Важнейшие распределения вероятностей

ВАЖНЕЙШИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [c.251]

Методы теории распознавания образов широко применяют для решения таких задач, как распознавание буквенно-цифровой информации, прогнозирование погоды, установление медицинских диагнозов, анализ звуковых записей и т. д. Важным свойством методов распознавания образов является то, что полное знание распределения вероятностей данных не требуется. Если в распоряжении имеется лишь небольшое число измерений, и поэтому нельзя определить значимые статистические распределения, то можно использовать непараметрические методы [66]. [c.85]

Один из методов однозначного определения вероятности логического вывода предполагает, что возможные миры имеют распределение вероятностей с возрастающей энтропией. В настоящее время существует проблема трудоемкости вычислений при большом числе логических формул и много других проблем, но тем не менее это является важной идеей в рациональной комбинации логики и вероятности 149]. [c.106]

Очень важно установить характер распределения вероятности поступления сигналов — это наиболее полная характеристика потока сигналов как последовательности случайных событий. Оказалось, что на всех заводах потоки сигналов всех трех приоритетных групп характеризуются показательным распределением. Для примера на рис. 3-1 приведена статистическая плотность распределения (гистограмма) интервалов времени между моментами поступления сигналов, построенная на основе статистических наблюдений по оси абсцисс отложена длительность интервала I между двумя последовательными сигналами, [c.136]

Квантовое число I играет очень важную роль — оно связано с формой пространственного распределения вероятности нахождения электрона с формой облака. Элементы, атомы которых в нормальном состоянии содержат валентные s-электроны, называют [c.59]

Подведем итог сказанному. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же важную роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Описание состояния частицы в квантовой механике характеризуется волновой функцией у, являющейся решением уравнения Шредингера (3.9). Эта функция описывает стационарное состояние, указывая распределение вероятности нахождения частицы в пространстве, не зависящее от времени. Плотность вероятности определяется квадратом модуля нормированной функции lyi . Каждому стационарному состоянию физической системы отвечает определенное значение энергии, вследствие чего для частицы или. системы частиц существует набор физически допустимых значений энергии. Существование стационарных состояний и прерывность значений энергии в квантовой механике являются следствием волновых свойств частиц, а не постулатом, как в теории Бора. [c.16]

Если п=2, получается два максимума вероятности (при х11= и и х 1= и), при = 3 — три максимума и т. д. (рис. 1.8). Очень важно подчеркнуть, что по мере роста числа максимумов распределения вероятности для соседних значений п сближаются. Это значит, что чем больше энергия, тем меньше квантовые законы [c.47]

Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N и V плотность распределения вероятностей зависит только от интегралов движения. При записи выражения (П1.39) допускается зависимость р (и соответственно р) только от одного интеграла движения — энергии. Выделение этого интеграла движения обусловливается следующими соображениями. Величина 1п р, как следует из сказанного в 1 настоящей глав 1, аддитивна для совокупности двух невзаимодействующих систем р = 1Рг и 1п р = 1п + 1л рц, где Р1 и и Ра — нормированные плотности распределения вероятностей соответственно для первой и второй систем. Обоснованно считать величину р зависящей именно от аддитивных интегралов движения. Из семи названных ранее аддитивных интегралов движения шесть характеризуют движение системы как целого, и при изучении внутреннего состояния системы их можно не рассматривать. Таким образом, остается зависимость р от энергии — важнейшей механической характеристики системы, и при заданных N и V получаем выражения (П1.39) и (П1.40). [c.55]

В ряде случаев важно знать вероятность того, что случайная величина X не будет отличаться от своего среднего значения больше, чем на величину L = lax (абсолютное отклонение удобно выражать в долях от среднеквадратичного отклонения). Эта вероятность Ф(1) равна площади, заштрихованной на рис. V. 2. Чем больше I, тем ближе Ф(/) к единице. Для нормального закона распределения Мх+10х I I [c.119]

В разд 1.1 утверждалось, что случайный процесс, порождающий наблюдаемый временной ряд, может быть описан распределениями вероятностей, связанными со всеми возможными множествами моментов времени Определение природы этих распределений вероятности по одному или по малому числу рядов представляет собой невозможное или даже бессмысленное занятие. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных упрощений, которые приняты в анализе временных рядов для того, чтобы сделать этот анализ выполнимым и в то же время плодотворным [c.17]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

При расчете реакторов непрерывного действия важной характеристикой является распределение частиц по времени пребывания в аппарате. Как показано в [45], для реактора идеального смешения плотность распределения вероятностей случайной величины I имеет вид [c.124]

Свертывание белковой цепи не может быть объектом рассмотрения классической равновесной термодинамики, поскольку последняя оперирует только усредненными характеристиками стохастических систем, обратимыми флуктуациями и функциями состояния, а поэтому ограничена изучением макроскопических систем с чисто статистическим, полностью неупорядоченным движением микроскопических частиц, взаимодействующих неспецифическим образом только в момент упругих соударений. Равновесная термодинамика в состоянии анализировать коллективное поведение множества частиц, не вдаваясь при этом в детали их внутреннего строения и не конкретизируя механизм равновесного процесса. Особенно важно отметить то обстоятельство, что для классической термодинамики все случайные флуктуации системы неустойчивы, обратимы и, следовательно, не могут оказывать заметного, а тем более конструктивного, воздействия на протекающие процессы. Все явления, самопроизвольно протекающие в изолированной системе, направлены, согласно термодинамике равновесных процессов, на достижение однородной системы во всех возможных отношениях. Сборка белка не отвечает основным положениям классической статистической физики эргодической гипотезе и Н-теореме Больцмана, принципу Больцмана о мультипликативности термодинамической вероятности и закону о равномерном распределении энергии по всем степеням свободы. Следование системой больцмановскому распределению вероятностей и больцмановскому принципу порядка, не содержащих механизма структурообразования из беспорядка, исключает саму возможность спонтанной сборки трехмерной структуры белка. Кроме того, невозможен перебор всех равноценных с точки зрения равновесной термодинамики и статистической физики конформационных вариантов. Даже у низкомолекулярных белков (менее 100 аминокислотных остатков в цепи) он занял бы не менее лет. В действительности же продолжительность процесса исчисляется секундами. Величина порядка 10 ° лет может служить своеобразной количественной мерой удаленности предложенных в литературе равновесных термодинамических моделей от реального механизма свертывания природной аминокислотной последовательности. [c.90]

В заключение этого параграфа сделаем ряд общих замечаний. В расчетах часто приходится осреднять различные нелинейные зависимости. Результат такого осреднения зависит от характера нелинейности и величины <2>. Существует целый ряд величин, при расчете которых пульсации можно либо вообще не учитывать (например, плотность), либо учет пульсаций дает не слишком большую поправку (например, концентрация СО2). В последнем случае, как показывает практика расчетов, пригодна почти любая разумная модель для плотности вероятностей, т.е. важно лишь учесть, что пульсации существуют. Имеется, однако, и ряд величин, для вычисления которых необходимо точно знать и форму распределения вероятностей, и интенсивность пульсаций (концентрация углеводородов). Важную роль играет и средний состав, при котором рассматривается та или иная величина. Например, при <2) >г влияние пульсаций на среднюю концентрацию углеводородов не слишком велико, а уже при <г> = 0,5z оно имеет принципиальное значение (рис. 5.4). [c.178]

Следовательно, важную роль играет правильное описание величины у. Эта часть задачи сводится к исследованию эволюции распределения вероятностей величины Z. Для пояснения рассмотрим однородную турбулентность, в которой концентрации всех веществ распределены статистически однородно (см. 3.4). Только такой случай и будет анализироваться везде ниже. [c.208]

Рассмотрим теперь характер решений уравнения (5.43) при / В этом случае, как видно из (3.27), величина Р описывается плотностью нормального распределения вероятностей. Так как Р ФО при всех г, зона реакции наблюдается при всех г. Можно показать, что тем не менее решение не стремится к нулю (формально это следует из того, что все коэффициенты в (5.43) очень быстро стремятся к нулю при г -> >). Это означает, что все топливо, проникшее в бедную часть факела, сгореть не может. Знак величины V в этом случае также играет важнейшую роль. Действительно, на заключительном этапе смешения любая область г Ф г) стягивается в точку, и поэтому при 21 >< z) скорость среды относительно поверхности г = = 2, всегда направлена в бедную часть факела, т.е. несгоревшее топливо конвективными движениями оттесняется от зоны реакции. Сделанный вывод следует и из формулы (5.36) (в области 2 >< 2 > плотность нормального распределения вероятностей - уменьшающаяся функция 2). [c.211]

В результате получаются уравнения совершенно разной структуры модели для моментов не нуждаются во введении перемежаемости, а уравнения для распределений вероятностей без рассмотрения перемежаемости становятся бессмысленными. Например, из уравнения для плотности вероятностей концентрации вытекает, что в отсутствие перемежаемости концентрация принимает все значения от — до + . Важно, что перемежаемость определяет структуру решений во всех областях потока, в том числе и в тех, где она традиционно считалась несущественной. Например, вблизи оси или плоскости симметрии течений струйного типа установлено, что чем слабее отличается коэффициент перемежаемости от единицы, тем меньше интенсивность пульсаций концентрации. Важная роль перемежаемости была установлена и при анализе уравнения для плотности вероятностей разности скоростей. [c.259]

Более наглядное представление о фракционном составе суспен зий дает дифференциальная функция распределения i (r) =—(1Ф (г)/(1г. Соответствующая этой функции кривая (рис. 1.8) характеризует плотность распределения вероятности по массе частиц различных радиусов. Чем уже интервал радиусов на дифференциальной кривой распределения и чем выше ее максимум, тем ближе суспензия к монодисперсной (кривая ) наоборот, чем кривая более растянута и чем ниже ее максимум, тем суспензия более полидисперсна (кривая 2), Важнейшее свойство дифференциальной кривой распределения состоит в следующем весовое содержание в суспензии частиц с радиу сами от до г2, т. е. вероятность нахождения в суспензии частиц [c.47]

Таким образом, механизм возникновения степенного закона обусловлен следующим. Если в бассейне реки выпали обильные осадки, то сопротивление движению воды настолько уменьшится, что в реку могут поступить не только выпавшие осадки, но и осадки от предыдущих дождей, которые ранее из-за большого сопротивления трения не могли попасть в реку. Математическая формализация этого известного гидрологического явления и приводит к степенным законам распределения вероятностей паводков и наводнений. Важно, что в формировании стока в данный момент времени, как правило, участвуют осадки предыдущих времен. [c.216]

Таким образом, правильное определение вероятности этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы посмотрели на эту задачу и построили простую модель, заключающуюся в расчете стока, в который входят осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Такая модель описывается стохастическим дифференциальным уравнением. Мы написали уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для этой системы и получили достаточно простое распределение - со степенным затуханием функции распределения вероятности при больших величинах этого стока. А поскольку можно предполагать, что масштабы этого бедствия функционально связаны с расходом и уровнем воды, мы стали использовать эту функцию для расчета катастрофических наводнений на разных реках. И начали с Невы, потому что для нее посчитаны детальные гидродинамические модели, и можно было сравнить эту теорию с гидродинамическими теориями наводнений. [c.296]

Следует, однако, отметить, что нормальная случайная величина, задаваемая плотностью (2.30), теоретически не ограничена, т. е. она с положительной вероятностью может превысить как угодно высокий уровень или оказаться ниже сколь угодно низкого уровня. Но все физические явления и представляющие их случайные процессы ограничены по величине как в положительном, так и в отрицательном направлении, поэтому никакой реальный случайный процесс не может быть в точности гауссовским. Это замечание особенно важно для приложений, связанных с оценкой экстремальных значений, например при предсказании экстремальных значений ветровой нагрузки или высоты морских волн, грозящих катастрофическими последствиями. В этом случае предположение о том, что распределение вероятностей является нормальным, не состоятельно, так как распределения крайних значений ветровой нагрузки и высоты волн резко отклоняются от гауссовского. Но в большинстве приложений, о которых идет речь в этой книге, предположение, что встречающиеся случайные процессы имеют нормальное распределение вероятностей, вполне уместно, если только эти процессы не содержат детерминированных составляющих. [c.46]

Некоторые важные понятия статистической физики (в первую очередь, понятие статистической энтропии) тесно связаны с понятиями теории информации. Можно говорить о широком взаимном проникновении идей в рамках этих двух наук, которое приводит к их обогащению. При этом появляется возможность находить содержательную интерпретацию результатов одной науки на языке другой, а также строить методы решения соответствующих проблем одной науки, аналогичные тем методам, которые использованы в другой науке для получения известных решений сходных проблем. Так, в начале своего развития теория информации существенно опиралась на фундаментальные идеи статистической физики. Теперь же, когда теория информации хорошо разработана, построенный в ее рамках математический аппарат оказывается весьма полезным при построении методов статистической физики. Например, разработанный в, теории вероятностей наименее предубежденный (или наименее ошибочный) метод нахождения распределения вероятностей может быть использован в статистической физике для построения равновесных функций распределения. Краткому изложению этого метода, в основе которого лежит понятие информационной энтропии, посвящен этот раздел. [c.353]

Формула (П,1. 1.3) является одной.из наиболее важных в теории информации. С ее помощью можно найти информацию, содержащуюся в некотором сообщении. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть первоначально имелся некоторый набор возможных событий, вероятности осуществления которых задавались числами pi . Предположим, что в результате осуществления некоторой процедуры (например, проведение опыта) получено сообщение (например, о результатах опыта, в ходе которого осуществилось одно из событий), которое позволяет трансформировать исходное распределение вероятностей и приписать различным событиям другие вероятности их осуществления (например, Р,- )- Информацию [c.355]

Максимизируя значение меры неопределенности с учетом дополнительных условий (П.1. 1.6), можно в каждом конкретном случае найти наилучшее распределение вероятностей. Рассмотрим, в частности, совокупность возможных состояний равновесной макросистемы, вероятности осуществления которых задаются набором (р, . Величины р, должны удовлетворять некоторым условиям типа (П.1. 1.6), которые описывают характер взаимодействия макросистемы с внешней средой. Поскольку в условиях равновесия никаких других ограничений на значения величин p не существует, наилучшим в рамках теории информации нужно считать распределение, максимизирующее функцию Я((Й)- Этот вывод согласуется с одним из наиболее важных выводов статистической физики (см. раздел 1.3) энтропия в состоянии равновесия принимает максимальное значение. [c.356]

Важную роль в установлении связи между термодинамикой и статистической механикой играет так называемая сумма по состояниям. Она формально является фактором Лагранжа при нормировании распределения вероятностей, исходя из принципа возрастания энтропии, и находится в простой взаимосвязи с теми (средними) термодинамическими потенциалами, которые соответствуют не зависимым друг от друга переменным системы. Обозначим через О сумму по состояниям в случае (а), тогда [c.30]

Нам необходимо упомянуть о двух распределениях вероятности, которые играют важную роль в принятии решения при обнаружении неполадки. [c.34]

Разработка контрольной карты процесса, т. е. установление центральной линии и контрольных пределов, требует некоторого обдумывания и исследования самого процесса. Предположим, что процесс и точки замеров определены четко, приняты в расчет время запаздывания и мертвое время, а также найден подходящий выборочный метод и выборочный интервал. Затем следует проверить, что предположения относительно распределения вероятности наблюдаемой переменной являются оправданными. Тогда нужно исследовать и саму процедуру получения выборки, чтобы точность данных, которые будут использоваться, была известна (и находилась на допустимо низком уровне). Для более тонких проверок необходимы выборки большего объема, однако временной шаг может быть и такой, что выборка будет состоять только из одного показания (скажем, из показания газового хроматографа). Экономичность взятия проб, стоимость вспомогательных материалов, внесения поправок, ремонта оборудования и т. д. тоже важно учитывать при построении контрольных карт, однако эти факторы здесь нами не рассматриваются. [c.107]

Тема случайных ошибок включает несколько специальных терминов. Первым понятием является распределение вероятности, которое служит мерой различных вероятностей свершения определенных событий. На языке так называемой теории ошибок это есть распределение переменной (обычно обозначаемой через д ). Таким образом, в серии условно идентичных экспериментов могут получиться п результатов со значением Хи пг результатов со значением Х2, щ результатов со значением Хх и т.д. Распределение представляет собой график или гистограмму, показываюш,ую зависимость п от х. Следует определить несколько важных величин, связанных с распределением. Под средним обычно принимают [c.159]

Непрерывно изменяющиеся внешние параметры. Как показывают экспериментальные наблюдения, в поразительно большом числе случаев значения внешнего параметра распределены по кривой, удовлетворительно описываемой хорошо знакомой колоколообразной кривой гауссовского распределения, известного также под названием нормального распределения. Распространенность нормального распределения следует из одной доказываемой в теории вероятностей важной и глубокой теоремы, получившей название центральной предельной теоремы. В большинстве случаев флуктуации внешних параметров обусловлены кумулятивным действием многочисленных факторов, определяющих состояние среды. Центральная предельная теорема утверждает, что при любом распределении вероятностей этих факторов, если они не слишком отличаются друг от друга и не слишком сильно коррелированы, флуктуации внешних параметров имеют гауссовское распределение. Более точную формулировку этой фундаментальной теоремы теории вероятностей, а также условия ее применимости читатель может найти в любом стандартном учебнике теории вероятностей [1.86, 87]. В свете центральной предельной теоремы вездесущность гауссов- [c.36]

Универсальность методов распознавания образов связана прежде всего с тем, что как в фундаментальных исследованиях, так и в процессе реализации результатов этих исследований в практических целях, часто встречаются ситуации, которые либо совсем не поддаются формализации другими методами, либо их формализация связана с преодолением значительных трудностей. Важное свойство методов распознавания образов состоит в том, что полного знания распределения вероятностей экспериментальных данных в общем случае не требуется. Если в распоряжении исследов-теля имеется ограниченное число измерений и поэтому нельзя определить параметры статистических распределений, то могут быть использованы непараметрические методы распознавания. [c.241]

Указанные распределения вероятности иллюстрируют основные различия между представлениями, на которых основаны модель Бора и квантов омеханическая модель строения атома, а также между результатами, к которым приводят эти модели. Согласно модели Бора, вероятность обнаружить электрон в атоме водорода на расстоянии 0,53 А от ядра равна 100%, поскольку предполагается, что.электрон движется по круговой орбите такого радиуса. Квантовомеханическая модель дает значение 0,53 А лишь как наиболее вероятный радиус, характеризующий движение электрона в атоме водорода. Однако точное соответствие этого наиболее вероятного радиуса боровскому радиусу, вычисленному по законам классической физики, а также тот факт, что обе модели приводят к одинаковому набору энергетических уровней, являются важным подтверждением правильности квантовомеханической модели. [c.75]

Описание смешения до молекулярного уровня - не единственная проблема, возникающая при анализа одноточечного распределения вероятностей концентращ1и. Другой важной проблемой является описание турбулентной диффузии (второе слагаемое в левой части (2.14) или (2.15)). В уравнении для Р с) это слагаемое обычно записывается по аналогии с полу-эмпирической теорией турбулентной диффузии (Кузнецов и Фрост [1973 Фрост [1973, 1977], Поуп [1976], Недоруб, Фрост и Щербина 1979 Недоруб и Щербина [1979], Щербина [1982] и ряд других работ), т.е. [c.66]

Приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемост. В практических приложениях, связанных главным образом с. расчетом течений реагирующего газа, важно иметь простой приближенный метод определения плотности вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости. В литературе известно несколько таких методов (см., например, Вилюнов и Дик [1976], Борги [1980] и др.). В названных работах уравнение для плотности вероятностей вообще не используется. Вместо этого функциональный вид плотности вероятностей задается априори, и он обычно считается универсальным во всех областях турбулентного потока. Такое предположение позволяет восстановить плотность вероятностей по первым двум моментам, которые можно рассчитать с помощью традиционных полуэмпирических теортй турбулентности. [c.101]

Указанные оценки свидетельствуют о том, что возможно создание достаточно простой теории, в которой для описания функции (7(л) используются асимптотические зависимости, не учитывающие детали взаимодействия между турбулентной и нетурбулентной жидкостями. Высказанные соображения свидетельствуют также о том, что при решении ряда практически важных вопросов, связанных с оценкой структурных функций не слишком высокого порядка (см. главы 5 и 6), можно использовать простыв аппроксимации функции (л), например формулу (4.12), справешшвую д,.я логнормального закона распределения вероятностей. [c.163]

Полный анализ рассматриваемой проблемы вряд ли возможен в настоящее время. Поэтому далее рассмотрен ряд конкретных примеров, иллюстрирующих указанные выше общие соображения. Ниже будут рассмотрены решения уравнений переноса тепла и вещества в различных областях пламени. Будет показано, что в целом ряде случаев можно найти либо асимптотически точные решения, связывающие концентрации реагирующих веществ с локальными неосредненными характеристиками турбулентности, либо свести решение задачи к интегрированию уравнения диффузии без источников с граничным условием, зависящим от локальных характеристик турбулентности и скорости химических реакций. Так как распределения вероятностей величин е и N зависят от числа Рейнольдса (см. главу 4), то один из важных вопросов состоит в том, чтобы выяснить, как влияют процессы молекулярного переноса на условия протекания химических реакций в развитом турбулентном потоке. [c.186]

Представляется, что оба указанных условия вьшолнены, во всяком случае в задачах, которые рассмотрены в данной книге. По-видимому, универсальность статистических характеристик мелкомасштабной турбулентности не требует специальных комментариев. Поэтому рассмотрим, в какой степени универсально распределение вероятностей концентрации, полученное в главе 3. Из исследования, проведенного в главе 5, видно, что формулы (3.56), (3.57) позволяют решить ряд практических задач, например, рассчитать концентрации окислов азота и углеводородов в диффузионном факеле. Важно, что формула (3.57) правильно описывает не только часто, но и редко встречающиеся события. Этот вывод ясен из сопоставления рассчитанных и измеренных значений эквивалентной концентрации пропана, которая на заключительном этапе горения определяется чрезвычайно редким появлением областей с составом, сильно отличающимся от среднего. [c.257]

На решение уравнения (9) следует наложить весьма важное граничное условие, а именно принцип исключения Паули. Электронные волновые функции (1, 2,. . ., ТУ) должны б ыть антисимметричны но отношению к нерестановке координат (пространственных и спиновых) любых двух электронов. Они также должны удовлетворять следующему условию их квадраты могут служить характеристиками распределения вероятностей. [c.14]

Значительная часть нерастворимого в пиридине материала может быть переведена в раствор после восстановления литием в этилендиамине. Растворимая часть восстановленных таким образом продуктов имеет среднюю молекулярную массу в интервале 2000—3000 [14]. Отсюда следует, что молекулы мезофазы не являются истинными полимерами, а димерами, тримерами или тетрамерами молекул исходного пека, т. е. состоят примерно из 20— 40 конденсированных ядер. Зависимость условий образования мезофазы от размера и формы молекул и молекулярно-массового распределения имеет важное значение. Вероятно, теория, аналогичная разработанной Флори [15] для стержнеобразных молекул, могла бы быть развита и для плоских ароматических молекул, присутствующих в углеродистой мезофазе. Онзагер [16] и Ишихара [17] рассмотрели взаимодействия в системе эллипсоидных молекул или частиц определенного типа. [c.196]

Одна из важнейших теорем математической статистики — центральная предельная теорема она утверждает, что при весьма обш,их условиях распределение суммы п независимых случайных переменных стремится к нормальному распределению при п оо. Таким образом, плотность распределения вероятности выборочных средних значений независимых случайных переменных, не подчи-няюш,ихся нормальному закону распределения, будет более симметричной, чем плотность исходного распределения вероятностей, и иметь меньшую дисперсию, как показано на рис. 2.7. [c.37]