Уравнение линейного отклонения

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

Нетрудно убедиться, что для уравнения Больцмана характерным линейным размером является средняя длина свободного пробега X, а характерным отрезком времени — среднее время т между столкновениями молекул. Этим уравнение Больцмана отличается почти от всех других уравнений математической физики, описывающих необратимое поведение среды на расстояниях, которые должны быть большими по сравнению с X, и на отрезках времени, которые должны быть большими по сравнению с г. Это обстоятельство проявляется также в том, что, например, обычная термодинамика необратимых процессов имеет дело с малыми (линейными) отклонениями от равновесия, тогда как уравнение Больцмана допускает большие (нелинейные) отклонения. Поэтому необходимо строго различать нелинейность уравнений гидродинамики и линейность механизма необратимости (например, пропорциональность теплового потока температурному градиенту) [4, 166, 178, 271, 300, 357, 377, 383, 404, 409, 410, 441]. [c.44]

Наличие уравнения линейной регрессии с числовыми значениями всех метрологических параметров при измеренных значениях аналитического сигнала анализируемой пробы (уан) позволяет перейти к расчету метрологических характеристик результатов анализа, х а — концентрации (содержанию) определяемого компонента, — стандартного отклонения результата анализа Хц Ахц — доверительного интервала результата анализа 5 — коэффициента чувствительности предела обнаружения (в случае необходимости). [c.42]

Для решения этой задачи строили графики. На оси абсцисс в интервале от Гд до при > / д (нм) откладывали значения / ,, соответствующие определенным значениям // ,(/), на оси ординат. Поскольку при Гд и / в величины // ,(/) = О, то в общем виде зависимость (18) имеет минимум (// ,(/) ,щ)- Выяснено, что ветви минимума между / д и // (/), , //а (/)т1п И Гд МОЖНО описать уравнениями линейной регрессии со средними отклонениями от данных [15, 34, 35], равными 7.2 % (табл. 4). [c.17]

Для изучения зависимостей (26)—(28) применяли графические построения. При анализе (26) и (27) на оси абсцисс откладывали л по оси ординат — Я О) (кДж/г-атом) и Г ,0) (К). Затем определяли характер зависимостей в линейном приближении, рассчитывали численные коэффициенты уравнений линейной регрессии для соответствующих значений аргумента, отклонения справочных данных от рассчитанных по уравнениям, 8(Я , ) и 8(7 ,,,), для соответствующей системы. При анализе (28) на оси абсцисс откладывали значения Я",(/ ) (кДж/г-атом), на оси ординат — Г ,(/) (К). Последующие процедуры аналогичны описанным для (26) и (27). Примеры графических построений приведены на рис. 5 основные результаты изучения суммированы в табл. 7. [c.23]

Зависимости (26)—(28) описываются уравнениями линейной регрессии. Среднеарифметические отклонения справочных данных от рассчитанных по (26), (27) и (28) изменяются соответственно в пределах (0,8—15), (0,8—25), (0—21) % и не превышают в среднем 9.0 %. [c.23]

Для более четкого представления о возможностях полученных уравнений (1) и (2) укажем, что среднее линейное отклонение при прогнозировании выхода антрацена составляет 0,4%, а три расчете чистоты готового продукта — 0,5%. [c.89]

Согласно этому уравнению, в идеальных растворах или расплавах имеется линейная зависимость логарифма концентрации растворенного вещества от 1/Г. Для иллюстрации этой зависимости на рис. 17 приводятся обработанные в соответствии с уравнением (111-55) опытные данные о растворимости в системе нафталин — толуол. Как видно из рис. 17, при концентрациях нафталина в расплаве, превышающих 0,1 молярной доли, зависимость логарифма концентрации от обратной температуры близка к линейной. Отклонения от этой линейной зависимости наблюдаются для расплавов, содержащих менее 0,1 молярной доли нафталина. Из уравнения (111-55) следует, что при неизменной теплоте плавления растворимость (или концентрация в расплаве) уменьшается с ростом температуры плавления вещества. Значение х = 1 получается при Т = То, т. е. для чистого. твердого вещества. Это дает возможность, зная растворимость при нескольких температурах и экстраполируя зависимость 1п х от 1/Г в точку х = 1, оценить температуру плавления твердого вещества. Точность получаемых при этом результатов зависит от точности опытных данных о растворимости и степени отклонения рассматриваемого раствора от идеальности. К определению температуры плавления с помощью описанного приема следует прибегать лишь в тех случаях, когда экспериментальное определение невозможно из-за термического распада или особых свойств исследуемого вещества. [c.104]

Производя линеаризацию каждого к-то уравнения в окрестности точки шу , гпх.), получим систему линейных уравнений в отклонениях [c.62]

Оценка точности. Для обработки экспериментальных данных методом наименьших квадратов были использованы линейные и квадратные уравнения зависимости э. д. с. от температуры. Все вычисления производились с помощью электронно-вычислительной аппаратуры. Для того чтобы выяснить какое уравнение (линейное или квадратное) лучше аппроксимирует данные, вычислялось стандартное отклонение [c.11]

Оценка точности. Данные по зависимости поверхностного натяжения от температуры обрабатывались методом наименьших квадратов с применением линейных и квадратных уравнений. Вычисления производились с помощью электронно-вычислительной аппаратуры. Критерием при выборе типа уравнения (линейного или квадратного), наилучшим образом аппроксимирующего данные по температурной зависимости поверхностного натяжения, служила величина стандартного отклонения [c.87]

Оценим теперь характерные отклонения скорости Vx и Ьу от скорости потока и в ламинарном следе. Непосредственно нз уравнения Навье — Стокса оценить скорости у и % нельзя, так как мы видели, что это уравнение линейно по V. Для решения поставленной задачи воспользуемся результатом (7.20) для силы сопротивления движущегося в жидкости тела Р - т иЯ. Здесь i — характерный размер тела. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила должна быть равна обратной силе, действующей со стороны обтекаемого тела на жидкость. Выделим сферу большого радиуса х так, чтобы она пересекала область ламинарного следа далеко позади обтекаемого тела. Сила Стокса Р равна разности сил, действующих в области ламинарного следа и симметричной ему области впереди тела. В остальных участках сферы имеет место полная компенсация сил от области впереди и позади тела. Итак, находим [c.114]

Для исследования устойчивости формы на контур, ограничивающий поперечное сечение профиля, необходимо наложить произвольное малое возмущение, которое может быть разложено в ряд по соответствующему набору ортогональных функций, зависящему от формы невозмущенного контура, и затем вычислить зависимость от времени коэффициентов этого разложения. Форма поперечного сечения является при этом устойчивой, если коэффициенты всех членов разложения убывают с течением времени. Однородному возмущению, т. е. изменению размера поперечного сечения профиля при сохранении его формы, соответствует первый член разложения. Невозмущенному контуру соответствуют невозмущенная форма мениска, описываемая функцией Zq, удовлетворяющей капиллярному уравнению с граничными условиями, и равновесный угол а . Малому отклонению контура будут соответствовать решение z=Zq- -z , удовлетворяющее линеаризованному относительно малой поправки % двухмерному капиллярному уравнению, и угол Так как все уравнения линейны от- [c.56]

Если условия Z + M>>iV и LM N удовлетворяются лишь С, небольшим запасом, то можно ожидать, что возмуш ения будут затухать очень медленно, хотя стационарный режим и будет устойчивым. Поэтому может оказаться желательным усилить устойчивость с помощью надлежащей системы регулирования. В других случаях некоторые обстоятельства, например, необходимость использовать имеющуюся в наличии аппаратуру, могут заставить нас вести процесс в неустойчивом стационарном режиме и пытаться поддерживать его с помощью автоматического регулятора. Самый простой способ регулирования — это измерять температуру в реакторе и изменять скорость теплоносителя в зависимости от отклонения температуры от стационарного значения. В этом случае и будет зависеть от Т Q скорость теплоотвода не будет больше линейной функцией температуры. Пусть — стационарная температура, которую мы хотим поддерживать, а скорость теплоотвода определяется уравнением (VI 1.37) [c.180]

Точность, вносимая граничными условиями (VI.27), является, однако, обманчивой. Дело в том, что при их выводе предполагается, что диффузионная модель справедлива повсюду, в том числе и для процессов переноса на малых расстояниях. На самом деле, однако, не существует систем, в точности описывающихся уравнением конвективной диффузии (VI. 14) или (VI. 15) с постоянными значениями линейной скорости потока и коэффициента диффузии. В случае турбулентного потока в реакторе без насадки скорость потока почти постоянна по всему сечению аппарата (кроме тонкого слоя близ его стенки), однако коэффициент турбулентной диффузии является переменной величиной, увеличиваясь пропорционально расстоянию от стенки реактора. В ламинарном потоке перенос вещества осуществляется молекулярной диффузией, так что коэффициент диффузии постоянен. Однако основная причина случайного разброса времени пребывания в реакторе — сильное различие локальных скоростей потока на различных расстояниях от стенки аппарата. Наконец, в реакторах с насадкой, отклонение времени пребывания в реакторе от среднего знйчения вызывается образованием турбулентных вихрей в промежутках между твердыми частицами, разбросом локальных скоростей потока за счет неоднородности упаковки слоя и задержкой вещества в застойных зонах. Во всех этих случаях распределение времени пребывания в реакторе делается близким к нормальному, если длина аппарата достаточно велика, и только в этих условиях диффузионная модель становится пригодной для приближенного описания процесса. [c.211]

Следовало бы ожидать, что уравнение (XVI.3.4) будет удовлетворяться, если процесс ионизации будет идти строго параллельно процессу образования активированного комплекса. Так как первый процесс сводится к переносу протона от НА к растворителю, в то время как последний представляет собой частичный перенос протона от НА к реагенту, совершенно неудивительно, что изменение свободной энергии в этих двух процессах может быть связано. Из того факта, что переходное состояние представляет собой только частичный перенос протона и, следовательно, обусловливает только часть общего изменения свободной энергии ионизации, можно заключить, что величина показателя а должна лежать в интервале от О до 1. Однако точного линейного соотношения следовало бы ожидать только в том случае, если бы не было специфических взаимодействий между субстратом и НА или по крайней мере таких взаимодействий, которые отличались бы от взаимодействия между растворителем и НА. На то, что такие взаимодействия все н е существуют, указывают наблюдаемые иногда отклонения от уравнения Бренстеда. [c.485]

Линеаризация нелинейных членов в уравнениях. При методе малых возмущений предполагается, что отклонение от стационарного состояния невелико. Поэтому все нелинейные члены принимаются постоянными или находящимися в линейной зависимости от независимых переменных. При кусочной линеаризации диапазон отклонения разбивается на области, и для каждой из областей записываются линейные формы нелинейных членов при этом предполагается, что указанные формы применимы в пределах данной области. Иногда нелинейные члены разлагаются в ряды различного вида и в пределах рассматриваемой области используются первые члены ряда линеаризация разложением в ряд). [c.106]

Линейная зависимость сохраняется в ряде случаев до давлений в несколько атмосфер. При высоких температурах неточность уравнения (IV, 67) возрастает в связи с резким уменьшением величин Ла и и возрастанием отклонения пара от идеальных законов. [c.150]

Следовательно, в предельно разбавленном растворе величина линейно связана с логарифмом моляльности /П . Предположим, что отклонение от уравнения (XVI,43) для более концентрированных растворов обусловлено только электростатическим взаимодействием ионов при их сближении. Это предположение справедливо только для разбавленных растворов (хотя и более концентрированных, чем предельно разбавленные). Величина Ус в таких растворах не равна единице, и уравнение (XVI, 43) примет вид [c.411]

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости стационарного режима химического процесса, необходимо, таким образом исследовать переходные процессы в реакторе, которые описываются системой нестационарных уравнений материального и теплового баланса. Уравнения эти нелинейны и даже в простейших случаях не могут быть решены аналитически. Задачу, однако, можно существенно упростить, учитывая то, что для анализа устойчивости достаточно исследовать лишь малые отклонения от стационарного состояния. Поэтому нелинейные кинетические функции, входящие в уравнения материального и теплового балансов, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарного режима и, пренебрегая высшими членами разложения, представить их в виде линейных функций отклонения переменных от их стационарных значений. В результате получаем гораздо более простую систему линейных уравнений, правильно описывающую переходные процессы в области, достаточно близкой к стационарному состоянию. Эту линейную систему в ряде случаев удается решить или исследовать аналитически, определив тем самым общие условия устойчивости процесса. [c.324]

Возможно отклонение от линейной зависимости вверх (рис. 3,2, кривая 2) вследствие накопления в топливе гидропероксида и его участия в инициировании цепей. Для этого случая кинетика окисления описывается уравнением [c.59]

Рассмотрим некоторые процессы фильтрования, отклоняющиеся от уравнения (П,5) и его модификаций. Отклонения от этого уравнения выражаются нарушением линейности в координатах q—т1д (с. 125), что не соответствует квадратичному закону фильтрования в виде, например, зависимостей (П,24) или (11,27). [c.75]

Преобразование первоначального профиля скорости в заданный неравномерный может быть достигнуто с помощью не только неоднородных плоских решеток, т. е. плоских решеток переменного по сечению сопротивления, но и пространственных решеток с различной кривизной поверхности. При решении этой задачи предполагается, что малы не только отклонения (возмущения) скоростей от равномерного их распределения по сечению, но и степень неоднородности сопротивления решетки и кривизна ее поверхности, т. е. гидравлические и геометрические характеристики изучаемой решетки мало отличаются от этих характеристик для однородной и плоской решетки. Это допущение позволяет линеаризовать полученные уравнения и основной результат представить в виде линейной связи между характеристиками потока (профилями скорости) до решетки и за ней и характеристиками решетки. [c.121]

Уравнение (IV. 12) объясняет многие кажущиеся отклонения от линейного закона связи активности катализатора с его кислотностью и, очевидно, может быть распространено на другие, не кислотные, катализаторы. При этом функция кислотности заменяется соответствующей характеристикой, например окислительно-восстановительным потенциалом, как это сделано в работе [36 ] для окисного никелевого катализатора. [c.162]

При записи этой системы уравнений достаточно ограничиться уравнениями для ключевых веществ, выразив через последние концентрации всех остальных веществ, входящих в выражения для кинетических функций Гу. Отклонения от стационарных линейных соотношений между концентрациями реагентов, как и в рассмотренном выше случае единственной реакции, не будут влиять на устойчивость процесса. Полное число расчетных уравнений будет, таким образом, равно К где К — число ключевых веществ (которое не превышает числа протекающих реакций). [c.334]

Случайная величина х задана и определяется величинами Ду, 8 , af и лг/. Если же в размерную цепь входит одна группа линейно зависимых звеньев, в которой всего два звена, причем одно только линейно зависимое, то отклонение замыкающего звена (случайная часть) с учетом зависимости (54) определится из уравнения [c.29]

Оптическая плотность согласно уравнению прямо пропорциональна концентрации вещества. Опыт показывает, что зависимость оптической плотности от концентрации часто оказывается не строго линейной. Отклонения от линейности вызываются несколькими причинами, среди которых наиболее существенное значение имеют такие, как нестабильность работы различных узлов спектрофотометра (источника возбуждения и др.), немонохроматичность линий испускания, вызванная сверхтонкой структурой, образование в пламени различных соединений определяемых элементов с кислородом или сопутствующими элементами и т.д. В практике анализа обычно применяют метод градуировочного графика и метод добавок. [c.208]

Выбор для определения условных размеров молекул ионных радиусов элементов при координационном числе 6 [26] связан с тем, что это число представляется наиболее распространенным и может быть принято за среднее для большинства ионов в соединениях. Конечно, нельзя считать, что для всех кристаллических структур характерны эта координация и соответствующие ионные радиусы составляющих элементов. По-видимому, это обстоятельство, а также погрешности в определении величин СЭО являются основными причинами отклонений известных величин Я (/), от линейных зависимостей типа (14) и (или) (16). Характерным примером являются результаты исследований в системах B,Oi— СаО и AI2O3—СаО (рис. 3 а, б), где зависимость (15) записывается уравнениями более сложными, чем уравнения линейной регрессии. Тем не менее выявленная эмпирическая закономерность, которую мы назвали размерным правилом линейной аппроксимации (РПЛА), позволяет корректиро- [c.14]

Отклонения от уравнения Брёнстеда. Уравнение Брёнстеда (и другие уравнения линейности свободных энергий) широко использовалось для качественных оценок степени образования связи в переходном состоянии (параметр Р). Успех применения этого уравнения основан, однако, на предположении, что структурное изменение в реагенте приводит к аналогичному и постоянному изменению взаимодействия заместителя с реакционным центром при протекании реакции от минимума в начальной стадии (Р = 0) к максимуму в последней стадии (р=1). Согласно этой гипотезе, величина р не проходит через экстремум вне этих граничных значений, но, как и следовало ожидать (см. рис. 5-9), при использовании достаточно широкого набора, оснований [44] существует определенная кривизна зависимости от р/Сд- [c.190]

Константы решетки, рассчитанные на основе рефлексов в рептгенодифракто-граммах гидратированных образцов, приведены в таблице. Как и следовало ожидать, константа решетки с уменьшением содержания А1 в решетке уменьшается, однако эта зависимость не линейна. Уравнение линейной зависимости Брека и Флениген [2 ] правильно описывает взаимосвязь между содержанием А1 в цеолите и константой решетки только в случаях, когда имеется больше 12 атомов А1 на 1 ЭЯ. Для наших образцов полностью деалюминированного цеолита самое меньшее значение константы решетки равно 2.425 с учетом стандартного отклонения 0.001 нм. Отклонение от уравнения Брека, выведенного для гидратированного фожазита, может быть связано с тем, что высокодеалюминирован-Еые образцы практически не адсорбируют воды, следовательно, известное явление уменьшения значения константы решетки при гидратировании цеолита для таких образцов не имеет места. [c.25]

Используем для получения закона распределения AVJUj. свойства полюсного направленного графа системы, включающего рассматриваемые переменные, связи между ними и дающего возможность легко составить систему линейных алгебраических уравнений, связывающих отклонения параметров элементов с отклонением выходной величины. Вершинами графа являются элементы системы, ребрами — связи между ними. [c.230]

Уравнения для удерживаемого объема или времени удерживания при учете нелинейности изотермы адсорбции были получены во многих работах. Наиболее общее уравнение, учитывающее отклонение изотермы адсорбции адсорбата от линейной из-за межмолекулярного взаимодействия как адсорбат — адсорбат, так и адсорбат — газ-носитель, было получено Валентеном и Гиошоном [123]. Однако при выводе этого уравнения газовая фаза рассматривалась как идеальная. [c.43]

Для более конкретной характеристики рассматриваемого критерия, в табл. 1 приведены значения и / восьми изомерных алкилзамещенных бензолов С9Н12 с целью сопоставления реального и предсказанного по значениям порядков их элюирования, которые полностью совпадают. Для двух пар изомеров (отмечены) величины I в пределах их стандартных отклонений перекрьшаются, но даже и в этих случаях незначительные (-0.5 К) различия в температурах кипения однозначно определяют последовательность параметров удерживания. Такой вывод можно подтвердить соответствующим уравнением линейной регрессии вида (1), имеющим вид I = (4.07 0.09)7 к + (293.8 15.1) при р = 0.998 и 5о = 1.7, т.е. средняя ошибка аппроксимации составляет всего 1-2 ед. [c.94]

Уравнение (11.63) было качествелшо подтверждено в работах С. В. Карпачева с сотр. по нулевым точкам расплавленных металлов в расплавах хлоридов щелочных металлов. Фрумкин, однако, неоднократно подчеркивал прибли кенный характер уравиения (11.63) и высказал ряд соображений о возможных причинах отклонения от постулируемой линейной зависимости между нулевыми [c.255]

В программе для решения системы линейных уравнений используется стандартная процедура GORDAN (стр. 253). В процессе формирования нормальной системы вида (11—40) разбиение исходной системы на группы производится автоматически. Выходными данными являются В — вектор решения, Р — вектор отклонений экспериментальных и расчетных значений. [c.319]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]