Аналитическое выражение операций

Аналитическое выражение операций [c.25]

В табл. 2 даны частотные характеристики некоторых основных видов трансформаций гравитационных и магнитных аномалий. При этом, как и выше, выражения частотных характеристик с переменной ш относятся к двухмерному случаю, выражения с переменными м, и, р - к трехмерному. В таблице, кроме способов аналитического продолжения аномалий, все другие трансформации соответствуют плоскости г = 0. Здесь также приведены аналитические выражения операций с полями, соответствующие той или иной трансформации (за исключением громоздких выражений). [c.53]

В заключение следует отметить, что в корректности описанного метода расчета убеждают моделирующие эксперименты, когда кумулятивная кривая F (М) строится по известному аналитическому выражению функции / (М), моменты которой могут быть рассчитаны теоретически. До тех пор пока функция Mf (М) унимодальна, изложенный метод расчетов позволяет получить хорошие приближения к точным величинам моментов. В особенности это справедливо, если соответствующим образом подобранный параметр S принимает значение, достаточно близкое к табличному, поскольку тогда все моменты рассчитываются с весьма малой ошибкой и для [Х5 максимальная ошибка, вероятно, около 10%. В менее удачных случаях, когда подобранное значение s попадает в промежуток между табулированными значениями, ошибка для fi4 достигает 10%, для fis — 50%. При всех обстоятельствах ошибки, обусловленные алгебраическими операциями, очевидно, существенно меньше, чем ошибка эксперимента в F (М), обусловленная разбросом данных измерений. [c.393]

Аналитические выражения для векторных операций [c.654]

Это уравнение интегрируют по времени (от О до ) и получают выражение для [А] как функции Полученная функция представляет собой математическое описание кинетической кривой. Существуют графические и аналитические способы проверки соответствия полученного уравнения экспериментальным данным. Если наблюдается хорошее соответствие, то заданный порядок реакции является правильным и можно рассчитать (графически определить или вычислить из аналитического выражения функции) значение константы скорости. Если сходимости нет, то задаются другими эначениями порядка реакции (например, вторым) и повторяют операции до тех пор, пока не получат хорошего совпадения с экспериментом. [c.19]

Теоретические расчетно-аналитические методы, или методы математического моделирования. Вероятностно-аналитические методы имеют для практики значительный недостаток некоторые из них могут быть использованы только тогда, когда имеются аналитические выражения для распределений случайных величин. Вывести и получить аналитические выражения для распределений случайных величин обычно очень сложно, поэтому на стадии проектирования, когда дается ориентировочная оценка показателей надежности, эти методы не всегда подходят. Хотя вычисление вероятности нахождения случайной величины в заданных пределах ее значений, обеспечивающих нормальное безотказное функционирование используемого объекта, в математическом отношении весьма простая операция, если имеется закон распределения этой случайной величины [c.18]

Различными исследователями предложено много аналитических выражений для основных функций, имеющих те или иные преимущества. Вряд ли существует такая формула, которая способна описать механическое поведение любого полимерного материала. Не известна также такая основная функция, которая позволила бы получить все другие функции путем операций над буквенным выражением. На каком-то этапе неизбежно приходится прибегать к численным методам. [c.81]

Такое прямое интегрирование является самой быстрой и точной операцией. При этом в необходимых случаях нужно пользоваться теоремами о спектрах, таблицами преобразований Фурье. Если функция fix) задана таблично или графиком, например, по данным полевых наблюдений, как это часто бывает на практике, то наилучшие результаты можно получить, если аппроксимировать ее различными аналитическими выражениями, иногда и несколькими - двумя или тремя (на различных интервалах горизонтальной оси). Затем спектр такой функции можно определить прямым интегрированием по формуле (2.58) с применением полученных выражений. В качестве таких выражений лучше всего использовать простейшие, соответствующие прямым, параболам, экспоненте, частям тригонометрических функций. В случаях, когда трудно или невозможно выразить заданную функцию fix) аналитически, необходимо пользоваться численными способами интегрирования с использованием различных алгоритмов, например, формул (2.58)-(2.72). [c.75]

Интеллектуальные системы аналитических преобразований (САП). В математическом обеспечении ЭВМ в последние годы все чаще присутствуют системы аналитических преобразований (САП). Они предназначены для облегчения программирования п решения задач, связанных с преобразованием математических выражений. Автоматизированное выполнение аналитических преобразований при помощи ЭВМ стало возможным благодаря развитию методов обработки символьной информации и искусственного интеллекта соответствующих языков программирования методов трансляции и организации памяти разработке вычисленных алгоритмов [62] и т. п. Под аналитическим преобразованием понимаем формальное преобразование математического выражения, заданного в символьном виде, по определенным правилам. Наиболее часто встречающимися операциями аналитического преобразования являются дифференцирование и интегрирование функциональных выражений подстановка вместо переменных констант и выражений упрощение выражений (свертка констант, приведение подобных членов в многочленах и т. п.) разрешение уравнений относительно заданных переменных действия над матрицами, элементами которых являются символьные выражения вынолнение алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) над арифметическими выражениями и т. п. [c.248]

Б выражении (IV, 15) следует понимать как глобальный минимум функции Ф (х, X) на множестве Q при фиксированном векторе к Е . Из рис. 15 ясно, что операция взятия максимума по Я, в выражении (IV, 15) также представляет глобальный максимум no t. Это легко показать и аналитически. Действительно, пусть X ( ) Q является точкой глобального минимума Ф х, Х), т. е. [c.110]

Любой процесс состоящий из ряда последовательных стадий определяется самой медленной стадиен Именно она тормозит весь процесс Например для увеличения выпуска деталей про ходящих обработку на конвейере нужно ускорить наиболее мед ленную операцию иначе не будет хватать деталей для последу ющих операции и число готовых деталей не сможет увеличиться Это положение для рассматриваемой последовательной реак ции можно доказать аналитически следующим образом Запи щем выражение скорости данной реакции пользуясь концент рацией ее продукта [c.271]

Бинарные уравнения пригодны для графической оценки парциальных молярных свойств, если заведомо известно, что свойства смеси являются функциями мольных долей этот метод, получивший название метода отрезков, отсекаемых касательной , демонстрируется на рис. 3.4 (гл. 3). На такой диаграмме парциальные молярные количества при определенной мольной доле Х1 представлены подкасательными при составе с ординатами О и 1. Однако точность графических методов низка, поэтому вышеописанный подход может дать более точные результаты и оказаться более удобным, если предварительно будут проведены операции численного дифференцирования (как в примере 2.6). Парциальные молярные объемы в примерах 2.5 и 2.7 находят аналитическим дифференцированием уравнений состояния. В примере 2.4 показано, как можно найти парциальные молярные свойства, если сос гав выражен в мольных долях. [c.128]

Ситуация, когда, отобрав пробу, можно непосредственно приступить к аналитическим измерениям, является крайне редкой. Определению предшествуют перевод пробы в удобную для анализа форму (агрегатное состояние), ряд предварительных химических операций (например, маскирование), выделение и концентрирование определяемых компонентов, их превращение в определяемую форму с более выраженными аналитическими свойствами, создание благоприятных условий для измерения аналитического свойства. Все эти операции объединяют одним термином — подготовка пробы. [c.65]

Полученное приближенное уравнение релаксационного спектра может быть использовано для получения аналитической зависимости эффективной вязкости от скорости сдвига. Для этого подставим уравнение (1.83) в уравнение (1.69) и выполним операцию интегрирования, имея в виду приближенный характер полученной зависимости. В результате получим следующие выражения для области 11у Гт [c.45]

Тем же. способом, который использовался при выводе уравнений (II. 22) и (II. 22а), можно получить соответствующие выражения для анализа результатов при добавлении избытка титранта. И в этом случае расчетный метод позволяет избежать лишней операции — обратного титрования избытка реагента. Конкретные свойства редокс-систем и индикаторных электродов позволяют на этапе методической отработки выдать наиболее удачный способ аналитического определевЯЯ. При этом необходимо учитывать, что погрешности в измерении окислительного потенциала раствора являются основным [c.109]

Таким образом, найдено приближенное решение поставленной задачи в общем случае для произвольных переменных коэффициентов с, р, 1, зависящих от координаты д . Важно отметить, что ири вычислении коэффициентов Ащ, Bkj по формулам (3.64) теплофизические характеристики с, р. А, не вошли под знак дифференцирования, а необходимо выполнить операции интегрирования выражений, в которые эти функции входят как множители. Это позволяет находить Akj, с высокой точностью при различных способах задания с, р, % (в дискретных точках, в графическом виде, в виде прибли кенной аппроксимации экспериментальной кривой некоторой аналитической функцией и т. д.). [c.69]

Полученное выражение показывает, что эффективность кристаллизационного концентрирования зависит не только от коэффициентов распределения и обогащения, но и от соотношения между параметрами операций концентрирования и аналитического окончания. Очевидно, что для достижения наибольшего эффекта объем рабочей смеси должен быть минимальным (У= ), относительное содержание препарата в ней- максимально возможным ( = о) и, следовательно, масса концентрата-оптимальной для данного метода анализа т = = гпо). Остается в силе и общее для любых комбинированных методов требование о том, чтобы погрешность, обусловленная концентрированием, была минимальной (наибольшее значение П1 достигается при ср = 1). Зависимость П1 от различных факторов иллюстрируют расчетные кривые, показанные на рис. 28-31. Как видно из уравнений (106) и этих рисунков, кристаллизационное концентрирование обеспечивает снижение Сн не менее, чем на порядок при вьшолнении следующих условий [c.63]

Этот способ выражения концентрации обычно практикуется в аналитической химии при определении содержания вещества в одном растворе путем постепенного добавления к нему другого раствора (рабочего) до момента прекращения реакции. Концентрация рабочего раствора выражается через титр, а сама операция называется титрованием. [c.17]

Поскольку нас не интересует длина ветвей, составляющих график, то мы должны просуммировать все графики такого типа, отличающиеся только длинами ветвей. В аналитической форме эта операция сводится к интегрированию найденной плотности вероятности по всем возможным значениям координат х,-, в результате чего получаем условную вероятность данной конфигурации пор вне зависимости от длин ветвей. Такой переход соответствует в квантовой теории поля переходу от координатного представления к импульсному. Поэтому, используя указанную аналогию, будем называть полученные выражения соответственно вероятностями в координатном и в импульсном представлении. [c.135]

Термины макро и микро применяются в химическом анализе как для выражения размера пробы, так и для выражения относительного количества компонента, подлежащего определению (рис. 1). На заре развития аналитической химии использовались относительно большие пробы, поэтому не требовалось никакого особого обозначения для определения масштаба аналитических операций. По мере возрастания требований науки и техники и прогресса аналитических методов стали возможны химические определения на пробах в миллиграммовых количествах вместо десятков граммов с тех пор вошел в обиход термин микроанализ в отличие от старого, называемого в настоящее время макроанализом. Хотя абсолютные количества веществ, с которыми приходится оперировать в макро- и микроанализе, различаются в 10 и 100 раз, относительные количества определяемых компонентов остаются теми же, т. е. больше 0,01 или даже 0,1%. Химические определения ниже этого предела выполнялись редко как из-за отсутствия потребности, так и вследствие трудностей анализа такого количества вещества существовавшими методами. Известно, что затем был введен термин следы для обозначения ничтожного количества вещества, присутствующего в пробе, но точно не определяемого. Положение в настоящее время значительно изменилось. Теперь потребности науки и техники в определении компонентов, составляющих лишь малую долю анализируемого образца, сильно возросли, и желательно следы вещества определять более точно. Как с логической, так и с исторической точки зрения имеется веское основание для установления верхнего предела содержания следов вещества, или микрокомпонента, равного 0,01%. В связи с этим представляет интерес утверждение, сделанное в отношении анализа горных пород Относительно термина следы можно сказать, что под ним подразумевают такую концентрацию вещества, которая находится ниже предела количественного определения его в образце, взятом для анализа. Для анализов, претендующих на полноту и точность, в общем случае следует указать, что предполагаемое содержание интересующего компонента меньше 0,02 или даже 0,01% . [c.11]

Функция / (/) задана в аналитической форме. В этом случае вычисление состоит из чисто математических операций в соответствии с выражением (20). [c.55]

В этой формуле выражение ехр(- со /г) является частотной характеристикой способа аналитического продолжения аномалий в области верхнего полупространства на высоту h. Отсюда следует, что неотъемлемой частью процесса вычисления автокорреляционной функции как трансформации является наличие операции аналитического продолжения аномалий в области верхнего полупространства. Этим и объясняется некоторое сходство процесса вычисления автокорреляционной функции с аналитическим продолжением аномалий в области верхнего полупространства и малая его чувствительность к ошибкам наблюдений. [c.266]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

Рассмотрим зависимость средней концентрации реагента от среднего времени пребывания в проточном аппарате идеального перемешивания, полученную для жидкофазной необратимой реакции второго порядка в условиях стабилизации начальной концентрации и температуры. Эта зависимость представлена на рис. X. 7, а. Для выяснения характера нестационарности кинетики найдем ряд значений функции и построим кривую F (D) (рис. Х.7, б). Применяя операцию обратного преобоазования Лапласа к аппроксими-рЗ ющему аналитическому выражению F(D) = 1/(0 + 1), находим по таблицам [11] коэффициент нестационарности (т) = ехр(—т). [c.278]

Разработан векторный метод разделения совокупности потоков вещества конкретного технологического процесса на группы. Определена специальная математическая операция, позволяющая разделить заданную совокупность векторов на непвресекающився группы. Каждая группа характеризуется базовым вектором и заданным, одинаковым для всех групп, значением J> Получены аналитические выражения, устанавливающие пределы вариации состава векторов, попадающих в заданную группу. [c.159]

Под функциональным звеном подразумевается аппарат или группа аппаратов, выполняющих определеннзгю операцию. Указанную методику ш распространили на определение стоимости отдельного звена. Графическая часть методики была заменена аналитическими выражениями. Для нахождения значений констант и проверки метода были использованы проектные материалы производств фталевого ангидрида из нафталина и о-ксилола, малеинового ангидрида из бензола, бутиленов и фурфурола, контактного анилина ( 8 цехов различной мощности). [c.48]

Комплексы без я-связей. На рис. 26.25 показано шесть симметричных о-орбиталей и приведены аналитические выражения для нормированных линейных комбинаций а-орбиталей отдельных лигандов, а также указаны соответствующие им по симметрии атомные орбитали металла. Слева на рис. 26.25 записаны символы, обозначающие симметрию этих орбиталей. Эти символы взяты из теории групп и соответствуют типу симметрии, к которому принадлежат орбитали металла, лигандов и образующиеся при их перекрывании молекулярные орбитали. Эти символы часто применяют как условные обозначения, но они сами по себе содержат полезную информацию о свойствах симметрии. Символом Ai всегда обозначают единственную орбиталь, которая обладает полной симметрией в отношении всех операций симметрии молекулярной системы означает пару орбиталей, эквивалентных друг другу, но по-разному ориентированных в пространстве, а — три эквивалентные, но различным образом ориентированные орбитали. Индексы g к и указывают, обладает ли орбиталь симметрией в отношении инверсии в центре сим1метрии g — сокращение немецкого слова gerade, т. е. четный) или же меняет знак при такой инверсии (и — от немецкого ungerade, т. е. нечетный). [c.96]

Константа Ьх, являющаяся коэффициентом пропорциональности между сигналом и концентрацией, называется коэффициентом чувствительности. Обычно прямая пропорциональность, выраженная соотношением (12.2-1), выполняется лишь в ограниченном диапазоне содержаний вещества. При слишком малых содержаниях мал и аналитический сигнал (и потому он не может быть достаточно точно измерен), а при слишком больших содержалиях, как правило, наблюдаются отклонения от линейной зависимости и величина 61 становится переменной. Диапазон, в котором выполняется соотношение (12.2-1), назьшается рабочим диапазоном методики. Этот диапазон часто можно расширить в сторону более высоких концентраций путем соответствующего разбавления анализируемого раствора. В то же время, чтобы расширить его в сторону более низких концентраций, обычно необходимы более сложные химические операции, например концентрирование. Как правило, с ростом концентрации градуировочная кривая изгибается к оси абсцисс. Область концентраций, в которой существует хотя бы какое-то заметное изменение величины сигнала при изменении концентрации, назьшается динамическим диапазоном методики. В области высоких концентраций динамического диапазона коэффициент чувствительности непрерывно уменьшается. [c.466]

Во избежание методических ошибок при выработке аналитических методик следует стремиться к использованию селективных реагентов, образующих с определяемым компонентом прочные соединения. Селективность —специфическая способность данного реагента к образованию соединений с одним К0м1п0 нент0м или узкой группой компонентов — обеспечивает чистоту выделения оцределяемого компонента. Прочность, которая находит свое численное выражение в большой величине константы образования аналитически активного соединения компонента с реагентом, обеспечивает полноту выделения и определения. Кроме того, учитывая медленность наступления рав1Новесия во многих химико-аналитических процессах, при разработке методик анализа следует отдавать предпочтение более быстрым реакциям и процессам и создавать условия для достаточно полного приближения их к состоянию равновесия или стационарному состоянию. Так, например, в операциях осаждения следует стремиться к получению крупнокристаллических осадков, а при полярографических определениях соблюдать такой режим, чтобы сила тока определялась именно скоростью диффузии ионов, которая пропорциональна их концентрации, а не скоростью самого электродного процесса окисления или восстановления. В методах эмиссионного [c.31]

Интересно написаны главы, посвященные общим вопросам основным единицам для выражения концентрации растворов, про-боотбору и пробоподготовке, выбору метода, технике общих операций, ошибкам и статистической обработке результатов. В книге нет отдельных разделов, принятых в наших программах и лекционных курсах, касаюшцхся комплексных соединений и их аналитического значения, органических аналитических реагентов, коллоидных растворов. Однако другие разделы общетеоретической части, в частности теория кислотно-основных или окислительно-восстановительных реакций, изложены в учебнике подробно и на хорошем уровне. [c.7]

Согласие теоретических результатов с известными экспериментальными фактами подтверждает их п )инципиальную важность. Это позволяет также уточнить используемые эмпирические выражения для стандартного отклонения. В то же время для больших и средних содержаний элемента суммарная погрешность определения обычно обусловливается величиной методической ошибки [1, 2, 4]. Эта погрешность связана с влиянием мешающих элементов основы, со сложностью производимых операций анализа, с совершенством всего аналитического метода, и ее трудно рассчитать теоретически. Поэтому с целью широкого практического применения теоретических выражений необходимо уточнить связь методической погрешности с концентрацией элемента. В работе [4] мы показали теоретически и подтвердили экспериментально, что абсолютная величина той части случайной методической погрешности пламенно-спектрофотометри- [c.170]

Качественный анализ спектров на ЭВМ. Примером может служить методика качественного анализа у-спектров, предложенная Лдамсом и Дамсом [218] применительно к аналитическим определениям на основе облучения тепловыми нейтронами. Для получения спектров использован Ое(Ь1)-спектрометр. Положение ппков в спектре определяли визуально по электроннолучевому индикатору многоканального анализатора. Однако эта операция может быть выполнена ЭВМ по специальной программе. Положение пика, выраженное номером канала анализатора, конвертируется в энергию пика по калибровке спектрометра, которая записана в памяти ЭВМ в форме степенного полинома вида [c.184]

Данные о воспроизводимости методов определения микропри-месей можно считать полными, только тогда, когда можно точно указать соответствующие интервалу определяемых концентраций значения погрешностей. За меру погрешности определения можно принять стандартное отклонение или относительное стандартное отклонение единичного определения в зависимости от того, какая из этих величин не зависит или, по крайней мере, менее зависит от концентрации определяемой примеси в данном интервале концентраций. Стандартное отклонение измерения аналитического сигнала является мерой воспроизводимости метода только при анализе пробы без проведения предварительных операций. В противном случае погрешность определения (выраженная, например, относительным стандартным отклонением) является суммой погрешностей отдельных стадий анализа, включая пробоотбор, взятие навески, подготовку пробы, разбавление растворов, собственно измерения и т. д. Тогда для погрешности анализа (хг) справедливо соотношение [c.12]

Проводя преобразование к линейному виду, следует иметь в виду, что оно уместно лишь в том случае, когда уравнение содержит не более двух констант. В общем случае константы уравнений могут быть найдены аналитическим методом. Например, подставим в выражение (24) сначала экспериментальные значения кх, с , затем Л а, С2-Подучим систему из двух уравнений, решив которую, вычислим постоянные А>о и Я дисс- Если формула содержит 3 константы, составляют и решают систему из трех уравнений, беря три пары значений функции и аргумента, и т. д. Такой метод расчета менее удобен, чем графический. Экспериментальные данные всегда имеют ббльшую или меньшую погрешность, поэтому и значения констант, вычисленные аналитическим методом, будут содержать некоторую ошибку. Применение графических методов позволяет значительно уменьшить эту ошибку, так как проводя прямую между экспериментальными точками и беря значения координат точек, расположенных на этой прямой, мы производим операцию сглаживания погрешностей. В связи < этим ясно, что в графических расчетах большое значение имеет -Зпиение правильно провести соответствующую прямую или кривую. Чем больше экспериментальных данных имеется в нашем распоряжении, тем точнее это можно сделать. Для проведения прямой линии с целью нахождения физико-химических констант необходимо иметь не менее 4—5 точек, для проведения кривой число точек должно быть не менее 6—7. [c.28]