Система дифференциальных уравнений, метод прямых

Прямая. кинетическая задача в формальной записи представляет собой систему обыкновенных (как правило, нелинейных) дифференциальных уравнений 1-го порядка с заданными начальными условиями. Особенность решения таких систем состоит в том, что временные характеристики различных переменных существенно отличаются друг от друга. Для кинетических систем такого типа характерно наличие быстро и медленно меняющихся переменных. Быстрые переменные практически мгновенно подстраиваются под изменения медленных. Это позволяет применять для решения таких задач, метод квазистационарных концентраций, т.е. заменять некоторые дифференциальные уравнения системы алгебраическими, приравнивая нулю скорости изменения быстрых переменных. [c.130]

Классическим методом расчета МВР для замкнутой системы (периодический реактор) является прямой метод решения бесконечной системы дифференциальных уравнений для активных и неактивных цепей, рассмотренный впервые Бемфордом и сотр. [8]. [c.130]

Для решения системы дифференциальных уравнений используются конечно-разностные подходы, причем эти уравнения предварительно модифицируются с помощью специальной процедуры, что обеспечивает более тесную их связь и повышенную устойчивость численных схем. При решении конечно-разностных матричных уравнений может использоваться либо метод прямого исключения диагональных членов, либо итерационный метод Гаусса-Зейделя с верхней релаксацией. [c.570]

Рассматривая возможность обобщения задачи и анализа качественных закономерностей, инженеру приходится считаться с перспективой возрастания объема работы. Однако логика погружения не обязательно ведет к увеличению количества вычислений. Например, если известно общее решение дифференциального уравнения, то анализ поведения системы во всей области допустимых граничных условий оказывается не более трудным, чем расчет конкретной траектории. В этом смысле методы аналитического решения и качественного анализа уравнений выигрывают по сравнению с прямым численным методом. [c.12]

Традиционно для описания и анализа функционирующей реакционноспособной системы используют прямые кинетические методы, суть которых состоит в написании и решении специфической для изучаемого процесса системы дифференциальных кинетических уравнений. Очевидными достоинствами прямых кинетических подходов к описанию термодинамически неравновесных процессов являются детально отработанные алгоритмы получения и решения кинетических уравнений, удобные критерии устойчивости кинетических систем, а также возможность описания различных специфических динамических эффектов, таких как множественность стационарных состояний, возможные осцилляции скорости сложных химических реакций, предельные циклы , бифуркации, хаотические режимы протекания реакции и т.п. Следует, однако, подчеркнуть, что необходимым условием адекватности результатов, получаемых прямыми кинетическими методами, являются справедливость априорных представлений о схеме исследуемых химических превращений и достаточно точное знание констант скоростей отдельных элементарных стадий. [c.291]

В предыдущем разделе было пояснено определение устойчивости, причем расположение траекторий на фазовой плоскости предполагалось известным. Однако подход инженера прямо противоположен он пытается узнать, устойчива система или нет еще до того, как решены дифференциальные уравнения модели. Иными словами, задача заключается в том, чтобы найти прямой метод исследования, позволяющий определить устойчива или неустойчива система, не прибегая к построению всех траекторий на фазовой плоскости. [c.73]

Моделирование процесса эмульсионной полимеризации на ЦВМ. Для численного решения задачи (3.47)—(3.63) с начальными, граничными условиями и условиями сопряжения (3.64) — (3.68) система дифференциальных уравнений приводилась к безразмерному виду и решалась методом прямых с применениеи процедуры Рунге—Кутта—Мерсона на ЦВМ Минск-32 . [c.156]

В данном разделе изложен метод исследования устойчивости, который называется вторым методом Ляпунова. Он принадлежит к числу прямых методов, так как с его помощью устойчивость системы определяется без интегрирования дифференциальных уравнений. [c.86]

Определение устойчивости по Ляпунову позволяет применить прямой метод анализа без интегрирования дифференциальных уравнений. Следует все же признать, что с точки зрения практического инженерного применения доказательство устойчивости в малом стационарного состояния недостаточно для инженера. Причина этого заключается в том, что информация о локальном поведении системы ничего не говорит о характере траектории в целом. [c.90]

Выше было показано, что для химических преврашений строгое выполнение линейных соотношений взаимности Онзагера обеспечивается при очень малых значениях сродства этих преврашений даже на элементарных стадиях 1 КТ. Однако при протекании типичных лабораторных или промышленных химических реакций (например, прямого либо каталитического синтеза разнообразных соединений) значения сродства для брутто-процессов составляют обычно 40—100 кДж/моль (см. гл. 4, 5), в то время как при комнатной температуре ЯТ 2,5 кДж/моль. Даже для большинства биохимических превращений у4,у 4 8 кДж/моль. Таким образом, офомное число практически важных химических превращений осуществляется обычно вдали от термодинамического равновесия (вдали от области применимости соотношений линейной неравновесной термодинамики), что значительно усложняет их термодинамическое рассмотрение, и нередко для описания системы требуется использовать прямые кинетические методы, базирующиеся на дифференциальных уравнениях. [c.348]

Специфической особенностью методов решения оптимальных задач (за исключением" методов нелинейного программирования) является то, что до некоторого этапа оптимальную задачу решают аналитически, т. е> находят определенные аналитические выражения, например, системы конечных или дифференциальных уравнений, откуда уже отыскивают оптимальное решение. В отличие от указанных методов при использовании методов нелинейного программирования, которые, как уже отмечалось выше, могут быть названы прямыми, применяют информацию, получаемую при вычислении критерия оптимальности, изменение которого служит оценкой эффективности того или иного действия.. [c.35]

Релаксационные методы, описанные в этой и в следующей главах (в отличие от флеш-метода), не приводят к каким-либо большим изменениям в системе, а только смещают равновесие. Даже это смещение нужно сохранять небольшим, чтобы для математического описания можно было применять линейные дифференциальные уравнения. Интересно, что измеряемая скорость представляет собой скорость вблизи положения равновесия, в то время как струевыми и обычными методами измеряют скорость, когда система находится далеко от положения равновесия. Можно было бы ожидать, что на константу скорости ье будет влиять это различие в условиях однако по этому вопросу имеется мало прямых данных . [c.87]

Зная давление дросселирования Р , можно использовать уравнение (5.37) для определения общей внутренней энергии системы как функции ее веса. Поскольку общий объем системы известен, можно установить ее состояние вдоль пути процесса. Решение дифференциального уравнения требует обращения к ранее разработанным [3] численным методам. Этот пример показывает сложность оценки эффектов теплоты и работы для достаточно простых физических условий. Знание соответствующих условии позволяет определять путь процесса, но тем не менее требует внимательного, а порой и утомительного решения дифференциального уравнения для установления состояния системы как функции веса отбираемого вещества. При известных уравнениях состояния возможен более прямой способ решения. [c.72]

Рассмотрим теперь решение системы (6). Попытка решать её прямим методом, т.е. с применением только суммирующих усилителей показывает, что система (6) решается неустойчиво, небольшие отклонения переменных от значений, которые удовлетворяют уравнениям, приводят к настолько большим изменениям на выходе суммирующих усилителей, что они выходят из режима нормальной работы. Этого не происходит, еоли заменить алгебраическую систему соответствующей системой дифференциальных уравнений. При этом, установившиеся значения переменных являются решением системы (б). Таким образом, фактически решается нестационарный процесс,т.е. уравнение в частных производных. [c.455]

Мы не будем здесь подробно расс.матривать соотношение между волновой функцией и состоянием, которое она описывает Достаточно указать, что если известна волновая функция системы, то можно найти (при помощи прямых, но часто очень трудоемких математических методов) числовое значение или, по крайней мере, среднее числовое значение любого свойства системы, которое можно измерить экспериментально. Поэтому в квантово-механическом расчете важной стадией является построение волновой функции. В принципе ее можно получить как решение некоторого дифференциального уравнения в частных производных, известного под названием уравнения Шре-дингера или волнового уравнения. Но на практике оно слишком сложно, так что решить его точно можно только для простейших систем, и поэтому приходится обращаться к приближенным методам решения. [c.46]

Определив концентрации всех цепей длиной х, можно получить искомое распределение. Численные методы решения таких дифференциальных уравнений достаточно хорошо разработаны, основное затруднение связано с большим (в общем случае бесконечным) числом уравнений в системе высокая размерность требует значительных затрат машинного времени и накладывает существенные ограничения на максимальную длину цепи R. Например, авторам работы [21] для получения решения за приемлемое время пришлось ограничиться / =100. Таким образом, прямое решение исходных уравнений неприемлемо для полимеров с длинными цепями, применяющихся на практике. [c.16]

Сопряженная задача была преобразована к постановке с обратным временем, в результате все три задачи, моделируемые на АВМ, получили одну и ту же краевую постановку для уравнения теплопроводности Эти задачи были аппроксимированы системой обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с параллельным методом прямых — время бьшо принято в качестве независимой переменной [c.256]

Сотрудниками ВНИИОС разработана и используется для различного рода расчетов аналогичная, хотя и несколько меньшая, модель пиролиза углеводородов Терасуг . Модель включает 650 реакций и 77 молекулярных веществ и 72 радикала (некоторые из этих реакций даны в Приложении 1). Строго говоря, для каждого взаимодействия должны быть записаны прямая и обратная реакции. Однако, когда константа равновесия сильно сдвинута вправо, обратную реакцию в модель не включали. Некоторые значения аррениусовских параметров элементарных реакций были взяты из литературы [56, 57, 59, 93, 96], другие — рассчитаны с помощью полуэмпирических методов [56, 60, 84, 100], а для части обратных реакций— на основе термодинамических данных и параметров прямой реакции. Некоторые параметры были получены при расчете по модели и сравнении их с экспериментальными данными. Метод решения системы дифференциальных уравнений, описывающей изменение концентрации каждого компонента, приведен в работе [90]. Вычисление по рекурентному соотношению ведется вначале для радикалов в порядке уменьшения их активности (Н, СеН-д, НО , СН з и т. д.), а затем для молекулярных веществ. Метод был проверен иа жесткой системе из трех уравнений [99]. Максимальное расхождение с точным решением не превышало 2% при шаге интегрирования 0,002 с и конечном времени 1 с. Ошибки при определении выходов продуктов пиролиза редко бывают меньше 3—5% (отн.) по основным компонентам. [c.33]

В зависимости от цели проводимых исследований решение краевой задачи (4.5) можно вести разными способами. Наиболее удобным в данном случае является прямой метод перемещений (также см. Раздел 3.1). Получаемые в итоге системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются МКЭ, что позволяет сформировать детальную картину изменения во времени сложного НДС конструкции с учетом действующих динамических нагрузок, упруго-пластического поведения материалов трубопроводов и прилегающего грунта. При решении, на каждом временном шаге, для всех участков конструкции проверяются условия вьшолнения континуальных критериев разрушения. В случае вьшолнения данных критериев считается, что соответствующий элемент конструкции теряет способность нести нагрузку, и его характеристики исключаются при формировании матрицы жесткости на следующем временном шаге МКЭ. [c.347]

Решение системы уравнений. Полученную систему нелинейных дифференциальных уравнений прямыми методами решить не удается. Поэтому для получения аналитических выражений, пригодных для инженерного анализа распределения гидродинамических параметров в кольцевой щели дискового насоса, воспользуемся методом итераций. Этот метод дает возможность получить приближенное решение приведенной выше системы уравнений при конечном числе шагов. [c.11]

В таких случаях большего успеха можно достичь с помощью дифференциального метода, оперируя только начальными скоростями. Этим способом можно определить зависимость скорости реакции от концентрации строя логарифмическую зависимость начальных скоростей от начальных концентраций либо получают, либо не получают прямую линию, но какую-то зависимость между ними можно всегда обнаружить. Затем определяют временной порядок реакции, сравнивают его с истинным порядком и устанавливают наличие влияния промежуточных продуктов. Влияние промежуточных соединений может быть изучено путем добавок их в начальные моменты реакции и наблюдения за изменением начальных скоростей процесса. Только такой последовательный подход даст возможность вывести уравнение, представляющее скорость процесса как функцию концентраций реагентов, продуктов реакции и других свойств системы. [c.29]

Противоток фаз в зоне охлаждения характерен для кристаллизационных колонн с подачей исходной смеси в центральную часть (см. рис. 6.2, а). Зависимость между потоками кристаллической и жидкой фаз и параметрами охлаждения может быть установлена путем совместного рассмотрения процессов тепло-и массообмена, протекающих в данной зоне. Такая задача была решена, [102] для случая, когда лимитирующей стадией процесса кристаллизации в рассматриваемой зоне является теплообмен. При этом если охлаждение проводится хладоагентом, не меняющим агрегатное состояние (0 =7 onst), то процесс описывается системой дифференциальных уравнений, решаемых численными методами с помощью ЭВМ. Если же охлаждение производится испаряющимся хладоагентом (0с = onst), то систему этих уравнений решают аналитически. При разделении смесей с ограниченной растворимостью компонентов в твердом состоянии, у которых линии ликвидуса и солидуса близки к прямым, температура кристаллической фазы на выходе из зоны охлаждения определяется из уравнения [c.195]

Наряду с этим представляется заманчивым попытаться произвести определение эффективного парного потенциала в плотной среде с помощью имашинного мрдзлирования как наиболее строгого подхода из существущих в настоящее вреня4 При этом наиболее прямой и точный путь заключается в построении конфигураций при определении энергии и вероятностей переходов с учетом многочастичных взаимодействий (метод Монте-Карло), или в решении системы дифференциальных уравнений движения с включением неаддитивных эффектов (метод молекулярной динамики). [c.218]

Методом ПМР измерены текущие концентрации исходных соединений и продуктов прямой и обратной реакции Дильса-Альдера между фураном и метилакрилатом. Сплайн-аппроксимацией экспериментальных данных получены соотношения концентраций и их производные в зависимости от времени реакции, позволяющие вычислить константы скорости образования и распада экзо- и эн-до-аддукта из дифференциальных уравнений, отвечающих механизму процесса, исключающему непосредственные взаимопревращения аддуктов. Установлено, что констаты скорости при движении системы к равновесию с обеих сторон испытывают колебания, по-видимому, в связи с существованием энергетических цепей. При уфеднении повторной сплайн-аппроксимацией эти зависимости сводятся к кривым с одним минимумом в области равновесных концентраций, причем соотношения констант скорости прямых и обратных реакщш (константы равновесия) практически не изменяются. [c.78]

Аэродинамическая модель факела неиеремешанных газов отражает лишь некоторые, хотя и весьма существенные, стороны сложного явления. Она, в частности, не позволяет определить ряд важных характеристик процесса, связанных с кинетикой химических реакций (полноту сгорания, условия стабилизации пламени и т. д.) Предельной схеме диффузионного горения при бесконечно большой скорости реакции отвечает в сущности единственный абсолютно устойчивый режим, при котором осуществляется полное реагирование исходных компонентов. Влияние режимных параметров на тепловой режим факела и его устойчивость принципиально не может быть учтено в рамках такой модели. Прямой путь расчета процесса при конечной скорости реакции связан с интегрированием системы дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих нелинейные источники тепла и вещества. Он не получил достаточного распространения из-за значительных математических трудностей, с одной стороны, и отсутствия надежных данных о макрокинети-ческих константах, с другой. Это делает, видимо, нецелесообразным проведение в настоящее время массовых численных расчетов газовых пламен на ЭВМ, Отмеченное обстоятельство стимулирует развитие приближенных аналитических методов, сочетающих идеи теории пограничного слоя и теории теплового режима горения [27]. [c.21]

В нашем случае воспользуел1Ся методом прямых, идея которого состоит в замене частных производных конечными разностями и сведении исходного уравнения (уравнений) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, Решение последней может быть выполнено методом, рассмотренным в примере 2, [c.272]

Для решения уравнений в Частных п )6йзвбдн4лх Одййм Из широко прймбЁяе-мых методов является метод конечных разностей [12—14]. Воспользуемся методом прямых, идея которого состоит в замене частных производных конечными разностями и сведении исходных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [13]. Решение последней может быть выполнено методом, рассмотренным в примере 6. [c.56]

С вычислительной точки зрения решение рассматриваемой прямой кинетической задачи отличалось рядом особенностей. Во-первых, при расчете зависимости концентраций от времени в силу сильной зависимости особенностей протекания процесса от удельного энерговклада очень трудно выделить кваэистационарную подсистему, поэтому в данном случае необходимо решать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, уравнения для колебательной и поступательной температур имеют достаточно сложный вид, поэтому не удается вычислить аналитически якобиан системы. В связи с этим приходится отказаться от тех численных методов интегрирования жестких систем, которые сильно чувствительны к точности вычисления якобиана (методы Розенброка, методы локальной линеаризации). Так как якобиан системы в рассматриваемом случае не имеет больших по модулю положительных [c.151]

Для расчета режима работы смесительной головки в установившемся состоянии можно пзрейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,но при этом придется решать краевую задачу, так как граничные условия заданы на разных концах интервала интегрированияЛоэтому мы использовали модель в виде уравнений (II). Для решения модели был использован метод прямых [6]. [c.273]

Прямая и обратная кинетические задачи. В работе Е. А. Новикова дается описание числеиных методов решения дифференциальных уравнений химической кинетики. Нестационарные кинетические модели представляют собой, как правило, системы жестких уравнений, для численного интегрирования которых необходимо привлекать специальные методы. [c.3]

Жесткость дифференциальных уравнений химической кинетики приводит к необходимости использования специальных методов интегрирования. В этих методах наряду с вычислением правой части дифференциальной задачи обычно используют матрицу Якоби, что в случае достаточно сложной химической реакции требует от вычислителя больших (даже огромных) затрат времени на получение элементов этой матрицы и составление подпрограмм . ее вычисления. В то же время правая часть задачи и матрица Якоби имеют достаточно простую структуру относительно концентраций реагентов. Это определяет целесообразность создания генерирующей программы, которая использует в качестве входных данных описание кинетической схемы, близкое к естественному. В настоящее время существует много программ такого типа (см., например, [1—12]), но некоторые из них являются труднодоступными . Кроме того, часть этих программ ориентирована на конкретные методы интегрирования, что является их существенным недостатком. Широкий набор решаемых задач, требование к точности и времени вычисления решения предполагают использование различных методов, а также их комбинацию в процессе решения. В [12] приведены формулы, достаточно удобные для генерации подпрограмм вычисления правой части и матрицы Якоби дифференциальных уравнений химической кинетики в случаях изотермического и неизотермического реактора постоянного объема. В настоящее время на базе ИХКиГ СО АН СССР и Вычислительных центров СО АН СССР городов Новосибирска и Красноярска разработан комплекс программ, который позволяет автоматизировать процесс решения прямой кинетической задачи. Комплекс написан на языке ФОРТРАН IV и ориентирован на работу в операционных системах Рафос и К8Х-11М. [c.54]

Аппроксимирующая система алгебраических уравнений для уравнения (4) получена заменой в дифференциальном уравнении производных центральными разностными формулами. Решение аппроксимирующей системы проводилось, аналогично плоскому случаю, методом итераций с прогонкой вдоль прямых г = onst. [c.120]

О численном решении задачи об автоволне в нестационарной постановке. В качестве метода решения начально-краевой задачи (1.8) был выбран метод прямых [29]. Использовалась аппроксимация второго порядка точности по пространственной переменной. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась с помош,ью неявной схемы Рунге-Кутта 5-го порядка точности, программная реализация которой эффективно учитывала ленточный вид матрицы Якоби правых частей. [c.64]

Тогда в системе координат (т/]/а) — т интегральйая кривая седиментации представляется прямой. Определив по опытным точкам (графически или методом наименьших квадратов) константы и Тц и принимая а = 100%, по уравнению (2) можно рассчитать время конца всплывания капель [5]. Зная То и а , по уравнению (2) можно построить расчетную кривую седиментации, которая обычно весьма блхизка к экспериментальной. По уравнению дифференциальной кривой седиментации, получаемому [6—8] из уравнения (2) [c.111]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология