Система дифференциальных уравнений метод методы решения

Для решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта необходимо выполнить вычисления в следующем порядке [c.124]

Рис. 5.7. Решение жесткой системы дифференциальных уравнений методом Розенброка

Нами выполнены расчеты результатов про-цесса по математическому описанию при тех же входных величинах, что и в промышленном аппарате с использованием стандартной программы решения системы дифференциальных уравнений методом Рунге—Кутта для ЭВМ М-20. Результаты расчетов при нескольких величинах ко показаны в табл. 8.2, где для удобства сравнения приведены и выходные опытные данные. При подборе ко в качестве исходного значения принята величина, рассчитанная на основании работы [147]. [c.181]

Оценим вреия решения задач математического моделирования целиком на ЦВМ с таким быстродействием. Ддя решения системы дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта с заданной точностью обычно требуется [c.504]

Для решения небольшой системы дифференциальных уравнений (2.159), описывающих с принятыми допущениями переходные процессы в приводах с дроссельным управлением, нет необходимости использовать названные сложные методы расчета. Приемлемые результаты можно достигнуть более простым при малом числе уравнений методом припасовывания. Такой метод успешно применяют для решения некоторых задач механики [4, 20]. Состоит оп в следующем. Полное время переходного процесса разделяют на малые временные интервалы (шаги). В пределах достаточно малого шага коэффициенты дифференциальных уравнений принимают постоянными. Получаемую при этом систему линейных дифференциальных уравнений решают совместно в каждом временном интервале методом преобразования по Лапласу. Формулы для вычисления конечных значений переменных содержат их начальные значения. Процесс припасовывания состоит в том, что значения переменных, полученные в конце предыдущего шага, принимают начальными дли последующего. Совместное решение системы уравнений в пределах каждого шага исключает возникновение численной неустойчивости решения и этим устраняет искажение переходного процесса. [c.150]

До сих пор мы не останавливались на вопросе вычисления производных 5//39, полагая, что они могут быть вычислены точно. Однако при приближенном (численном) интегрировании исходной системы дифференциальных уравнений (3.141) вычисление производных — наиболее тонкое место во всей обратной задаче. Методы вы числения производных можно разделить на две группы. Первая группа — методы универсальные, не связанные со схемой интегрирования. Сюда относится метод конечных разностей (см. разд. 3.5), точность которого не всегда достаточна для успешного проведения минимизации. В работе [108] предлагается для оценки производных использовать план первого порядка в пространстве параметров около точки 0 . Применение этого метода требует, так же как и метод конечных разностей, (р—1) вычисления функции по крайне мере. Пауэлл [118, 119] предложил численный метод оценки градиента, в котором при каждой итерации переоцениваются компоненты лишь в направлении, задаваемом уравнением.(3.171) или G GS = —G h. Здесь 0 — решение уравнения, фиксирующее стационарную точку системы (3.171) h — вектор [t —/ (0 )], i = 1,.... .., N G — вектор 5/(0 )/39 , j = i,. . R. Симплекс-метод [12, 92, 115] не обладает быстрой сходимостью [117, 124], тем не менее он с успехом используется для оценки производных. [c.224]

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Математическое описание моделей для нестационарных условий движения потоков дано в табл. 2.1. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет служить система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому при разработке алгоритмов решения используются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальные в частных производных, обыкновен- [c.84]

Этот пример иллюстрирует возможности решения основного кинетического уравнения при наличии моделей с относительно узкими ядрами, которые приводят к ленточной структуре матриц в системе дифференциальных уравнений. При расчете моделей с широкими ядрами, возможно, понадобятся более сложные методы аппроксимации интегралов. Однако при использовании более сложных кубатурных формул на процесс дискретизации уравнения должны быть наложены такие ограничения, чтобы дискретное уравнение сохраняло основные физические свойства непрерывного уравнения. [c.200]

Решение системы дифференциальных уравнений скоростей реакции в форме квадратур не всегда бывает возможным, поэтому для расчета констант скоростей часто приходится прибегать к числовым методам, используя экспериментальные данные и применяя цифровые вычислительные машины. Во многих случаях уравнения являются нелинейными, и для их решения требуются специальные методы. [c.42]

Нами была сделана попытка учета продольной диффузии и продольного перемешивания, которая сразу же привела к серьезному осложнению" системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику рассмат-. риваемого процесса. В частности, порядок уравнений повысился, что практически не дает возможности получить решение в аналитическом виде. Проведение же глубокого математического анализа такой усложненной системы дифференциальных уравнений асимптотическими методами или методами вычислительной математики с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин мы сочли нецелесообразным, поскольку численно сформулировать такую задачу на основе имеющихся экспериментальных данных по динамике поглощения окислителей редокситами к настоящему времени не представляется возможным. [c.62]

Строгое аналитическое решение системы дифференциальных уравнений (2-86) и (2-87) не всегда возможно. Однако наличие дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности позволяет воспользоваться методами теории подобия, которая представляет собой метод обобщения эксперимента. Современная наука широко использует этот метод исследований при анализе процессов горения, сушки и т. д. [c.69]

Нетрудно убедиться, что к такому же решению можно прийти, применив с самого начала для решения системы дифференциальных уравнений метод стационарных концентраций, т. е., полагая, что л/Л Действительно, в этом приближении [c.331]

В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]

Теорема Тихонова является строгой математической формулировкой метода квазистационарных приближений, рассмотренного в ферментативной кинетике (см. гл. 2). Данная теорема позволяет выявить в системе дифференциальных уравнений так называемые быстрые - уравнения, т.е. те уравнения, которые описывают поведение переменных, быстро достигающих стационарного состояния. Теорема Тихонова позволяет заменить эти дифференциальные уравнения алгебраическими, что существенным образом упрощает решение систем дифференциальных уравнений. [c.707]

Следовательно, расчет реактора сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными а и Т. Для проточного реактора полного перемешивания это будет система алгебраических уравнений. В остальных случаях получается система дифференциальных уравнений. Как правило, для решения необходимо использовать численные или графические методы. Ниже будет рассмотрено несколько примеров расчета неизотермических реакторов. [c.332]

Среди научных работников бытует шутка Химик это тот, кто умеет составить дифференциальное уравнение, а физик — тот, кто может его решить . Зачастую, однако, способ решения системы уравнений выходит за рамки методов, известных и физикам. ( Многие вещи кажутся нам непонятными не потому, что наши понятия слабы, а потому, что эти вещи ие входят в круг наших понятий — Козьма Прутков.) В таких случаях необходима консультация специалиста-математика. В большинстве случаев математик, посмотрев условия, сообщит, что такая задача уже решена, и расскажет метод решения нлн подскажет, где его можно посмотреть. [c.137]

Для решения системы дифференциальных уравнений используются конечно-разностные подходы, причем эти уравнения предварительно модифицируются с помощью специальной процедуры, что обеспечивает более тесную их связь и повышенную устойчивость численных схем. При решении конечно-разностных матричных уравнений может использоваться либо метод прямого исключения диагональных членов, либо итерационный метод Гаусса-Зейделя с верхней релаксацией. [c.570]

Ранее обсуждалось решение системы дифференциальных уравнений (10-34). В дальнейшем будет показано, что этот метод изложения вследствие фундаментального характера обобщенных уравнений Дамкелера ведет непосредственно к таким понятиям, как рабочая линия и единица переноса. [c.161]

Для плохо обусловленной матрицы 5 1 величина е близка к единице и сходимость может быть чрезвычайно плохой. Однако если не очень велико, то подход к методу минимизации с точки зрения решения градиентных систем оказывается более эффективным, так как позволяет перейти от довольно неясной проблемы выбора шага А к более ясной проблеме выбора границы точности решения системы дифференциальных уравнений [27]. [c.215]

Мембраны в общем случае следует рассматривать как распределенные системы, кинетическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями (1.26) или (1.27). В таких системах вдали от равновесия возмущения, являясь функцией времени и координаты, могут развиваться, конкурируя со стабилизирующими их диссипативными эффектами, обусловленными нелинейностью химических реакций. Анализ устойчивости подобных систем методом линеаризации достаточно сложен. В частности, для однородных в пространстве, но периодических во времени распределений концентраций в одномерной системе с одной переменной х получено следующее решение [4] для возмущения [c.37]

В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х")/ЗХ [c.272]

Идеальное перемешивание в дренажном канале. В напорном канале — идеальное вытеснение. Такая организация потоков возможна в аппаратах плоскокамерного типа с отводом пермеата из центра плоскопараллельного двойного мембранного элемента, особенно при работе по вакуумной схеме Рг ниже атмосферного). В этом случае yiA = yip, и расчет модуля при заданных 0 и yif заключается в решении системы дифференциальных уравнений (5.103) с граничными условиями (5.104). Значения yir определяют любым из итерационных методов, а yip — из балансового соотношения (5.107). [c.185]

Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

Целью кинетического исследования в рассматриваемых системах является определение кинетических констант и возможных выходов изомеров. Традиционным методом использования кинетической модели для этого случая является решение системы дифференциальных уравнений (2.25). Общий способ такого решения методами матричной алгебры заключается в следующем. Будем искать ненулевое частное решение в виде [c.30]

Теория подобия используется для обобщения данных о каком-либо физическом процессе при осуществлении его в аппаратах различного размера. Методы теории подобия применяют для определения физических характеристик процесса в большом аппарате на основе изучения этого процесса в малом аппарате. При этом принимается, что процесс описывается одной и той же системой дифференциальных уравнений, т. е. что структура математического описания неизменна. Предполагается, что аналитическое пли численное решение этого описания вызывает затруднения. [c.20]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

В гл. 1 было показано, что математическое описание типовых процессов обычно выражается определенным классом уравнений (конечные системы уравнений, системы дифференциальных уравнений и т. д.), решение которых возможно с единых методологических позиций. Примерами такого подхода являются методо-ориентированные пакеты прикладных программ, в основе которых используется определенный метод, обладающий достаточным быстродействием и уверенной сходимостью. В примерах 1—4 (см. гл. 1) показано, что центральным звеном пакета, позволяющего решать системы дифференциальных и конечных уравнений, является метод решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом нелинейные уравнения некоторым образом приводятся к ли-нейному виду и решаются с использованием итеративных схем. [c.301]

Таким образом, интегрирование системы дифференциальных уравнений в соответствии с формулой (5-48) сводится к решению линейных алгебраических уравнений. Для решения систем алгебраических уравнений используется итерационный метод, описание которого приведено на с. 301. Заметим, что метод позволяет решать как линейные, так и нелинейные системы. Поэтому для решения систем линейных дифференциальных уравнений можно применить формулу (5-45) без линеаризации (5-42). [c.336]

Прежде всего представим нелинейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных Зфавнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степенной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8 ] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое из уравнений системы (8.42) к интегральному виду. [c.485]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Теория подобия используется для обобщения данных о каком-либо физическол процессе при осуществлении его в аппаратах различного размера. Методы теории подобия применяют для определения физических характеристик процесса в большом аппарате на основе изучения этого процесса в малом аппарате. При этом принимается, что процесс описывается одной и той же системой дифференциальных уравнений, т. е. что структура математического описания неизменна. Предполагается, что аналитическое или численное решение этого описания вызывает затруднения применение же теории подобия позволяет выполнить исследование процесса, не прибегая к решению системы дифференциальных уравнений. [c.134]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

На первом этапе решения, когда величина концентраций существенно зависит от выбранных начальных условий, осуществляется численное интегрирювание полной системы дифференциальных уравнений химической кинетики одним из разностных методов с заданной относительной погрешностью интегр>ирования. Этот этап решения заканчивается, когда наиболее реакционноспособные компоненты выходят на квазистационарный режим (эти условия проверяются на каждом шаге интегрирования). На втором этапе решения часть дифференциальных уравнений для наиболее реакционноспособных компонент заменяются алгебраическими и на каждом шаге интегрирования укороченной системы обыкновенных дифференциальных уравнений решается дополнительно система нелинейных алгебраических уравнений. При этом, если условия квазистационарности нарушаются для некоторых компонент, то соответствующие алгебраические уравнения опять заменяются исходными дифференциальными.Действительно, пусть система уравнений химической кинетики представлена в виде [c.133]

При составлении программы для второго этапа решения задачи обратить внимание на возможность использования программы для первого этапа с незначительной переделкой в первую очередь з астка программы, ответственного за решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера, [c.131]

Кинетика реакции с учетом выгорания. Макрокинетический закон реакции. До сих пор мы считали частоты элементарных процессов VI постоянными, вследствие чего математическая задача кинетики сводилась к решению системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такое упрощение задачи возможно, пока мы ограничиваем рассмотрение реакции начальной ее стадией, когда концентрации исходных веществ еще не претерпели сколько-нибудь существенного изменения. При значительной глубине реакции, очевидно, необходимо учитывать изменения концентраций всех присутствующих в зоне реакции веществ вследствие этого возникает задача решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая в общем виде неразрешима. Однако, пользуясь методом квазистациоиарных концентраций, часто удается свести задачу к решению системы двух уравнений, которая в отдельных простейших случаях может быть решена сравнительно просто. В результате этого решения получаются определенные соотношения между концентрациями активных центров и исходных веществ, позволяющие [c.525]

Вначале рассмотрим течение неограниченного объема жидкости вблизи стенки, внезапно приведенной в движение. В этой задаче показывается применение метода замены переменныл, который позволяет свести уравнение в частных производных к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. Данный метод решения возможен только в том случае, когда два граничных условия могут быть объединены в одно. Нужно отметить, что такая гидродинамическая система никогда не достигает предельного стационарного состояния. [c.119]

В предыдущих разделах настоящей главы рассматривались вопросы применения метода динамического программирования для оптимизации д и с к р е т н ы х многостадийных процессов. Именно при анализе таких процессов, которые допускают четкое разбиение на стадии, наиболее наглядно проявляются основные достоинства эгого метода как способа решения оптимальных задач для процессов с произвольным числом управляемых стадий. Однако метод дииами ческого программирования можно использовать также и для оптимизации ироцессов с распределенными параметрами и нестационарных процессов с сосредоточенными параметрами, которые изменяются непрерывно. При этом закон их изменения описывается системами дифференциальных уравнений [c.307]

Рассмотренный вывод кинетики процесса является приближенным не только потому, что мы упростили схему процесса, но и потому, что пользовались методом квазистационарных концентраций, который для данного случая недостаточно обоснован. Более строгое решение задачи можно получить, рассматривая решение системы дифференциальных уравнений (VIII, 36), (VIII, 37) и (VIII, 38) в общем виде. Такое решение возможно, но расчет получается очень громоздким. [c.220]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология