Моменты функции плотности распределения вероятности см Функция плотности распределения вероятности

Для описания свойств электрона используют волновую функцию, которую обозначают буквой (пси). Квадрат ее модуля вычисленный для определенного момента времени и определенной точки пространства, пропорционален вероятности обнаружить частицу в этой точке в указанное время. Величину 1)з называют плотностью вероятности. Наглядное представление о распределении электронной плотности атома дает функция радиального распределения. Такая функция служит мерой вероятности нахождения электрона в сферическом слое между расстояниями г и (л + с1г) от ядра. Объем, лежащий между двумя сферами, имеющими радиусы г и (г + йг), равен 4пг с1г, а вероятность нахождения электрона в этом элементарном объеме может быть представлена графически в виде зависимостей функции радиального распределения. На рис. 1.2 представлена функция вероятности для основного энергетического состояния электрона в атоме водорода. Плотность вероятности гр достигает максимального значения на некотором конечном расстоянии от ядра. При этом наиболее вероятное значение г для электрона атома водорода равно радиусу орбиты ао, соответствующей основному состоянию электрона в модели Бора. Различная плотность вероятности дает представление об электроне, как бы размазанном вокруг ядра в виде так называемого [c.13]

При обработке результатов измерений пульсирующих параметров и для установления закономерностей поведения последних, естественно, приходится применять статистические методы и характеристики. Весьма подробная статистическая характеристика — это функция распределения вероятностей различных значений данного параметра, например, локальной плотности (р). Менее полными, но зачастую достаточными для практики являются первые моменты функции распределения среднее значение параметра, среднее квадратичное отклонение от среднего и т. д. Часто используют и среднее абсолютное отклонение от среднего значения. [c.85]

Центральные моменты характеризуют разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Естественно, что первый центральный момент равен нулю. Второй центральный момент называется дисперсией. Третий момент характеризует асимметрию распределения. Целесообразно ввести характеристическую функцию р (s), определяемую как преобразование Лапласа от плотности вероятностей р (t). Как известно, преобразование Лапласа определяется соотношением [c.91]

Объяснить значение фундаментальных статистических терминов дискретная и непрерывная случайная величина, генеральная совокупность, плотность вероятности, функция распределения случайной величины, моменты функции распределения, среднее, дисперсия, объем выборки, выборочное распределение, выборочные параметры. [c.416]

Моменты функции РВП и моменты весовой функции. Экспериментальную функцию распределения оценивают вероятностными числовыми параметрами, которые делятся на два типа характеристики положения и характеристики формы кривой распределения. К первым относятся такие числовые параметры, как математическое ожидание распределения, мода распределения, плотность вероятности моды, медиана. В качестве характеристик формы обычно служат центральные моменты распределения порядка выше первого второй момент (дисперсия), третий момент, четвертый и т. д. В табл. 4.1 приведены формулы для определения наиболее часто используемых моментов по экспериментальным функциям отклика на типовые возмущения по концентрации индикатора (здесь — объем реактора У — объем введенного индикатора). [c.214]

Порядком момента является п = к- - г. Момент нулевого порядка является единичным (нормированная функция плотности распределения вероятности) моменты первого порядка есть средние значения х и у, моменты второго порядка являются средними значениями квадратов х и у- и средними значениями произведения ху. [c.467]

Анализ экспериментальных данных по изменению концентрации индикатора во времени предполагает два этапа. Первоначально необходимо рассчитать основные центральные моменты функции распределения, затем определить значения плотности вероятности или интегрального распределения частиц потока по времени их пребывания в аппарате. [c.626]

Между плотностью распределения вероятности расположения частицы / х) по высоте х (в определенный момент времени т) и функцией распределения концентрации С (х) по высоте х слоя суспензии единичной площади существует связь С (х)/Л о = / (х), где Ыо — число частиц в выделенном столбе суспензии в момент [c.144]

Как было показано выше, можно использовать различные модели, статистически эквивалентные данному шуму (т.е. пока не касаться моментов второго порядка). Особенно часто применяются две статистические модели. Первая из них — эго случайный процесс, выборочные функции которого x t) являются случайными суперпозициями независимых сигналов синусоидальной формы Л os (со/+ 0), где фаза 0 — независимая случайная переменная, равномерно распределенная в интервале от О до 2я, а (О — случайная переменная, имеющая (нормированную) плотность распределения вероятности р(аз), причем р (й)=р —о). Данный процесс является стационарным вследствие отсутствия корреляции между различными угловыми частотами со он нмеет и автокорреляцию [c.472]

Из (23) можно получить условную вероятность р( , т о, 0) обнаружить частицу в момент т в точке с координатой , если в момент т = О она находилась на о. Это решение, полученное в [24] в преобразованном по Лапласу виде, содержит полную информацию о случайном движении частицы. По нему можно построить функцию автокорреляции, спектральную плотность распределения мощности колебаний по частотам, вероятность найти частицу в заданной области слоя в течение определенного времени, распределение вероятностей времени первого достижения границы и др. Например, автокорреляционная функция Д(т) выражается через условную вероятность так ь ь [c.55]

Второй вышеупомянутой статистической моделью является случайный процесс x t), содержащий в себе случайную последовательность импульсов равной площади q и одинаковой формы, описываемой временной функцией h t) (нормированной к единице площади), и имеющий пуассоновское распределение во времени. Это означает, что вероятность попадания начальной точки одного импульса в интервал (/, tdt) составляет X t)dt, где плотность распределения вероятностей X t)—конечная величина, а вероятность попадания в интервал более чем одной точки есть величина более высокого порядка dt. Эти вероятности не зависят от того, что происходит за пределами интервала t, t + dt). Число 7i t)dt есть среднее число (т.е. среднее по множеству) точек в (t,t + dt) Я(/) —средняя скорость повторения импульсов в момент времени t. Можно показать [3], что среднее значение процесса задается интегралом [c.473]

Аналогичный смысл эффективных величин имеют и определяемые электронографическим методом среднеквадратичные амплитуды колебаний пар ядер (второй момент функции плотности вероятности распределения данного межъядерного расстояния) Следует только добавить, что поскольку существует несколько определений межъядерного расстояния Ге, rg, г ), то и амплитуда колебаний, являющаяся характеристикой смещения межъядерного расстояния, также может иметь несколько определений в зависимости от того, от какого межъядерного расстояния ведется отсчет смещения (4, 1а). [c.232]

Дл в ячейку Дл, а вторая — убыль плотности вероятности, связанную с переходами из Ал в Ал. В обеих частях уравнения временной аргумент функции р (л, г) имеет одинаковое значение. Это означает, что р (л, г + Аг) в момент времени г + Дг(Дг- время, много большее времени одного перехода) определяется распределением вероятностей р (л, Г) в момент времени Г и не зависит от значений р (л, г ) при t < г. Такая эволюция системы называется марковской. В отличие от уравнения Лиувилля уравнение (2.10) [c.39]

Если р (х, г) — функция плотности распределения частиц по времени пребывания, означающая вероятность пребывания частицы в слое к моменту времени х. а т — среднее время пребывания, определяемое как отношение массы слоя к расходу твердой фазы, то усредненные по объему слоя характеристики материала (влажность и энтальпия) могут быть выражены интегральными зависимостями вида [c.249]

Итак, волновая функция г з(л , у, г, 1) в каждый момент времени ( определяет, в частности, распределение вероятности местоположений микрочастицы при ее проявлении как целого. Это распределение вероятности иногда называют облаком вероятности или электронным облаком. Условные изображения электронных облаков весьма распространены и очень полезны, в частности, при анализе возможных химических взаимодействий. Распределение плотности в электронном облаке определяет распределение плотности вероятности воз.можных локализаций электрона как целого в различных точках пространства. [c.12]

Коррелятор В отличие от момента обладает следующим свойством. он равен нулю, если случайные величины , распадаются хотя бы на две группы независимых случайных величин. В самом деле, если случайные величины , статистически независимы от 1 < < /га — 1, то ПЛОТНОСТЬ распределения вероятностей, а следовательно, и характеристическая функция распадаются на произведение двух функций [c.13]

Очевидно, что для определения вероятности Pai необходимо знать закон распределения результата измерения параметра в момент времени Закон распределения ( з) можно определить как сечение случайной функции (2-26) при t = с учетом (2-25). На рис. 2-3 изображена кривая III плотности распределения результата измерения параметра процесса t ). [c.72]

Из курса теории вероятности известно, что функция распределения, так же как и плотность распределения, являются исчерпывающими характеристиками случайной величины. Однако во многих случаях достаточно полными характеристиками случайных величин оказываются моменты распределений [c.280]

Взаимосвязь случайных величин в различные моменты времени и 2 устанавливается функцией распределения второго порядка (х , <1 х , а) и плотностью вероятности второго порядка [c.63]

Из теории вероятностей известно, что выражение (4.2) соответствует нулевому моменту функции С (0) — плотности распределения относительного времени 0 пребывания частиц в потоке. [c.125]

Отметим некоторые из полученных таким образом результатов. Химическая реакция деформирует первоначально нормальное распределение. В качестве одной из характеристик отклонения распределения от нормального можно рассматривать третий момент функции или коэффициент асимметрии. Наибольшие отклонения от гауссовского распределения на начальном участке времени наблюдаются в случае о о > О- Очень большая отрицательная асимметрия в этом случае соответствует функции плотности вероятности, близкой к дельта-функции с выеденным высокоэнергетическим хвостом. Взаимодействие температуры и концентрации, обусловленное в нашем случае как тепловым эффектом реакции, так и зависимостью скорости реакции от температуры, приводит к резкому падению дисперсии температуры на начальном участке. Это связано с тем, что большие начальные температуры соответствуют большему наклону в кривой и наоборот, что приводит к уменьшению разброса температуры, т. е. ее дисперсии. Поэтому конверсия реагента одинакова [c.202]

Наиболее полное соответствие теоретических и экспериментальных функций распределения достигается при сравнении начальных моментов второго порядка, дисперсии, моды и плотности вероятности моды. Использование моментов третьего и высших порядков нецелесообразно, так как эти моменты сильно зависят от хвостовой части кривых распределения, соответствующей безразмерному времени 0 > 2, и поэтому точность определения их становится невелика. [c.141]

Под влиянием каждой отдельной флуктуации, вызванной изменением условий взаимодействия отдельных частиц со средой, происходит малое отклонение скорости роста от ее среднего значения. Если мы не хотим входить в детали динамики взаимодействия системы многих частиц со средой (раствором), то единственное утверждение, которое можно высказать относительно флуктуаций, заключается в том, что они весьма многочисленны и чрезвычайно нерегулярны по своей величине. Это утверждение дает нам необходимую основу для применения закона больших чисел и теории вероятностей в описании процесса. Мы не можем считать величину т . (г) заданной функцией времени, однако можем сделать разумные предположения о влиянии флуктуации при усреднении по большому числу Одинаковых частиц (то есть по их ансамблю). Аналогично мы не можем предсказать скорость роста или объем кристалла в каждый момент времени т, но можем предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Следовательно, весь подход к решению уравнения (3.1) должен отличаться от традиционной детерминированной задачи роста частицы [3]. Уравнение (3.1) является типичным представителем класса так называемых стохастических (или случайных) уравнений и относится к теории стохастических процессов. Поэтому остановимся на некоторых общих идеях и методах теории стохастических процессов, которые позволяют свести решение (3.1) к решению параболического дифференциального уравнения (1.82 ) для плотности распределения кристаллов по размерам /(и, г). [c.139]

Для характеристики частиц, находящихся внутри системы, вводится понятие возраста частицы Ь, который исчисляется отрезком времени, прошедшим с момента входа частицы в аппарат. Аналогично функции распределения времени пребывания функцию распределения элементов системы по возрастам В I) определяют как долю частиц системы, возраст которых г на данный момент времени Ь меньше 1. Функция плотности распределения частиц по возрастам Ъ 1) определяется равенством Ъ 1) — д,В 1)181, так что Ь t) 8,1 можно рассматривать как вероятность того, что выбранная наудачу частица внутри системы пребывает в аппарате в течение времени I и 1- -8Ь. Функция Ъ Ь) называетсяенутрен-ней функцией распределения частиц потока но возрастам и ее принято обозначать I ). [c.205]

Данное описание является достаточно полным, однако только в некоторых случаях его можно получить на выходе известных систем, таких, как усилители, фильтры и т. д., если известно вероятностное описание на входе. Более того, оно не дает непосредственной характеристики временных изменений обрабатываемого сигнала. Можно получить описание, которое является менее полным, но нмеет большое практическое применение с упомянутой выше точки зрения. Такое статистическое описание основывается на наборе средних значений функций случайных переменных среднем, среднем квадрате и дис-иерсии одной переменной х, усредненном пропзведенни и ковариации двух переменных х и у. Существуют несколько моментов и центральных моментов функции плотности маргинального и совместного распределения вероятности. [c.467]

Здесь P Q)— функция плотности вероятности пульсаций величины ( в момент времени Р — гауссовское распределение с параметрами Tl(Q) и Вт] индекс t характеризует момент времени, в который мы находим Р Q), Суммирование производится по отрезкам А , на которых функция Го Q) монотонна. [c.202]

Неудивительно, что в последние годы появилось значительное количество работ, посвященных этой проблеме (их обзор можно найти, например, в книге [10]), в которых делаются попытки учесть случайный характер изменения таких величин, как температура, при которой происходит процесс химического превращения, скорость потока газа в реакторе и т. п. Детальный анализ предлагаемых в этих работах моделей [10] показал, что ни так называемые газодинами- ческие, ни молекулярно-кинетические модели не позволяют обойтись без привлечения каких-либо дополнительных физических гипотез, необходимых для замыкания получающихся бесконечных зацепляющихся уравнений для моментов случайных полей либо для функций плотности распределения вероятностей. Использование таких моделей служит исключительно практическим целям инженерного анализа, хотя и позволяет в ряде случаев приблизиться к пониманию тех физических явлений, которые определяют деталь ную структуру физико-химических процессов в турбулентной неизотермической среде. [c.204]

Проблема замкнутого описания случайных процессов, происхо дящих в реагирующей турбулентной среде, по-видимому, может быть решена без привлечения дополнительных гипотез, лишь в рамках функционального метода, примененного первоначально к задачам статистической гидрОхмеханики, а позднее использованного для описания химических реакций в турбулентных потоках. Суть функционального подхода заключается в описании исследуемого случайного поля (поля скорости потока, температуры, концентраций реагентов) единственным математическим объектом — его характеристическим функционалом, содеря ащим полную информацию о статистическом поведении случайного ноля и позволяющим определять его любые статистические характеристики. При изучении нескольких статистически связанных полей их полное описание задает совместный характеристический функционал, через который могут быть записаны все их совместные моменты и функции плотности распределения вероятности. [c.204]

ЭТИМИ двумя моментами можно выбрать произвольно. Стоит отметить, что это может оказаться полезным даже в случае представления выборочной функции х 1) как произведения фактора интенсивности А и нор мированной функции /(/). Однако в данном случае Щ) есть случайная функция, и поэтому знание только одной функции плотности распределения вероятности р А) ие дает полного вероятностного описания процесса. Так, например, в случае флуктуации интенсивности излучения лазера возникающую вследствие этого флуктуацию флуоресценции можно выделить путем регистрации интенсивности каждой вспышки лазера и иеренормированием измерений к интенсивности каждой вспышки. Даже при постоянной интенсивности излучения лазера для классификации импульса флуоресценции на основе нара.мегра л может но 1 ребоваться, наиример, площадь имиульса, чтобы выделить различные сигналы флуоресценции и т. д. [c.455]

Следует отметить, что две статистически независимые переменные являются некоррелированными [уравнение (24)], но обратное утверждение не всегда верно. Если для получения единственного статистического описания достаточно знать функции плотности распределения вероятности, то обратное утверждение не является справедливым. Фактически при статистическом описании принимаются во внимание только самые главные моменты функции плотности распределения вероятности вплоть до второго порядка. Поскольку рассматриваются именно эти моменты, то различные случайные переменные могут быть эквивалентными и, слидовательно, для описания определенного физического процесса, для которого известны данные, необходимые для статистического описания, можно использовать различные статистические модели. [c.468]

Основная идея метода, предложенного Иевлевым [1970], состоит в атециальном задании функционального вида выражений для условно осредненных моментов, которые входят в уравнение для любой -точечной плотности вероятностей п > 2). Количество неизвестных функций в этих приближенных выражениях совпадает с количеством уаювий, следующих из всех предельных свойств -точечных плотностей распределений вероятностей (таким условием, например, является стремление к нулю семиинвариантов при неограниченном раздвижении рассматриваемых точек и т.д.). Метод замыкания Иевлева использовался Алексеевым, Иевлевым и Киселевым [1976], Киселевым [1977] при ана шзе вырождения однородной турбулентности в модели Бюргерса, а также в задаче об однородной и изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости. В работе Куо и О Брайена [1981] метод Иевлева применялся для описания двухточечной плотности вероятностей концентраций в химической турбулентности (т.е. стохастического колебания концентраций в неподвижной реагирующей среде). [c.67]

В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Как ив 1.3, ддя обозначения этой концентрации используется буква г. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Третья цель -изучить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концентрации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимосвязь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей. [c.70]

Таким образом, величины пзл1еряемые на опыте, имеют физический смысл среднего значения межъядерного расстояния прп колебаниях п вращении — первого момента функции плотности вероятности распределения даиного межъядерного расстояния с учетом всех колебательных и вращательных уровней, возбужденных в условиях эксперимента. [c.231]

Функция ры представляет собой многочастичную плотность вероятности, т. е. pN AA йA2 . .. -дЛлг есть вероятность того, что в заданный момент времени первая частица находится в физически бесконечно малом объеме йА, вторая —в с1Л2 и так далее. Эту функцию называют Л -частичной функцией распределения. Она определяет коллектив частиц в целом. С помощью УУ-частичной функции можно осуществить полное статистико-вероятностное описание коллектива, состоящего из N частиц. [c.14]

Рассмотрим, какие изменения будет претерпевать рой изображающих точек ансамбля размешивающихся систем при движении в энергетическом слое. Пусть начальное состояние ансамбля неравновесное. Все точки в начальный момент времени < = О находятся в некоторой области О энергетического слоя (рис. 10). С таким неравновесным состоянием связываем исходную плотность распределения вероятностей р(р, д, I = 0), которая отлична от нуля только в области О. Объем области, в которой функция р отлична от нуля, остается, согласно теореме Лиувилля, одним и тем же. Однако форма области существенно меняется. Первоначальная область растягивается в очень тонкую и длинную нить, которая все более и более вьется по всему рассматриваемому энергетическому слою. С течением времени плотность распределения вероятностей р становится все более п более однородной вдоль энергетического слоя. Речь может идти, безусловно, только о грубой однородности, поскольку область, в которой р= 0, лишь тонкая нить, более или менее однородно протянувшаяся по всему энергетическому слою. Однородность с течением времени будет все возрастать. Размешиваемость систем — необходимое условие того, что ансамбль со временем придет [c.58]

В идеальном кристалле атомы, ионы или молекулы находятся на определенных расстояниях от любого другого атома, иона или молекулы, который принят за начало координат. В газе молекулы в каждый данный момент находятся в произвольных положениях. Жидкости занимают промежуточное положение между кристаллами и газами хотя молекулы в них и не располагаются в виде определенной решетки, но некоторый порядок все же имеется. При детальном анализе интенсивности рассеянных рентгеновских лучей можно вычислить распределение атомов или молекул в жидкости и построить график, изображенный на рис. 19.16. На ординате отложена вероятность нахождения атомов на расстоянии г от определенного атома. Эта вероятность определяется формулой 4лг2р, где р — локальная плотность атомов (число атомов на единицу объема). Площадь под графиком радиальной функции распределения 4яг р между двумя значениями г равна числу атомов, содержащихся в соответствующем сферическом слое. Плавная параболическая кривая (рис. 19.16) соответствует произвольному распределению [c.584]

Совокупность систем, для которых можно ввести непрерывную функцию р , составляет статистический ансамбль. Отдельную систему ансамбля называют его индивидуальной реализацией. Функция р представляет собой многочастичную плотность вероятности, т. е. Pf dA dA ...-dA есть вероятность того, что в заданный момент времени первая частица находится в физически бесконечно малом объеме <М, вторая — в с1А2 и так далее. Эту функцию называют Ж-частичной функцией распределения. Она определяет ансамбль частиц в целом. С помощью 7У-частичной функции осуществляется полное статистико-вероятностное описание ансамбля, состоящего из М частиц. Если число частиц дисперсной фазы в индивидуальных реализациях ансамбля со временем не меняется, то уравнение эволюции Л -частичной функции можно записать в виде уравнения сохранения плотности изображающих точек в А, которое аналогично известному из статистической физики уравнению Лиувилля [c.672]

Из данных по дифракции рентгеновских лучей и нейтронов (получаемых в условиях, когда квантовые состояния атомов не изменяются) непосредственно находится бинарная коррелятивная функция (г), которая дает вероятность нахождения какого-либо атома в положении г относительно атома в начале координат в данный момент времени. Эта функция описывает среднюю плотность распределения частиц относительно данной частицы системы. Поскольку атомы имеют конеч-нь1е размеры, (г) равна нулю вплоть до г, равного диаметру атома. [c.207]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология