Линейные системы н линеаризация

Структурные схемы нелинейных систем, содержащих нелинейное звено с одной переменной входной величиной, обычно приводятся к какому-либо из двух вариантов одноконтурных систем, показанных на рис. 6.15. Несколько нелинейных звеньев, каждое из которых имеет одну переменную входную величину, можно предварительно объединить в одно нелинейное звено, после чего получить одноконтурную структурную схему. При преобразовании структурных схем следует учитывать, что гармонические коэффициенты линеаризации зависят от амплитуды входного сигнала, поэтому перенос звеньев и узлов нельзя осуществлять так же, как в случае линейной системы. Дополнительные трудности в преобразовании структ) рных схем возникают, когда в нелиней- [c.193]

Система дифференциальных уравнений (3.128) решается численно с использованием метода локальной линеаризации [140] по процедуре, предложенной в работе [21]. Очевидно, что на каждом шаге линеаризации движение происходит не по траектории наискорейшего спуска, а по близкой к ней траектории. Поэтому при решении линейной системы дифференциальных уравнений можно следить не за аппроксимацией правой части исходного уравнения дифференциального спуска, а лишь за убыванием функционала. [c.87]

Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим аналитическим решением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом характеристический определитель равен (4 4-4т), где ш — число ходов по трубному пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован, поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений аппроксимацией изображения координат в комплексной плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически ввиду ее высокой размерности. [c.81]

Линеаризация математического описания системы разделения требует дифференциации стандартных и нестандартных уравнений, описывающих эту систему, с целью формирования матрицы частных производных / х), и последующего решения полученной линейной системы уравнений. [c.253]

Линейная система устойчива, если действительная часть всех ее собственных значений отрицательна. Такое определение неверно для линейных систем, где возможных форм решения бесконечно много тем не менее линеаризация может служить звеном между линейными и нелинейными системами, если она применяется с должным пониманием ограничений. Этот вопрос мы будем рассматривать в основном в гл. IV. [c.71]

При анализе систем нелинейных дифференциальных уравнений используется техника квазилинеаризации [3], базирующаяся на линеаризации правой части системы (3.78) по зависимым переменным и замене однократного решения исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений многократным решением модифицированных систем линейных дифференциальных уравнений. [c.211]

Методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, использующие идею локальной линеаризации, имеют два аспекта 1) локальная линеаризация, т.е. способ приближения нелинейной систе мы ОДУ на шаге интегрирования линейной, и оценка величины возникающей при этом ошибки 2) выбор способа решения линейной системы. [c.142]

Далее фиксируется это частичное решение и тем самым выделяется подсистема (10.11)-(10.12), которая сводится к линейной системе уравнений с помощью линеаризации (см. р зд. 10.4) замыкающих соотношений (10.3) это позволяет заменить Г (1) соответствующим линейным выражением через (0). [c.143]

Применяя метод, основанный на линеаризации, мы для описания перехода из одного состояния в другое не используем дифференциальное уравнение (2) разд. 27. Вместо этого пользуемся линеаризованным вариантом уравнения (2) разд. 27 в интегральной форме, а именно уравнением (2) разд. 28. В частности, подобный переход описывает уравнение (5) настоящего раздела. В результате такой линеаризации решение однородной части линеаризованного уравнения (2) разд. 27, а именно величины 6,, оказывается полностью не зависимым от г/ , соответствующих управляющим воздействиям. Именно по этой причине в случае линейной системы состояние системы может быть описано при помощи к фазовых переменных вместо N фазовых переменных. Как следует из равенства (6) разд. 28, при определении 6, используется начальное условие Х1 0) = с,. При решении уравнений, описывающих процесс, приходится иметь дело с двумя интегральными членами. Первый интегральный член представляет собой функцию управляющих воздействий, а именно [c.248]

Метод, предложенный Кальманом, заключается в линеаризации системы нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности равновесной точки и последующем решении линейной системы уравнений. Для квадратичного критерия при использовании принципа оптимальности выведена система рекуррентных формул. Уравнения получены для конечного числа стадий времени в предположении, что вектор управления поддерживается постоянным между стадиями, но может изменяться на каждой стадии времени. При неограниченном увеличении числа стадий М—> со) величины, входящие в рекуррентные формулы, [c.356]

В данной работе проведен расчет и анализ равновесия в системах Si—О—С1 и El—О—С1 в условиях осаждения стекол световодов. Исходные термодинамические данные заимствованы из справочников [6—8]. Расчет в системе В—О—С проводили на ЭЦВМ по программе, составленной на основе одного из методов линейной алгебры линеаризации уравнений, описывающих равновесие через константы равновесия реакций, связывающих компоненты [9]. [c.91]

Линейные системы и линеаризация [c.78]

При этом иногда одновременно проводят и линеаризацию, ню приводит к системе линейных алгебраических уравнений. [c.170]

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

Другой подход к решению задачи минимизации заключается в линеаризации правой части разностного уравнения (3.165) с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы в этом случае имеет вид 0 — 0 = А + [c.220]

Таким образом, интегрирование системы дифференциальных уравнений в соответствии с формулой (5-48) сводится к решению линейных алгебраических уравнений. Для решения систем алгебраических уравнений используется итерационный метод, описание которого приведено на с. 301. Заметим, что метод позволяет решать как линейные, так и нелинейные системы. Поэтому для решения систем линейных дифференциальных уравнений можно применить формулу (5-45) без линеаризации (5-42). [c.336]

Приведенная система уравнении с учетом одного или нескольких размывающих эффектов исследовалась многими авторами [24, 25], но аналитические решения удалось получить только для граничных задач при линейной изотерме адсорбции. Как отмечается в [24], теория динамики адсорбции одного вещества в случае линейных изотерм с учетом известных размывающих эффектов в основном завершена. К сожалению, линейные модели динамики адсорбции не адекватно отражают реальные процессы. Так, например, даже типичное для реальных изотерм установление режима параллельного переноса при линеаризации исчезает. [c.60]

При двухуровневых параллельных методах все переменные также считаются итерируемыми, при этом на /г-том шаге итерации проводится линеаризация моделей (II, 1),для чего используется их специальный вид. После этого система уравнений (II, 1), (II, 3) становится линейной и ее решают одним из известных методов. В результате решения мы получаем новую точку, в которой опять проводится линеаризация моделей и т. д. Часто эти методы оказываются весьма эффективными. Однако они не универсальны, поскольку обычно в них используют специальный вид моделей блоков (II, 1). [c.27]

Таким образом, задача устойчивости системы с распределенными параметрами сведена к уже знакомой нам обсуждавшейся в гл. III задаче с линейными постоянными коэффициентами. Однако заметим, что это только изучение устойчивости в малом (следствие линеаризации). При интегрировании необходимых для расчета уравнений [c.162]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

Прн исследовании нелинейных систем обычно рассматривается тот же круг задач, что при исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится аналн условий существования и устойчивости автоколебаний. Очевидно, что в зависимости от вида задачи и свойств исследуемой системы может оказаться целесообразным применение различных методов. Так, задачи устойчивости нелинейных систем решаются прямым методом Ляпунова, частотным методом В. М. Попова, методом фазовых траекторий и точечных преобразований, методом гармонической линеаризации. Последние два метода широко используют также при определении параметров автоколебаний. С их помощью можно рассчитать переходные процессы в системах. [c.174]

При решении обратной кинетической задачи использовался метод поиска экстремума, основанный на линейной аппроксимации системы уравнений градиентного спуска, развитый в работе [21]. Для расчета производных по параметрам с использованием метода локальной линеаризации решалась расширенная система уравнений химической кинетики (5.64), (5.66). [c.168]

В системах регулирования в большинстве случаев нет линейной зависимости выходной величины каждого звена от входной. Однако для упрощения решения систем дифференциальных уравнений и их анализа производят линеаризацию уравнений звеньев. Для этого разлагают уравнение движения звена в ряд Тейлора и ограничиваются двумя первыми членами разложения. В тех случаях, когда требуется большая точность расчетов или когда система находится на границе устойчивости, число членов разложения увеличивают. Линеаризованные уравнения достаточно точно описывают поведение системы. Если функции, описывающие движение звеньев, не могут быть разложены в ряд Тейлора, то система регулирования называется нелинейной и способ ее решения будет в каждом отдельном случае различный. [c.282]

Оценка точности воспроизведения нелинейных зависимостей ограниченным числом членов ряда Тейлора. Сосредоточенная математическая модель поверхностного конденсатора и технологического комплекса была получена линеаризацией системы уравнений в предположении возможности представления приращения нелинейных функций линейной формой ряда Тейлора. Используемый прием является общепризнанным в практике математического моделирования объектов управления, когда колебания режимных параметров не превышают 10 % отклонения от их номинальных значений. В то же время линеаризованные функциональные связи между параметрами Q< >, [c.181]

В основе метода гармонической линеаризации лежит предположение о действии на входе в нелинейное звено гармонического сигнала. На выходе нелинейного звена сигнал, кроме первой гармоники, содержит спектр гармонических составляющих с более высокими частотами. При замкнутом контуре системы эти высшие гармоники не будут существенно искажать гармонический сигнал на входе в нелинейное звено только в том случае, если они, проходя через линейные звенья, включенные в системе до или после нелинейного звена, значительно уменьшаются по амплитуде, т. е. фильтруются. Выполнение этого условия, называемого гипотезой фильтра, является обязательным, если при исследовании системы методом гармонической линеаризации не проводится уточнение получаемых результатов с учетом высших гармоник. Линейная часть системы удовлетворяет гипотезе фильтра, если [c.194]

После линеаризации приведенной системы уравнений (2) и преобразования их по Лапласу по переменной 1 получим следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с комплексными переменными [c.141]

Задача о линейной устойчивости несжимаемой невязкой жидкости в форме бесконечно длинного щминдра кругового сечения, окруженного воздухом, была впервые рассмотрена Релеем [22]. Эта и последующие за ней работы [23, 24] по гидродинамической устойчивости включают четыре этапа. Первый состоит в определении параметров основного невозмущенного течения полей скоростей, давлений, температур. Следующим этапом является предположение о малости возмущений этих параметров и линеаризация уравнений и граничных условий. В итоге получается однородная линейная система уравнений в частных производных, коэффициенты которой могут зависеть от пространственных координат, но не зависят от времени. Третий этап состоит в определении элементарного решения для выбранного начального возмущения. Обычно решение ищется в виде комплексного Фурье-представления периодических функций. Например, элементарное репгение можно искать в виде нормальной моды [c.448]

Определение всех компонент вектора расходов, требующее численного решения системы нелинейных уравнений, связано в принципе с бесконечным итерационным процессом, и потому речь может идти лишь о том или ином приближении к истинному решению. В то же время для линейных систем может быть получено практически точное решение и за конечное число шагов. Отсюда, а также из других известных преимуществ линейных систем становится понятной важная роль, во-первых, выбора начального приближения, во-вторых, линеаризации самой г.ц. [c.82]

Из-за нелинейности г.ц. их системы уравнений не обладают аддитивными свойствами, в силу которых для линейных систем можно, приравнивая расходы на отдельных ветвях нулю, получать частные решения, а общее решение представлять как их сумму. Однако некоторые возможности для упрощения схем здесь имеются, и они должны использоваться при описании и расчете гидравлических систем на ЭВМ. В данном разделе рассматриваются два вида преобразования схем цепей 1) точные линейные преобразования, которые не затрагивают нелинейной связи между расходом и потерей давления 2) приближенные преобразования, основанные на использовании метода линеаризации г д., описанного выше. [c.86]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

Разрабо тан принципиально новый одноконтурный метод расчета сложных ректификационных систем с закрепленными отборами продуктов раздел( ния. Разлагая в ряд Тейлора значения энтальпий //у и /Гу в окрестности 1] и офаничиваясь при этом линейными членами, осуществляется переход от 2п независимых переменных (7), ) к п независимым переменным TJ ) к линеаризация системы уравнений общего материального и теплового балансов. Температуры на тарелках 7 определяются по уравнениям изотерм паровой или жидкой фаз, соотно шени 1 гготоков и сами потоки определяются решением системы линейных уравнений общего материального и теплового балансов. [c.98]

Изло/кеппый метод оценки обусловленности системы предполагает линейность либо возможность легкой линеаризации модели. Если же линеаризация приводит к большим ошибкам, то предпочтительнее для оценки параметров использовать поисковые методы минимизации функции нескольких переменных. При этом в процессе поиска получается обширная информация о поверхности критерия оценки, которую можно использовать для непосредственного вычисления матриц корреляции параметров. Так, в работе [12] предлагается поисковый метод, основанный на вычислении коэффициентов регрессии оцениваемых параметров. Покажем, как можно использовать матрицу коэффициентов регрессии для нахождения корреляционной и ковариационной матриц. Из матрицы коэффициентов регрессии образуем матрицу вида [c.448]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

В качестве одной из возможных конструкций фильтра для данной системы может служить модификация линейного фильтра, рассмотренного выше. Смысл модификации состоит в том, чтобы линеаризовать нелинейные функции л g . ж затем вместо матриц А (А ) и С к) в соотношения линейного фильтра подставлять линейные члены разложений соответствующих рядов Тейлора в окрестности решения задачи оценки. Эту линеаризацию можно выполнить двояко либо относительно номинальной траектории системы, либо от шага к шагу относительно текущих оценок, начиная с априорных оценок, т. е. выполняя непрерывную релинеаризацию. [c.455]

Рассмотрим вопрос о возможности линеаризации реальной физической системы мембрана — шток — пружина при условии, что шток испытывает известное сопротивление движению со стороны окружающего его газа и со стороны сальника. Вопрос о линеаризации такой системы в случае отсутствия трения не вызывает никаких трудностей, ибо при малых отклонениях упругая сила пружины (как это следует из закона Гука) пропорциональна отклонению. Массу же тела в широких пределах можно считать не зависящей от скорости. В случае наличия трения необходимо выяснить, можно ли силу трения линеаризовать, т. е. рассматривать ее как линейную функцию скорости хотя бы в области очень небольших скоростей. В работах [30, 31] получены зависимости сил вязкого и сухого трений от скорости перемещения штока ПМИМ (рис. 3.61). В первом случае/ тр существенно зависит от скорости и при уменьшении последней снижается и может быть как угодно малой. Во втором случао (т. о. в случае сухого трения) наоборот, сила с.тр мало зависит от скорости. Отметим, что сила трения [c.277]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Оптимальное периодическое управление можно попытаться определить на основе прямого расчета исходного математического описания, основываясь на интуитивных соображениях и хорошо понимая особенности исследуемой системы. Так было сделано, на-пржмер, в работах [И, 12]. При эффективных циклических режимах, близких к оптимальным, достаточно часто линейная составляющая математической модели имеет решающий вклад. Такое преобладание линейной части перед нелинейными составляющими модели, решенпе которой представляется в виде соответствующей суммы, может являться достаточным качественным условием применяемости метода гармонической линеаризации для оценки основных среднепнтегральных характеристик оптимального управления [13]. [c.133]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

В общем случае дис[)ференциальные, интегральные и алгебраические уравнения, описывающие процессы в системах автоматического регулирования и управления, являются нелинейными. Однако если ограничиваться рассмотрением малых отклонений переменных величин относительно значений, соответствующих установибшемуся состоянию системы, то открывается возможность линеаризации нелинейных уравнений с последующей заменой их приближенными линейными уравнениями. При этом нели- [c.24]

Из приближенных методов наиболее широко используется метод гармонической лннеар>1зацни, который близок к методу гармонического балажа Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам к методу малого параметра Б. В. Булгакова. В методе гармонической линеаризации по сути дела распространены частотные методы исследования линейных систем на нелинейные системы. [c.174]

Метод Ньютона — универсальная основа для разработки алгоритмов гидравлического расчета. Присущая ему линеаризация системы уравнений на каждом шаге вычиашгельного процесса позволяет эффективно использовать особенности топологической структуры расчетной схемы цепи и многократно обращаться к линейным преобразованиям к контурным или узловым величинам. Это резко снижает размерность системы уравнений, которую фактически надо решать, и дает возможность для компактного представления к обработки исходной к промежуточной информации путем сетевой интерпретации вычислительных и логических операций. Кроме того, линеаризация позволяет использовать богатейший опыт алгоритмизации расчетов линейных электрических цепей. [c.105]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология