений и граничных условий можно получить обобщенные функции и аргументы — критерии и числа подобия. [c.65]

Во второй главе это соотношение используется для описания массоэнергопереноса в процессах гетерогенного катализа, диффузионной обработки пористых тел, адсорбции, мембранных процессах, а также в некоторых электрохимических процессах, В последние годы в различных областях науки делаются попытки разработать методологию построения количественных теорий сложных систем. При этом термин сложные системы используется не только для того, чтобы отметить многообразие элементов системы и разнообразие связей между элементами. Часто он подчеркивает недостаточность имеющейся эмпирической информации и надежно обоснованных теоретических заключений о характере и механизмах связей между элементами системы для разработки исчерпывающей количественной теории, которая позволила бы надежно прогнозировать поведение исследуемой системы во всем множестве допустимых ситуаций. В тех случаях, когда уровень теоретических и экспериментальных знаний не дает возможности сформулировать адекватное математическое описание процесса или системы в форме набора уравнений переноса с соответствующими начальными и граничными условиями, исследователь вынужден использовать методы разработки эмпирических уравнений. Необходимым дополнением к методам эмпирических уравнений является диаграммная техника причинного анализа, которая не только позволяет детально проанализировать внутреннюю причинно-следственную структуру исследуемого явления или процесса, но и дает возможность количественно оценить интенсивность причинных воздействий между различными элементами системы или этапами процесса. Направления причинных воздействий в системе совпадают с направлениями потоков вещества, энергии и информации, поэтому диаграмма причинно-следственных отношений для исследуемого объекта по существу является диаграммой потоков переноса. Часть первой главы книги посвящена одному из методов причинного анализа — информационному моделированию процессов массоэнергопереноса в сложных системах, [c.9]

При решении конкретных задач с использованием уравнений переноса обычно рассматривается конечная (иногда нолуогра-ниченная) область, окруженная некоторой поверхностью 5. Решение нестационарных уравнений переноса ищется для промежутка времени то т Тмакс либо для То т <С+00. Для того чтобы сделать рассматриваемую задачу полностью определенной, необходимо к замкнутой системе уравнений переноса добавить начальные и граничные условия. [c.26]

Как уже отмечалось, классическое уравнение диффузии, опирающееся на закон переноса в форме Фика, допускает возможность распространения массы с бесконечно большой скоростью, так что решение уравнения вида (2.114) с граничным условием первого рода приводит к аномально большим потокам переноса в начальные моменты времени, что в свою очередь может давать аномально крутой рост интегральной кривой сорбции в начальные моменты времени. Если предположить, что изотерма адсорбции в динамических условиях определяется соотношением вида (2,116). то, разлож1Ш это выражение в ряд и ограничившись членами первого порядка, можно получить [c.109]

Рассматриваются три возможных варианта анализа системы (2.169). Согласно первому варианту, анализируется система обоих нелинейных уравнений переноса влаги и теплоты внутри частиц материала с граничными условиями конвективной массо- и теплоотдачи ос (/ —0 гр) = — А, ( 0/ п) гр+(1 — е ) с ( ы/<3т). Термоградиентный перенос влаги полагается пренебрежимо малым, а величина коэффициента фазового превращения е. считается равной единице во всех точках внутри частиц. Для учета зависимости коэффициента массопроводности от среднего влагосодержания частицы расчет производится по последовательным концентрационным зонам, на которые условно разбивается весь диапазон изменения влагосодержания частиц материала от начального до равновесного. При переходе к каждой последующей зоне меньшего влагосодержания считается, что распределения температуры и влагосодержания частицы успевают становиться регулярными в процессе сушки в предыдущей концентрационной зоне. Использование этого варианта расчета предполагает известными массо- и теплопереносные свойства системы коэффициенты массопроводности, теплопроводности, температуропроводности, массо- и теплообмена и их зависимости от средних значений влагосодержания и температуры материала. [c.79]

Расположим начало координат посередине участка адсорбции Ь (см. рис. 1). Тогда координаты концов этого участка будут Ы2 и —Ы2. Решение уравнения (5) нри начальных и граничных условиях Р (ж, 0) = = Р1, Р (х, оо) =Рз (конечное значение равновесного давления) Р (+ /2, т) = Р. (дР1дх)х=о ==0 — известно [6]. Для скорости переноса нара через сечение х = Ы2 получим [c.244]

Поскольку процесс изотермической десорбции является обратным процессу адсорбции, то он описывается теми же дифференциальными уравнениями, но с другими граничными условиями, учитываюш,ими, что в начальный момент времени зерно насыщено до равновесного состояния при концентрации Сц, а в потоке концентрация паров сорбируемого вещества равна нулю. Сопоставление расчетных и экспериментальных кинетических кривых десорбции ацетона на угле СКТ показало, что перенесение зависимости (7) на задачу десорбции приводит к плохой сходимости результатов. Очевидно, изменение механизма переноса внутри зерна при десорбции сопровождается изменением вида функции D ). Удовлетворительная сходимость была получена нами для следующего типа зависимости D ) [c.188]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология