Гамильтониан инвариантный

Более того, если Н — гамильтониан, инвариантный относитель-но ipg, то приведенный поток задается гамильтонианом Н, определенным равенством [c.77]

Заметим, далее, что в наших задачах мы будем иметь дело с четными гамильтонианами, т. е. гамильтонианами, инвариантными относительно -симметрии, при которой ф(У " )—ф(У " ). Поэтому спектр оператора А следует исследовать только в пространстве четных функций, и стало быть, нас интересуют только четные [c.145]

Гамильтониан взаимодействия с постоянным полем инвариантен относительно вращения вокруг оси z. Учитывая то, что как релаксационный супероператор Г при больших значениях поля, так и равновесный оператор плотности ао тоже инвариантны относительно вращения вокруг оси z, получаем следующее дифференциальное уравнение для оператора плотности во вращающейся системе координат [c.70]

Приближение сильного поля подразумевает инвариантность L по отнощению к поворотам. На гамильтониан Ж не накладывается больще никаких ограничений. Релаксационный супероператор Г может содержать в дополнение к чисто релаксационным членам слагаемые, которые учитывают изменения населенностей, обусловленные химически индуцированной динамической ядерной поляризацией и облучением РЧ-полем, приложенным для получения эффектов Оверхаузера. Химически равновесный обмен описывается супероператором S. Супероператор L описывает систему в стационарном состоянии <7 , а не в равновесном состоянии ао. [c.204]

Гамильтониан любой системы остается инвариантным при любом изменении системы координат и любой перестановке эквивалентных частиц. Если входящие в систему индивидуальные частицы обладают собственной (внутренней) симметрией (собственным угловым моментом, или спином), то полная группа симметрии гамильтониана должна также включать и эту симметрию. Взаимосвязь между внутренней симметрией и перестановочной симметрией приводит к перестановочным ограничениям, налагаемым на волновую функцию системы (т. е. к принципу Паули). В этой главе мы сосредоточим внимание на симметрии, связанной с изменением системы координат, т. е. на пространственной симметрии. [c.264]

До сих пор мы занимались постоянными движения, которые имеют классические аналоги. Однако существуют и другие типы операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Рассмотрим систему тождественных частиц. К таким системам можно отнести атом, молекулу или твердое тело во всех этих случаях предполагается, что система из п электронов движется в электростатическом поле неподвижных ядер. Поскольку электроны являются неразличимыми частицами, гамильтониан остается инвариантным при любой перестановке (обмене) электронов. Математически это свойство гамильтониана можно выразить так [c.68]

Рассмотрим изолированную систему из N частиц, координаты которых относительно некоторой фиксированной системы координат равны r . Пусть система может иметь поступательное виртуальное перемещение А, так что координаты r 4- А. Уравнения движения системы после такого перемещения не отличаются от уравнений, которые описывали систему в первоначальной ориентации. Простой эксперимент покажет, что принцип однородности пространства будет нарушен, если эти уравнения окажутся различными. Если уравнения движения инвариантны при указанных перемещениях, то этим же свойством должен обладать и гамильтониан, т. е. [c.19]

Снова гамильтониан должен быть инвариантным таким образом, [c.20]

В Приближениях, которые обычно используются в квантовой химии, гамильтониан не содержит спинов. Но если бы в него входили спины, оказалось бы, что инвариантность оператора Гамильтона обеспечивается лишь в том случае, если наряду с обменом координат мы будем обменивать значения спинов частиц. Поэтому при описании системы тождественных частиц, в частности электронов, всегда необходимо учитывать спины. [c.164]

При кристаллизации нарушается симметрия относительно параллельных переносов и вращений — элементов группы движений пространства. В большинстве случаев кристаллизация является фазовым переходом первого рода. Однако состояние кристалла инвариантно относительно преобразований группы симметрии кристалла, являющейся подгруппой При структурном фазовом переходе в кристалле менее симметричное состояние уже не инвариантно относительно а лишь относительно подгруппы 1 группы 0. В магнетике с обменными силами (модель Гейзенберга) гамильтониан инвариантен относительно однородного вращения всех спинов системы. Группа симметрии ферро- или антиферромагнитного состояния уже группы симметрии гамильтониана. Действительно, в этом состоянии момент имеет вполне определенное направление. Не меняя его, можно производить лишь вращения вокруг оси, параллельной вектору полного момента. Таким образом первоначальная группа симметрии (Уз вращений в трехмерном пространстве свелась в ре- [c.26]

Гамильтониан (5.8) останется инвариантным относительно [c.83]

Гамильтониан F не обязательно должен быть инвариантным ко всем преобразованиям, сохраняющим Н неизменным. Пусть Т — некоторый интеграл движения, тогда [c.156]

Рассмотрим молекулу, у которой имеется плоскость, центр или ось симметрии л-го порядка например, молекулу аммиака NH3, у которой есть ось третьего порядка, проходяш ая через атом азота. Если подвергнуть такую молекулу соответствующей операции симметрии, например повороту на 120° вокруг оси третьего порядка, то возникающая при этом конфигурация молекулы будет неотличимой от исходной. Следовательно, гамильтониан Н должен оставаться неизменным при такой операции симметрии, или, как говорят, быть инвариантным по отношению к такой операции симметрии,— поскольку гамильтониан для электронов в молекуле зависит только от создаваемого ядрами поля, в котором движутся электроны, а операции симметрии оставляют это поле неизменным. [c.79]

Предположим, что полный гамильтониан молекулы остается инвариантным относительно преобразований некоторой молекулярной точечной группы G. При действии оператора этой группы симметрии, скажем G, на некоторую орбиталь R эта орбиталь, вообще говоря, перейдет в новую R действие этого оператора на детерминант (5.1.1) (или, разумеется, на любой детерминант) переводит его в некоторый новый детерминант. Таким образом, детерминант, построенный из дважды занятых орбиталей, может и не обладать определенной симметрией. Однако в частном случае, когда функция R есть просто линейная комбинация орбиталей А, В,. .., X, из которых построен первоначальный детерминант, столбцы нового детерминанта будут линейными комбинациями столбцов исходного детерминанта. В этом случае новый детерминант идентичен первоначальному и поэтому описывает полностью симметричное состояние. [c.146]

Если потенциалы электромагнитного поля не зависят от времени, то, основываясь на только что сказанном, непосредственно получаем, что стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (8.1.12) будет калибровочно инвариантным, т. е. после калибровочного преобразования уравнение НЧ = Ч сохранит свой вид Н = Т. Если, напротив, электромагнитные потенциалы зависят от времени, то этот общий случай требует дальнейшего исследования. При этом сразу легко получить [c.260]

Таким образом, операция симметрии математически определяется как операция, не изменяющая гамильтониана системы. Это свойство инвариантности гамильтониан, однако, вообще говоря, не разделяет со своими собственными функциями соображения симметрии играют большую роль при определении вида этих функций и при выяснении вопросов, связанных с их преобразованиями. [c.346]

Можно легко проверить, что каждый член в гамильтониане (27) эрмитов и имеет калибровочно инвариантное для зависящей от времени калибровки среднее значение [ср. с обсуждением уравнения (8.1.19)]. Уравнение (27) обычно рассматривается как уравнение, описывающее движение электрона (следует принять q=—е) в поле, задаваемом потенциалами ф и А, и включающее релятивистские поправки вплоть до членов порядка 1/с . [c.363]

В соответствии с принятым определением бесконечного кристалла циклическая система определяется следующими условиями а) бесконечный кристалл образован путем периодического повторения циклической системы б) группа симметрии циклической системы есть с элементами 1 т. е. гамильтониан системы остается инвариантным относительно преобразований Н х) = Я(/< )д ), где х — совокупность координат всех частиц кристалла (электронов и ядер). Любая ячейка кристалла, содержащая несколько минимальных элементарных ячеек (расширенная элементарная ячейка — РЭЯ), удовлетворяет первому условию. Относительно примитивной ячейки заметим, что она, по определению, является минимальной по объему областью кристалла, для которой этому условию можно удовлетворить. Группа симметрии примитивной ячейки как циклической системы не содержит трансляций I г. на векторы прямой. решетки и, следовательно, изоморфна точечной группе кристалла С. [c.46]

Обобщите проведенный в тексте анализ на случай, когда Я = Я (Г ). Покажите, что гамильтониан (1) из 1 для заряженной молекулы в однородном электрическом поле обладает этим свойством при трансляциях электронов. Покажите далее, что инверсия или вращение электронов эквивалентно тому, что сами электроны остаются на месте, а инверсии или вращению подвергаются ядра и поле %. Воспользуйтесь вашими результатами и рассмотрите двухатомную молекулу, помещенную в однородное электрическое поле. Покажите, что если множество пробных функций обладает необходимыми свойствами инвариантности и отсутствует всякое вырождение, которое снимается полем, то с точностью до второго порядка по полю [c.118]

В 25 упоминались две ответные реакции на подобную ситуацию. Третья состоит в рассмотрении у как функции, определяюш ей некоторую модельную систему . Это означает, что в процессе предшествующего анализа Я всюду заменяется неким модельным гамильтонианом Я , для которого является собственной функцией, и вычисляется, скажем, поляризуемость этой модельной системы. Впоследствии, в надежде уточнить соответствующие результаты, можно также дополнить подобный расчет, трактуя оператор (Я "> — Я >) в качестве добавочного возмущения (см. 36). Например, простейшее незацепленное приближение Хартри — Фока, которое более подробно будет описано в 36, можно мыслить как модельный расчет, при котором в качестве используется функция метода НХФ и где оператор [вспомним определение (91) 10] совпадает с (Хотя на практике это встречается и не часто, моншо представить себе обобщение описанного подхода, когда моделируется не только Я< , но также Я< >, Я< и т. д. Так, оно было бы желательным в случае магнитных взаимодействий для обеспечения калибровочной инвариантности модельной задачи см., папример, [14], а такн е [15]). [c.268]

Вследствие трансляционной инвариантности гамильтониан независимо от его природы может зависеть только от относительного расположения ячеек, а не от их абсолютного положения [c.21]

Пример 1. Пусть Н(х, у) — гамильтониан в инвариантный отно- [c.70]

Пусть Т , у е Z — группа пространственных сдвигов в пространстве т. е. (Т )(х) = ср(х — у). Гамильтониан Жф) называется трансляционно-инвариантным, если //(ф) = Н Т ф при всех у Z , т. е. если 3(ф(7)) = 3((7 ф)(У+г/)). Иными словами, функция 3(ф(У)) одинакова для подмножеств V, получающихся друг из друга сдвигом по решетке. В случае бинарного взаимодействия трансляционная инвариантность означает, что вид функции 3(ф(а ), ф(ж")) зависит только от разности х" —х. [c.13]

Пример 2. Пусть Ф = и С — абелева группа вращений окружности. Той же буквой обозначим действие С на . Тогда гамильтониан Жф) = х") (р(х ), ф(ж")) будет очевидно, С-инвариантным. [c.13]

Теорема Д о б ру ш и н а — Ш л о с м а н а ([56]). Всякое предельное распределение Гиббса, отвечающее гамильтониану рЯ, 0 инвариантно относитель- [c.112]

Результаты главы 2 дают представление о структуре фазовых диаграмм классических решетчатых моделей, т. е. о структуре множества трансляционно-инва-риантных или периодических предельных распределений Гиббса, отвечаюш,их гамильтонианам прп больших Наоборот, при малых р предельное распределение Гиббса, отвечаюш,ее гамильтониану рЯ, прп весьма общих предположениях единственно. Ясно, что при изменении появятся такие значения Рсг, называемые критическими, в окрестности которых структура множества трансляционно-инвариантных или периодических предельных распределений Гиббса меняется. Рассмотрим в качестве примера ферромагнитные модели, т. е. модели, у которых имеется два трансляционно-инвариантных основных периодических состояния, удовлетворяющих условию Пайерлса, переходящих друг в друга при замене знака каждой переменной на противоположный. В этом случае естественно ввести следующее определение. [c.133]

Названные возбуждения описываются уравнениями механики или уравнением Шредингера, или же спиновым обменным гамильтонианом во всех случаях мы ймеем уравнение, инвариантное относительно трансляций решетки. [c.83]

Разделение химических сдвигов и скалярных спин-спиновых взаимодействий в спектрах гомоядерных систем, таких, как протоны, представляется на первый взгляд трудноразрешимой задачей из-за отсутствия практических способов широкополосной гомоядерной развязки. Полный гамильтониан системы нельзя свести к гамильтониану, который включал бы в себя лишь химические сдвиги, поскольку члены, ответственные за изотропное спин-спиновое взаимодействие, инвариантны по отношению к вращениям, создаваемым неселективными РЧ-импульсами. Как указывалось в гл. 3.3.2, в системах слабо связанных спинов влияние химического сдвига на положение линий вдоль оси т может быть устранено подачей рефокусирующего 1г-импульса в середине периода эволюции. В случае сильных взаимодействий возникают побочные эффекты, которые будут рассмотрены в разд. 7.2.3. В данном разделе мы ограничимся случаем, когда взаимодействия в системах слабые. [c.431]

Выше мы утверждали, что гамильтониан должен быть инвариантен (т. е. симметричен) по отношению к операциям симметрии системы. На самом деле инвариантность гамильтониана определяет группу симметрии системы. Но волновые функции системы могут изменяться (возможно, изменять лишь знак) при операциях симметрии. Группа симметрии волновых функций должна быть такой же, как и группа симметрии гамильтониана. Однако различные собственные функции, которые описывают движения электронов в системе, преобразуются по разным неприводимым представлениям ее группы симметрии. В рассмотренном выше примере функции 11з1 и фз преобразуются по представлению, симметричному относительно вращения на 180°, а функции 1152 и 1)54 — ПО представлению, антисимметричному относительно этой операции. [c.266]

В молекуле, гамильтониан которой инвариантен по отношению к преобразованиям группы симметрии, существует тесная связь между симметрией и локализованными орбиталями. Если матрица плотности р (ж х ) в уравнении (10) инвариантна по отношению ко всем преобразованиям группы, то инвариантен также и хартри-фоковский оператор уравнения (9) и, следовательно, канонические молекулярные орбитали принадлежат к неприводимым представлениям. С другой стороны, локализованные орбитали часто принадлежат к приводимым представлениям, причем групповые преобразования просто мештт порядок локализованных орбиталей. Получающиеся при такой перестановке локализованные орбитали часто называют эквивалентными орбиталями Простейшим примером является атомная конфигурация (5) 2рхУ), волновую функцию которой можно записать в виде [c.103]

Обратим внимание на то, что преобразование ренормировки не затрагивает термодинамических переменных (например, т и или х и с). Поэтому оно отличается от преобразований подобия, рассмотренных в гл. II. Именно, в случае преобразования подобия термодинамические величины изменяются так, что гамильтониан И остается инвариантным [c.251]

Неподвижной точкой преобразования (2.3) является у = 2. В этом случае члены четвертого порядка в гамильтониане (2.1) могут быть записаны в форме (ф + ф ), и следовательно, гамильтониан (2.1) становится инвариантным относительно вращений в плоскости ф1 — фа. При других значениях у такой симметрии нет. Она, однако, появляется в области сильно развитых флуктуации. Исследованию этого вопроса предпошлем краткий анализ фазовой диаграммы рассматриваемой системы с точки зрения теории Ландау. Простой анализ показывает, что на плоскости (т, у) область т > О, у >—2 соответствует симметричной фазе (фаза I), в области т<0, —2<у<2 осуществляется фаза ф1 = фг =0 (фаза II), в области т < О, у >2 осуществляется фаза ф1 =0, фа = О или ф1 = 0, фа О (фаза III). Преобразование (2.2), (2.3) переводит фазу II в фазу III. В частности, отрезок —2<у<2 это преобразование переводит в 2<у<°о. Линия у = 2 является линией фазовых переходов первого рода между фазавли II и III. Область положительной определенности гамильтониана (2.1), соответствующая границам термодинамической устойчивости, определяется неравенствами [c.289]

Обычная линейная феноменологическая неравновесная термодинамика применима к любой системе при условии, что система слабо неравновесна, т. е. находится вблизи состояния полного статистического равновесия. В ней не реализуется единая последовательная макроскопическая точка зрения. Наряду с аксиоматическим термодинамическим методом она суп ественно использует аргументацию на микроскопическом уровне, а именно то обстоятельство, что частицы подчиняются уравнениям движения механики (например, так выводятся соотношения Онзагера из инвариантности уравнений движения относительно обраш ения времени). Однако используется лишь суш ествование уравнений движения, а не конкретный вид гамильтониана. В неравновесной статистической термодинамике, которая в отличие от равновесной еш е находится в процессе развития и далека от своего завершения, вводится с самого начала описание системы с определенным гамильтонианом и используются уравнения движения. Поэтому здесь отчетливо выступает несколько завуалированное в обычной статистической термодинамике противоречие между обратимостью уравнений движения отдельных частиц и необратимостью поведения макросистемы. [c.37]

Ортогональные преобразования точечной группы кристалла, очевидно, как и в случае молекулы, не изменяют гамильтониан Н—Т - - -L -i- V r, R), так как one -ратор Лапласа и расстояние между любыми двумя точкам пространства инвариантны относительно таких преобразований, а переход эквивалентных ядер друг в друга при этих преобразованиях приводит лишь к перестановке слагаемых в операторе потенциальной энергии V (г, R). Трансляции на векторы решетки не изменяют V (г, R), так как они связаны с перестановками эквивалентных ядер между ссбой. [c.67]

К сожалению, как мы в этом убедимся на примерах, фактически ситуация оказывается не столь простой, и в действительности автор не знает ни одной соответствующей общей теоремы. Тем не менее оказывается справедливой некая обратная теорема. А именно если множество не инвариантно, то нет надежды найти собственные функции. Рассмотрим в качестве примера метод НХФ для отдельного атома с гамильтонианом (1) 1. Тогда (квадрат углового момента относительно ядра) и 8 (квадрат полного спина) будут коммутировать с Я. Однако, поскольку они являются двухэлектронными операторами, множество детерминантов Слейтера оказывается неинвариантным относительно соответствующих преобразований и. Поэтому нет никакой надежды найти собственные функции и 8 , причем, как об этом говорилось в 8, такая ситуация согласуется в общем случае с действительностью. На самом деле мы можем даже дать некое рациональное объяснение кажущимся исключениям из этого правила. Так, например, мы видели, что метод НХФ допускает решения типа замкнутых оболочек и что они являются собственными функциями ж 8 с нулевыми собственными значениями. Однако это можно рассматривать как следствие того факта, что подобные функции ф не вырождены. А именно все компоненты операторов Ъ и 8 коммутируют с Я, причем, будучи одноэ.чектронными операторами, они порождают преобразования II, относительно которых множество детерминантов Слейтера инвариантно. Поэтому любая функция г должна быть совместной собственной функцией Ь и 8, а стало быть, она должна быть типа 8. Также и в общем случае не должно быть неожиданностью, если мы найдем орбитальные -состояния или спиновые синглеты, поскольку их также можно охарактеризовать как совместные собствен-ные функции одноэлектронных операторов Ь и 8 соответственно. Аналогично собственная функция некоторой [c.121]

В этой главе мы будем рассматривать системы, у которых множество Ф значений отдельной перемеп-пой ф(а ) конечно, а гамильтонианы Я периодичны или трансляционно-инвариантны и имеют конечный радиус взаимодействия. Тогда естественно, по крайней мере вначале, искать для гамильтониана Я периодические или трансляционно-инвариантные неразложимые предельные распределения Гиббса. Неразложимость означает с формальной точки зрения, что предельное распределение Гиббса не представимо в виде линейной комбинации других предельных распределений Гиббса. Именно неразложимые предельные распределения Гиббса описывают статистические свойства чистых термодинамических фаз. Если Я зависит еще от параметров iii,. .., (внешних полей), т. е. мы имеем дело с Л-параметрическим семейством гамильтонианов Я 1 = Я .....Я == Яо, то MHOHte TBo нераз- [c.50]

Мы приходим к важному заключению абсолютные минимумы (А ) соответствуют абсолютным минимумам Ях " ( ). Известно ) (см. книгу Г. Бейтмен и А. Эр-дейи Высшие трансцендентные функции .— М. Наука, 1966), что четный полином Эрмита имеет только два абсолютных минимума. Таким образом, естественно ожидать, что при любом Р и достаточно больших Х/т1 существует только два трансляционно-инвариантных предельных распределения Гиббса, отвечающих гамильтониану Я. [c.104]

В этой главе мы рассмотрим классические решетчатые системы с непрерывной симметрией. Пространство Ф значений спиновой переменной ф(8) будет однород-ныхм пространством некоторой компактной группы Ли С. Основной пример Ф = 1 — v-мepнaя сфера, С = SOiv + 1) —группа (V + 1)-мерных ортогональных матриц с определителем 1. Взаимодействие предполагается трансляционно-инвариантным, с конечным радиусом взаимодействия. Гамильтониан такой системы задается потенциалом 7(ф(РУл(8))), где — шар радиуса К с центром в точке 8, ф(РУл( ))—конфигурация ф(<), Потенциал /7(ф(И п х))) характеризует взаимодействие переменной ф( ) с ее соседями в шаре Потенциал /7(ф(РУв( ))) называется инвариантным относительно группы С, если 7(ф(И в(5))) =/[7( ф Жв(5))) для любого элемента е С, где = ф(г), t е [c.108]

Если потенциал и инвариантен относительно С. то гамильтониан Н также инвариантен относительно группы С. Предположим, что па Ф задана нормированная мера 1, инвариантная относительно действия грун-пы С. Обычным способом можно построить с помощью гамильтониана (3.1) и [,1 условные распределения Гиббса на пространстве конфигураций ф(У) при фиксиро- [c.108]

Пусть, например, С — тор, т. е. прямое произведение конечного числа окружностей ( = < ( г и С действует на пространстве Ф. Поскольку гамильтониан инвариантен относительно каждого Оц то из доказанной теоремы всякое предельное распределение Гпббса Рц будет инвариантно относительно С. На основании этого замечания покажем, что в двумерной модели Гейзенберга не происходит спонтанного нарушения симметрии, т. е. не существует предельных распределений Гиббса, не инвариантных относительно группы С. [c.120]

Сз — тор, А е С. Гамильтониан модели Гейзенберга инвариаптеп относительно каждого Оц поэтому Рр инвариантно относительно А. Хорошо известно, что если О — компактная связная группа Ли и g G, то существует картановская подгруппа < о, [c.121]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология