Уравнение степени, метод решения

Описанный только что графический метод решения уравнений высших степеней (выше второй степени) довольно часто применяется в расчетной практике, однако это не значит, что он является единственно приемлемым методом. [c.140]

Для определения равновесного состава исследуемой здесь системы при различных температурах и давлениях необходимо решить совместно два уравнения, одно из которых (35а) является неполным уравнением четвертой степени и второе (36а) — уравнением первой степени. Аналитическое решение этой задачи весьма затруднительно, поэтому опять воспользуемся методом подбора и графическим решением. [c.148]

Предложен [234] численно-графический метод решения уравнений (VI.18) и (VI.55). При этом концентрация в фазе х во входном сечении колонны [х1 или Хо) задается и корректируется в ходе расчета. Профиль концентраций и расчетное значение степени извлечения в значительной степени зависят от принятого значения х (л о), что является серьезным недостатком этого метода. [c.235]

В настоящее время разработано достаточное количество моделей коалесценции капли у поверхности раздела фаз жидкость— жидкость. Уравнения моделей выводятся на основе макроскопических балансов массы, силы и энергии и уравнений изменения микроскопических объемов жидкости и изменения поверхностей раздела фаз. Граничные условия и выражения для потока вместе с уравнениями состояния позволяют замкнуть систему уравнений для данной физической ситуации. Однако обобщенная полная система уравнений сложна для решения. Поэтому использование аппроксимирующих решений различной точности является наиболее распространенным методом. К сравнительно простым моделям можно отнести модели жесткой капли и жесткой поверхности раздела [32] и модели с учетом деформации капли и поверхности раздела с образованием углубления в центре капли [33, 34]. В [351 показано, что модели коалесценции, основанные на представлении однородной пленки, отделяющей каплю от поверхности, приводят к степенной зависимости времени коалесценции капли, пропорциональной пятой степени эквивалентного диаметра. Эти модели отрицают влияние разности давлений, возникающих вследствие искривления пленки, и поэтому дают завышенные значения показателя степени. [c.290]

Прежде всего представим нелинейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных Зфавнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степенной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8 ] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое из уравнений системы (8.42) к интегральному виду. [c.485]

Решить эти задачи удается использованием совместно уравнений материального (IV,10) и энергетического баланса ( ,9), (IV,И) или (IV, 12). Строгого решения указанной системы уравнений обычно не получают, поскольку скорость превращения зависит как от температуры, так и от степени превращения. Поэтому приходится прибегать к численным методам решения, которые часто используют совместно с методом проб и ошибок. [c.117]

Степень превращения. определялась по уравнению (2б) при решении его относительно X методом последовательного приближения с подстановкой произвольного х в формулу (20) для каждого значения Кр, а затем по формулам (16—19) вычислялся компонентный состав газовой фазы. [c.11]

Расчет электронной структуры соединений, содержащих несколько электронов и ядер, на основе уравнения Шредингера наталкивается на математические трудности его решения. В связи с этим широкое развитие и распространение получили приближенные методы решения уравнения Шредингера. Большие успехи квантовомеханического описания сложных соединений достигнуты в настоящее время вследствие применения полуэмпирических методов, которые основаны на весьма общих теоретических соображениях и включают параметры, оцениваемые экспериментально с достаточной степенью точности. [c.51]

Итак, для нахождения оптимальной производственной программы необходимо такое решение системы многих уравнений с многими неизвестными, прн котором критерий (целевая функция) достигает оптимума. Система уравнений и неравенств (24.1) — (24.5), (24.7) обладает следующим свойством она линейна относительно неизвестных. Это означает, что неизвестные входят в уравнения, неравенства и критерий лишь в первой степени и что отсутствуют произведения неизвестных. Методом решения подобных задач, которые носят название задач линейного программирования, служит так называемый симплекс-метод. Симплекс-метод изложен в целом ряде книг. Ограничимся лишь его технико-экономической интерпретацией. [c.413]

В отличие от упомянутых в предыдущем параграфе модельных, наглядных представлений о химической связи квантовомеханический подход есть способ математического описания состояния (энергетического, пространственного) электрона в той или иной-системе (атоме, молекуле, кристалле и т. п.). Естественно, что может существовать и на самом деле существует несколько математических методов решения одной и той же квантовомеханической задачи о движении электрона. Эти методы не очень строго называют теориями химической связи, хотя они тождественны в своей физической основе и опираются на один и тот же расчетный аппарат волновой механики при этом, однако, различаются исходные позиции и из-за вынужденной приближенности расчетов (как уже отмечалось в гл. 4, уравнение Шредингера точно решается в настоящее время только в случае одноэлектронной задачи) отличаются количественные результаты, получаемые при различных степенях приближения. Поэтому в зависимости от объекта рассмотрения (конкретной молекулы) или поставленной задачи используются разные более или менее равноправные методы. Здесь будут рассмотрены два из них метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО) первый благодаря его большей наглядности и связи с предыдущими теориями хид и-ческой связи, в частности с теорией Льюиса—Ленгмюра электронных пар, а второй — из-за лучшего описания строения и свойств, молекул при использовании его простейшей формы. [c.107]

Для того чтобы иметь широкие возможности применять наиболее подходящий математический метод оптимизации, необходимо на базе всех существующих (методы решения линейных и нелинейных уравнений, методы поиска, вариационные методы, дискретный принцип максимума Понтрягина, динамическое программирование, метод оврагов Гельфанда) методов оптимизации химикотехнологических комплексов и изучения устойчивости всего комплекса на внешние воздействия (колебания в сырье, температуре, давлении и пр.) разработать информационно-математическую систему. Эта система должна иметь средства для описания любого ХТК с желаемой степенью детализации, уметь выдавать сведения [c.157]

При конденсации бинарной смеси по этому уравнению можно определить состав несконденсированного остатка (г/ ) нри заданной степени конденсации . Решение нравой части уравнения обычно осуществляется методом графического интегрирования функции [c.80]

Динамические свойства линейной математической модели следящего привода можно в полной мере выяснить решением (интегрированием) общего дифференциального уравнения операционным методом с использованием передаточной функции [4, 17]. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами содержит элементарные функции, которые полностью отражают характер движения выходного звена следящего привода. Вид указанных элементарных функций существенно зависит от корней характеристического уравнения. На этом основан корневой метод анализа следящих приводов. Такой метод наиболее эффективно применять, когда порядок дифференциального уравнения и соответственно степень характеристического уравнения не выше четвертой. Формальный метод получения характеристического уравнения по передаточной функции состоит в приравнивании нулю полинома по степеням 5 в знаменателе. При этом, чтобы выделить процедуру определения корней, нередко переменную 5 заменяют на величину г, обозначающую корни уравнения. [c.215]

В 9.5 было показано, что й-разложение в равной степени применимо к основным кинетическим уравнениям и в случае многих переменных при условии, что макроскопические уравнения имеют единственное глобально устойчивое стационарное решение. Единственное отличие от случае, когда имеется одна переменная, состоит в том, что общего метода решения макроскопических уравнений [c.304]

Необходимые условия экстремума для (11,15) сводятся к сложной системе нелинейных уравнений, решение которой требует преодоления многих вычислительных трудностей, увеличивающихся по мере роста ошибок измерений и степени несовместности системы. Поиск работоспособного метода решения данной задачи привел к следующей модификации метода Ньютона. [c.155]

Особенностью интегральных уравнений (8.98) - (8.100), описывающих взаимосвязь фарадеевского тока с потенциалом электрода при любой степени обратимости или полной необратимости электрохимической реакции, является невозможность представления явной зависимости /[ (0] в замкнутой форме. Нахождение этой зависимости (или обратной зависимости [/(0]) возможно лишь в приближенном виде с использованием численных (обычно итерационных) методов решения уравнений. Современные компьютеры позволяют получать решения таких уравнений практически с любой степенью точности, необходимой в конкретных случаях. [c.295]

Подстановка в уравнение (2.4.6) какого-либо выражения, определяющего скорость реакции, например (2.4.9), дает систему нелинейных дифференциальных уравнений для / концентраций или 2Ь степеней превращения. Решение этой системы, за исключением простейших случаев, когда его можно найти аналитически, требует привлечения методов численного интегрирования или использования упрощающих предположений, основанных на соображениях, связанных с химическими процессами. [c.86]

Численное решение этих уравнений легко осуществляется с помощью АЛГОЛа на ЭЦВМ М-222. Программа для решения составляется по методу решения системы алгебраических уравнений или по методу последовательного исключения неизвестных. Левые части уравнений предварительно вычисляются из N (р) при р = о, р = 3(7,. . . Полиномы Лежандра также определяются по программе для вычисления знакопеременного степенного ряда. [c.103]

Нелинейное уравнение (5.36) при произвольной зависимости Оз С) не имеет общих методов решения. Численные методы, используемые в таких случаях, показывают, в частности, что скорость процесса нестационарной массопроводности в значительной степени определяется его конечной стадией, когда коэффициент Лз, как правило, имеет наименьшее значение. [c.280]

Сложность большинства задач гидродинамики и массообмена в стекающих пленках не позволяет надеяться на получение аналитических решений. К числу возникающих трудностей можно отнести, например, нелинейность уравнений Навье — Стокса, общие граничные условия на межфазной поверхности для двухфазных потоков, априорную идентификацию формы межфазной поверхности и т. п. Метод возмущений [5, 85] широко используется в данной области исследований, и в частности в настоящей книге. Согласно этому методу, решение дифференциальных уравнений ищут в виде разложений по степеням малых параметров, которые могут быть непосредственно получены из тех же самых уравнений, представленных в без- [c.45]

Системы уравнений типа (3.24.3) часто содержат уравнения второй и более высоких степеней, вследствие чего их точное решение может оказаться довольно сложным. В связи с этим значительный интерес представляют приближенные методы решения таких систем (см. обзоры [60—62]). Среди них широко используется графический метод. Обсудим его на примере химического превращения с одной реакцией г. В этом случае [c.211]

Общий метод решения задачи о том, может ли электронное состояние исходных молекул быть адиабатически переведено в электронное состояние конечных молекул (адиабатическая корреляция электронных состояний), основан на сохранении симметрии электронной волновой функции при изменении конфигурации ядер. Эта функция находится из решения волнового уравнения с гамильтонианом Н . Собственные функции могут быть классифицированы но типам симметрии тех операций, которые не меняют этого гамильтониана. Поскольку практически Н,, строится с различной степенью приближения, то существуют различные наборы операций симметрии, оставляющие его без изменения. Поэтому адиабатическая координация электронных состояний осушествляется, как правило, с известной степенью приближения, и это обстоятельство следует иметь в виду нри классификации процесса как адиабатического или неадиабатического. [c.106]

Собственные величины и волновые функции, данные в табл. 1, получены применением к уравнению Шредингера (20) стандартных математических методов решения дифференциальных уравнений с несколькими переменными. Здесь эти методы не будут рассматриваться, так как помимо необходимости очень длинного описания, они обычно применимы лишь для одноэлектронных систем и совсем не типичны для определения волновых функций и энергий многоэлектронных систем. Хотя волновые функции для многоэлектронных систем могут быть рассчитаны, в принципе, с любой желаемой степенью точности, они не могут быть выражены в точной аналитической форме, как в табл. 1, и, соответственно, получены прямым решением уравнения Шредингера поэтому следует искать другой способ, чтобы связать волновые функции с энергией. [c.23]

Отсутствие теоретических знаний о процессах, происходящих в применяемых и вновь разрабатываемых пламенных системах, не помешало развитию технологии сжигания топлив. Для химика в прошлом одним из камней преткновения при исследовании горения была сложность выполнения необходимых математических расчетов. Однако теперь, когда разработаны методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений любой степени сложности, можно с уверенностью предсказать быстрый прогресс в наших знаниях о кинетике пламенных реакций. В качестве примера можно указать на расчетную модель выделения окиси азота в двигателе с искровым зажиганием, созданную на основе известных кинетических, термодинамических и физических данных. Эта модель может быть также использована для предсказания влияния рабочих параметров двигателя и рециркуляции выхлопных газов на количество образующихся окислов азота. Аналогичная работа проводится в настоящее время по изучению промышленных диффузионных пламен с целью нахождения методов предсказания концентрации окислов азота в продуктах -горения и путей ее уменьшения. Важность таких исследований для целей прогнозирования и для борьбы с загрязнением окружающей среды очевидна. [c.567]

Полезными методами решения нелинейных задач теплопроводности являются интегральные методы, разработанные А.С. Лейбензоном, Т. Гудменом и др. Наиболее существенным недостатком известных интегральных методов является априорное задание семейства профилей температуры. Степень приближения задаваемого распределения к действительному, а следовательно, и точность метода зависят от интуиции автора и, как правило, удовлетворительны лишь в ограниченном диапазоне параметров задачи. Многопараметрический метод, разработанный Л.Г. Лойцянским, предлагает путь рационального построения семейства профилей температуры в слое, основанный на решении преобразованного к новым безразмерным переменным дифференциального уравнения. [c.363]

Рассмотрим теперь коротко методы решения интегро-дис )ференциального уравнения (44.3). Обычные методы численного интегрирования к таким уравнениям непосредственно неприменимы ввиду наличия интегрального оператора типа Фредгольма (т. е. интеграла от нуля до бесконечности, содержащего искомую функцию). Поэтому обычно уравнение типа (44.3) решают методом итераций. Сначала решается уравнение без обмена. Найденное решение подставляется в обменный интеграл и полученное таким образом неоднородное дифференциальное уравнение решается снова. Процедура продолжается до тех пор, пока новое приближение не окажется совпадающим с предыдущим с требуемой степенью точности. [c.605]

Совместное решение (72), (73) и (74) приводит к уравнению третьей степени относительно сь- В связи с этим в каждом конкретном случае целесообразно использовать графический метод решения Я. Бьеррума. [c.157]

Задачи, стоящие перед теорией расчета систем автоматического регулирования, решаются для линейных и нелинейных систем по-разному. В первом случае для систем невысокой степени сложности пригодны аналитические методы решения дифференциальных уравнений классическими и сокращенными способами Часто применяются графические методики с использованием частотных характеристик (Бодэ - и НайквистЗ. ) и [c.96]

При представлении нефтяных смесей в виде условных фракций, гфоцесс рекгиф1икации описывается системой алгебраических уравнений. Системы уравнений обычно записываются для теоретических тарелок, на которькх предполагается выполнение условия равновесия между уходящими с тарелки потоками пара и жидкости. Рассматриваемые системы уравнений обладают сильной степенью нелинейности. Решение их любым из известш.гх методов является трудоемкой вычислительной задачей и не всегда прж(), 1ит к заданной сходимости. [c.8]

Обтекание сферы при малых, но конечных значениях чисел Re исследовалось Уайтхедом [2], который к решению уравнений Навье—Стокса применил метод последовательных приближений, разлагая поле потока в ряд по степеням критерия Рейнольдса. Однако это решение противоречило граничным условиям вдали от сферы. Причину трудности раскрыл Озеен [3] отношение отброшенных инерционных членов к вязким — порядка Re-а (оно мало вблизи тела при малых Re, но становится сколь угодно большим вдали от него). Решение Стокса уже непригодно в тех областях, где Re имеет иорядок единицы. Озеен для решения подобной задачи использовал линеаризованную форму инерционных членов, заменив uVu на vVv. Уравнения Озеена имеют решение, пригодное во всем иоле течения при Re 1 и совпадающее вблизи сферы с решением Стокса. Согласно Озеену, коэффициент сопротивления для твердой сферы может быть вычислен по формуле [c.248]

Программа моделирования на цифровой ЭВМ. Программу моделирования реактора на цифровой ЭВМ применяли для интегрирования уравнений материального и теплового баланса реактора идеального вытеонения. Численные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений получали методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Всю систему дифференциальных уравнений интегрировали по длине реактора и получали концентрационные и температурные профили. Основная программа была управляющей, а уравнения скорости реакций и термодинамические характеристики вычисляли в подпрограмме 5иЬги11пе. В этой подпрограмме реализуется печать результатов каждого шага интегрирования, содержащих информацию по составу и температуре. Кроме того, рассчитывали и печатали значения выходов, селективностей и степеней превращения. Таким образом, имелась подробная информация по ходу моделирования для широких диапазонов изученных условий. [c.292]

Теория возмущений — широко применяемый метод приближенного решения различных физических задач, состоящий в следующем 1) уравнения для исследуемой системы сводятся к более простым (не-возмущенньш), которые могут быть решены точно, и 2) находятся поправки (возмущения), которые обусловлены малыми членами уравнений, отброшенными при решении упрощенной задачи. Точность метода определяется тем, в какой степени для исследуемой системы справедливо допущение о малости возмущений. Теория возмущений играет существенную роль в квантовой механике при решении уравнения Шредингера в небесной механике она служит, например, для решения задачи трех тел и др. Ниже рассматривается вариант теории возмущений в применении к расчетам свободной энергии жидкости. [c.383]

Применение этого метода решения для других задач представлено в [161, 169]. Если решение осуществляется переходом к нестационарной задаче, то стационирование заканчивается, когда uj - uj < е, где е - точность расчета, которую необходимо подобрать. Часто достаточно принять е 10 - 10 от интервала. изменения и. Поскольку при стационировании процесса с использованием уравнения (3.51) интересует не переходный режим, а конечное, стационарное состояние, то Ai можно выбирать достаточно большим, лишь бы значеш1я искомых переменных в процессе расчета не выходили за пределы их изменения, например, чтобы степень превращения была в интервале 0 1, достаточно взять большое Д/, и если значение степени превращения вышло [c.113]

Количество паровой фазы, образовавшейся из общего колнче ства исходных веществ, зависит от начальной концентрации, температуры и давления. Методы расчета, применяемые для определения количества паровой и жидкой фаз, достаточно просты для двух- и трехкомпонентных смесей. В случае большого количества компонентов решение затрудняется, так как получаются системы уравнений третьей или более высокой степени. Их решение возможно графическими методами и с применением ЭВМ. [c.38]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

Таким образом, для составления векового уравнения в раскрытом виде необходимо найти все коэффициенты Вц перехода от декартовых координат к внутренним (построить матрицу преобразования В), затем, согласно (П4.23), найти элементы матрицы О и по (П4.24) вычислить произведения соответствующих миноров определителей [ С и / . Следует отметить, что число необходимых миноров очень быстро растете увеличениемЛ . Вильсоном[4290] в формуле (П4.24) были сделаны дальнейшие упрощения для тех случаев, когда молекула содержит атомы с одинаковыми массами. Решение уравнения в случае симметричных молекул может быть упрощено введением координат симметрии. В этом случае уравнение для А распадается на несколько уравнений низших порядков. Раскрытая форма векового уравнения удобна тем, что к ней легко применить приближенные методы решения. Один из них — метод отделения высоких частот [4290, 4292, 4293]. Этот метод основан на том эмпирическом факте, что некоторые колебательные частоты в действительности определяются лишь небольшим числом силовых постоянных и очень слабо зависят от остальных (существование характеристических частот, большое различие в величинах частот одной молекулы и т. п.). В этом случае уравнение можно решить раздельно для высоких и низких частот. При решении для низких частот уравнение следует разделить на произведение из всех входящих в него больших силовых постоянных при условии, что большие силовые постоянные стремятся к бесконечности. Тогда члены, в знаменатель которых входит большая силовая постоянная, пропадут, и порядок уравнения, соответствующего низким частотам, понизится (на число больших силовых постоянных). Соответствующее уравнение для высоких частот можно получить, если положить все малые силовые постоянные равными нулю. В этом случае степень уравнения также понизится. [c.977]

Программа МАТ21 дает решение обыкновенного дифференциального уравнения первой степени методом Рунге — Кутта. [c.243]

У1 ( А + 1) У ( а) б г 4, г ( 2, г + 3, /)) = П. Программа М.АТ22 дает решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений первой степени методом Рунге — Кутта. [c.245]

Кроме вышеприведенных теорий свободного объема, два совершенно различных приближения позволили объяснить термодинамические свойства жидкостей. Во-вторых, это общая структурная теория [17], которая исходит из допущения, что жидкость похожа на твердое тело, за исключением того, что в ней существует большое число дырок , которые придают газоподобные степени свободы соседним молекулам во-вторых, теории, основанные на вычислении радиальной функции распределения [5, 34]. Вычисление радиальной функции распределения включает решение некоторых очень сложных интегральных уравнений, поэтому метод развивался весьма медленно, без згчета принципа суперпозиции Кирквуда [33], вплоть до недавних работ Мирона [41], де Бура [37], Морита [45] и др.- [c.84]

Таким образом, мы свели задачу стационарного течения к чисто кинематической задаче. Если дано любое математическое решение уравнений (11), (9) и (7 ) и если посредством уравнения (8) определено поле давления при О = О, то уравнение движения (2) удовлетворяется автоматически. Очевидно, что задача Неймана из 4 получается как предельный случай при с->оо. Допуш.ение (Р), таким образом, позволяет получить гораздо больше, а именно, что решение можно разложить по степеням (метод Рэлея — Янцена, [15], стр. 275). [c.25]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология