Выбор в методе Ньютона

Последовательность матриц Я,- в этом случае определяется характером применяемого метода, причем Я,- могут зависеть от производных функции f х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,- в (1,43) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Я,- = т. е. [c.27]

Подставляя выражение для х из (11,73) и используя (11,74), можно легко убедиться в справедливости (11,72). Отсюда ясен смысл выбора матрицы Р в виде (11,70) на шаге I = кп к — целое число). Если функция близка к квадратичной, то в соответствии с (11,71) матрица Р,- (11,70) будет близка к обратному Гессиану. Следовательно, применение ее может дать направление, близкое к направлению метода Ньютона [см. (Б.8)]. [c.46]

В методах первого порядка вектор направления обычно определяется из соотношения (1,41). В этом случае последовательность матриц Я определяется характером применяемого метода, причем в формировании Я участвуют производные функции / (х) не выше первого порядка. Методы второго порядка допускают зависимость Я,-в выражении (I, 42) от вторых частных производных минимизируемой функции. Например, классический метод Ньютона соответствует выбору Не = т. е. [c.17]

Очевидно, что достаточно вычислить два интеграла в формуле (3.107), чтобы затем получать решения для любого а. практически без дополнительных вычислительных затрат. Таким образом, в процессе вычислений фактически проводятся лишь итерации алгебраического уравнения (3.108), которое решается методом Ньютона. Выбор этого метода обусловлен тем, что при а = 1 аппроксимирующий потенциал является разложением исходного потенциала в ряд Тейлора до второго члена и при малых приращениях дает удовлетворительное приближение. Следовательно, а должно быть близко к 1. Известно, что если в начальном приближении мы находимся недалеко от корня, то метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью. Использование уравнения (3.107) дает возможность записывать необходимые в методе производные по параметру а в аналитическом виде. й [c.81]

Успешное применение данного метода зависит от правильного выбора начальных значений а и проведения анализа зависимости f х >) = О в окрестностях корня. Метод Ньютона дает быструю сходимость, однако не всегда обеспечивает решение задачи. [c.155]

Математическое описание модели динамики работы атмосферных блоков основано на известной программе расчёта сложных ректификационных колонн модифицированным методом релаксации, в котором расчёт ступени контакта выполняется по уравнениям однократного испарения методом Ньютона-Рафсона. Выбор метода расчёта связан с тем, что этот метод позволяет рассчитывать ректификационные колонны, как по теоретическим ступеням контакта, так и по реальным контактным устройствам с учётом их тепломассообменной эффективности. [c.45]

Использование метода Ньютона—Рафсона для решения нелинейных задач Коши требует, разумеется, большего объема вычислений и, следовательно, больших затрат машинного времени, чем предыдущий метод шаговой линеаризации. Выбор любого из этих подходов должен определяться в каждом конкретном случае в зависимости от исследуемых процессов теплообмена, требуемой точности решения, возможностей используемой ЭВМ. [c.174]

Выбор новых значений потоков и температур зависит от принятого метода сходимости. В качестве метода сходимости при решении системы уравнений (6.20) в настоящее время используется метод простых итераций и метод Ньютона (метод линеаризации). Рассмотрим более подробно некоторые практические аспекты применения обоих методов сходимости, [c.289]

Поскольку тр,- (0), I = 1,. . п) не имеют физического смысла, вопрос о выборе начального приближения для них может вызвать определенные затруднения. Большое значение может иметь предыдущий опыт решения подобных задач. Как уже указывалось (см. стр. 81), для определения начальных приближений в методе Ньютона возможно применение методов первого порядка. [c.160]

Исходную систему уравнений преобразуют в полиномы высокого порядка или системы нелинейных уравнений. Они могут быть решены только численными методами с применением ЭВМ. Расчет по полученным полным уравнениям кислотно-основных взаимодействий можно осуществлять при любом сочетании параметров математической модели, в том числе и в случаях, когда применение приближенных формул затруднено или дает неправильные результаты. Приведение системы к полиному или системе с минимально возможным числом уравнений значительно упрощает процесс программирования по сравнению с программированием исходной системы уравнений. При разработке алгоритма расчетов в итерационную схему включена корректировка средних коэффициентов активности ионов. Были разработаны алгоритм и программа расчетов равновесных концентраций ионов и кривых потенциометрического титрования электролитов [37]. Полученный полином или система решается итерационным методом Ньютона Рафсона, причем в программе предусмотрен автоматический выбор работающих членов полинома или системы уравнений. Обращение к числам очень малого порядка осуществляется путем их логарифмирования и последующей нормализации. [c.8]

В работе [628] в процессе счета производится автоматический выбор преобладающих компонентов, что улучшает сходимость метода. Для корректировки величин парциальных давлений к уравнениям закона действующих масс применяется метод Ньютона. [c.31]

Как видно, в программах, обеспечивающих автоматизированный выбор преобладающих компонентов в качестве независимых, необходимо предусматривать решение ряда задач, не связанных непосредственно с решением уравнений химического равновесия. Такое усложнение программ оправдано, по мнению ряда авторов, улучшением сходимости метода Ньютона. В то же время, многолетний опыт авторов Справочника 1[6, 17, 23, 25] свидетельствует об успешном применении в расчетах равновесного состава продуктов сгорания топлив алгоритма, в котором в качестве независимых компонентов выбираются атомы. [c.34]

В этом случае метод Ньютона применяется к полной системе уравнений химического равновесия, состоящей из уравнений закона действующих масс, сохранения вещества и закона Дальтона (нормировки). Применяя метод Ньютона к этим уравнениям, получим систему уравнений, линейных относительно поправок А,. Оптимальным сочетанием выбора неизвестных (парциальные давления, мольные доли, логарифмы парциальных давлений и т. д.) и формы записи исходных уравнений можно представить наиболее простой вариант записи линеаризованных уравнений закона действующих масс в виде 1[17, 25, 772] [c.34]

Позднее этот метод был распространен [350] на случай Многокомпонентной системы, равновесие в которой описывается моделью вида (38). Как и во всех других модификациях метода Ньютона, в данном случае стоит задача выбора хорошего начального приближения и демпфирования приращений по итерируемым переменным в тех случаях, когда значения производных очень велики. В алгоритме использован метод расчета начального профиля концентраций, основанный на применении линейных равновесных соотношений вида [c.170]

Подобным образом были проведены расчеты поверхностного натяжения жидкостей. Применение современных ЭВМ позволяет по данным о е(г) проводить абсолютные расчеты свойств жидкостей. При этом в основном используют два метода. По первому методу молекулярной динамики решаются уравнения Ньютона для коллектива частиц, связанных энергией взаимодействия и обладающих некоторой заданной энергией. Такие расчеты удается делать для больших коллективов частиц (порядка тысяч). По второму методу — методу Монте — Карло — рассчитывают общие суммы состояния системы при заданной энергии взаимодействия и выборе возможных конфигураций расположения молекул друг относительно друга. С помощью ЭВМ были рассчитаны Я(г) термодинамические функции, вязкость, диффузионные характеристики и др. Кроме того, удалось определить характеристики траекторий определенных частиц. Оказалось, что частицы осуществляют весьма малые как бы дрожательные движения, в которых участвуют соседи. Поэтому понятия блужданий в жидкостях приобретают другой смысл, так как в них сразу участвует большое число частиц. Атом смещается тогда, когда его соседи в результате подобного коллективного движения освободят ему место. Теория диффузии в жидкостях, основан- [c.214]

Этот короткий рассказ можно начать с задачи о брахистохроне. Ее автором является Яков Бернулли, а решил ее, согласно математическому фольклору, сам Ньютон, отвлекшись на один вечер от повседневных забот директора монетного двора. В задаче требуется найти форму кривой скорейшего спуска в вертикальной плоскости, предполагая, что по этой кривой скользит без трения тяжелая точка. Метод, которым воспользовался Ньютон, оказался применимым к обширному кругу задач и положил начало вариационному исчислению и теории оптимального управления. Для нас, однако, важно, что Ньютон свел задачу о брахистохроне к решению некоторого дифференциального уравнения. Возникла ситуация, которую можно описать следующим образом. Были обнаружены задачи об оптимальном выборе функции, эквивалентные задачам о решении системы дифференциальных уравнений. Если основным объектом исследования являются дифференциальные уравнения (или их системы), то полезно помнить, что может существовать эквивалентная оптимизационная задача. Так, Лагранж показал, что в отсутствие трения все уравнения механики можно свести к одному типу оптимизационных задач. Это открытие получило название принципа наименьшего действия. Впоследствии данный принцип был распространен на уравнения Максвелла и на многие другие разделы физики. Таким образом, мы столкнулись с еще одним классом двуликих задач. [c.137]

При выборе стандартного аппарата или при его конструировании основным параметром является мощность, затрачиваемая на перемешивание [1-4, 7, 53]. Вывод обобщенных формул для расчета мощности обычно базируется на методе анализа размерностей, теории подобия или формуле Ньютона для силы сопротивления среды [5, 6]. Все методы дают один и тот же вид расчетных зависимостей. [c.477]

Выбор метода расчета. Как отмечалось выше, в качестве критерпя эффективности итерационного метода нужно взять параметр Л/, поскольку стремление уменьшить число итерации за счет применения сложных методов может увеличить время расчета на одной итерации и в конечном итоге — параметр М. Сравнительный анализ вычислений, выполненный для отделения ректификации производства стирола методами простой итерации, Ньютона и Вольфа (см. главу И ) показал (табл. 23) [c.304]

В другой работе В. Г. Громова [36] применепа 9-точечная разностная симметричная трехслойная схема, исследованная в [35]. Система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом Ньютона. В качестве нулевого приближения в методе Ньютона использовался результат экстраполяции по двум предыдущим слоям. При таком выборе начального приближения достаточно проводить лишь одну итерацию. С помощью этого метода были рассчитаны параметры ла Минарного пограничного слоя на осесимметричном затупленном теле в смеси N, О, N0, 0 и N2 с учетом шести реакций в газовой фазе. Коэффициенты переноса и массовые диффузионные потоки рассчитывались по формулам Гирш- [c.233]

Виды уравнения. Помимо уравнений, разрешимых относительно давления, в табл. 1.9 приводятся также полиномиальные уравнения, разрешимые относительно объема и критической сжимаемости. Уравнения приведенного вида удобны тем, что их можно сравнивать с другими уравнениями. Способ нахождения корней полиномиальных уравнений проиллюстрирован в примере 1.3. Конкретный вид уравнения зависит от выбора пары трех переменных. Уравнения (9) и (10) (см. табл. 1.9) для Лиг предложены Редлихом и Квонгом для решения этих уравнений практически всегда применима прямая итерация для ускорения сходимости можно прибегнуть к методу Вегштейна. Корни полиномиальных уравнений легко находят методом Ньютона — Рафсона, приравнивая вначале сжимаемость пара к единице, а сжимаемость жидкости — к нулю. Кроме того, все три корня можно установить методом Кардана. Для ЭВМ фирмы Не у1е11-Раскагс разработана программа нахождения действительных и комплексных корней полиномиальных уравнений. В примере 1.13 показано применение этой программы для определения корней уравнения для пропилена в определенном интервале давлений насыщения. [c.54]

Методы расчета процесса ректификации. Существующие методы расчета процесса можно разделить на две группы, отличающиеся выбором неза-висимьгх переменных, — составов продуктов разделения и температур на каждой тарелке. К первой группе относится метод расчета от тарелки к тарелке , ко второй метод Ньютона, а также метод релаксации. Кроме того, разработаны комбинированные методы, включающие как методы первой группы, так и второй. [c.261]

Листер и др. 5 рекомендуют метод расчета на вычислительной машине, который быстро приводит к правильному решению. Они использовали метод Тиле и Гедде для расчета предварительных величин отношений скоростей отбора кубового продукта и дистиллята (bld) для каждого компонента, и эти величины исправлялись затем таким образом, чтобы была получена требуемая общая скорость отбора дистиллята и соблюдался общий материальный баланс. Исправления производились с помощью множителя 0, который одинаков для всех компонентов, по соотношению (0/й)испр = 9 (b/d) принят. Выбор величины 0 осуществлялся с помощью обычной вычислительной машины, в которой применяется метод Ньютона. Эти же авторы рекомендуют два коррелирующих метода , которые позволяют быстрее достигать сходимости и получать точный ответ. Первый из них заключается в улучшении методики установления профиля температур, а второй — в компенсащ1и отклонений расчетных величин скоростей отбора дистиллята. Эти отклонения возникают в третьем приближении, когда впервые используется тепловой баланс. Применение расчетной методики несложно, и авторами были получены сходящиеся решения более чем для пятидесяти примеров. Обширный опыт, лежащий в основе метода Листера, и хорошие результаты делают его чрезвычайно заманчивым для широкого применения при ректификации углеводородов. Детальное програмгйироваиие по методу Листера осуществлено для вычислительной машины 1ВМ-705 [c.363]

Пусть для к го блока функция (и) имеет вид, представленный на рис. 65. Слабому принципу максимума удовлетворяют следующие точки uW, u k) (координаты стационарных точек, являющихся локальными максимумами), (координата точки перегиба), (координата локального максимума, лежащего на границе допустимой области), Ц >, (координаты стационарных точек, являющихся локальными минимумами, лежащими внутри допустимой области). Если бы для каждого к функция (и) имела бы только одну подозрительную точку (т. е. точку, удовлетворяющую условиям слабого принципа максимума), то единственным осложняющим моментом для дискретной системы была бы необходимость одновременного решения условий слабого принципа максимума и уравнений преобразования для блоков сопряженного процесса [(VIII,103) и (VIII,104)]. В обоих случаях можно было бы воспользоваться методом Вольфа, методом квазилинеаризации или методом Ньютона. Однако если функция (и) имеет при некоторых к несколько подозрительных точек, то процедура значительно затрудняется. Действительно, пусть мы с помощью какого-нибудь метода, например метода Ньютопа, решаем краевую задачу и у нас при каждом к функция Я (и) имеет т подозрительных точек. Тогда для JV блоков будем иметь m " вариантов выбора управлений и для каждого из вариантов должна быть решена краевая задача. Если числа т ж N невелики, то можно воспользоваться простым пере-бором. Однако для больших т ш. N простой перебор всех вариантов может привести к катастрофически большому количеству операций. [c.250]

Как было показано ранее, уравнения (VII.7) имеют единственное решение в области неотрицательных концентраций компонентов. Поэтому в программе РАВНОХИМ вначале строится область для /, где все значения а затем в этой области — важнейший момент алгоритма—выбирается начальное приближение искомых значении В этом выборе начального приближения используются следующие особенности уравнений (VII.7). Правая часть каждого из уравнений — дробь, в знаменателе которой стоят концентрации некоторых компонентов в соответствующих степенях (поэтому вблизи нулевой концентрации эти дроби стремятся к оо), а также то, что гиперповерхность Ф( ) является выпуклой вблизи точки равновесия (Зельдович Я. Б., 1938). В результате наиболее быстрый по Сравнению с другими методами метод Ньютона практически всегда обеспечивает решение системы (VII.7), поскольку требуемый в этом методе Якобиан системы (VII.7) определяется аналитически. [c.432]

Для общих расчетов при помощи обсуждаемых здесь соотношений служат функции и (уравнение 4.6), чтобы определить нулевые точки. Выбор переменных (величин х) может осуществляться для различных ограничительных условий в соответствии с практической задачей. Для решения пригоден, например, метод Ньютона, который позволяет получать лучшие результаты. Проблема состоит в том, что для получения новых значений переменных х расчеты детерминант не отвечают сингулярной матрице Якоби (матрица производных дР1дх). Однако не исключается появление сингулярных точек, если начальные значения заметно удалены от области расслоения или лежат внутри гетерогенной области, прежде всего в нестабильной области. [c.108]

В работе 89] дано описание алгоритма проектного расчета многостадийных противоточных процессов. Метод основан на использовании понятия равновесной стадии, которой ставится в соответствие реальная ступень контакта фаз, причем конструкция контактного устройства подбирается таким образом, чтобы была обеспечена эффективность стадии, которая рассчитывается заранее. Указанный алгоритм не рассчитан на учет обратного перемешивания между стадиями, но позволяет рас-считыцать многокомпонентные системы с нелинейной равновесной зависимостью. В основу алгоритма положен метод Ньютона-Рафсона, использующий кусочно-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели процесса, в которую входят ра вновесная зависимость, покомпонентный и общий материальные балансы на стадиях, суммирующие уравнения (сумма мольных долей всех компонентов на каждой стадии равна единице) и баланс энтальпий или энергетический баланс. Кусочно-линейная аппроксимация позволяет получить решение стандартным матричным методом в пределах интервала, в котором справедлива линеаризация. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двум растворителями — хлороформом и водой В экстракционной колонне с 15 ступенями разделения. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итерации- внутренний итерационный цикл, который заключается в расчете профиля концентрации по обеим фазам при заданных расходах обоих растворителей, и внешний итерационный цикл, который заключается в выборе составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту, путем коррекции по расходам растворителей. Для достижения сходимости внутреннего итерационного цикла требуется от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава продуктов требовалось 14 коррекций по расходам одного или обоих растворителей. [c.128]

Для приближенного решения уравнений используют различные методы метод проб, метод хорд, метод касательных етод Ньютона), метод итераций [46, 47]. Оценивая достигаемую эффектнвнЛть использования методов приближенного решения уравнений, следует отметить, что наиболее эффективным, и потому наиболее распространенным, является метод Ньютона. Его применяют для решения любого уравнения с одним неизвестным, но он особенно удобен при решении многочленных уравнений высоких степеней. Правда, эффективное использование этого метода требует предварительного знания приближенного значения корня или хотя бы порядка его величины. Метод хорд менее Эффективен, но его удобно использовать для решения уравнений, когда порядок величины корня неизвестен и за начальное приближение корня берут одно из крайних значений интервала изоляции корня. Метод пробных подстановок является самым простым из рассмотренных, и при удачном выборе последовательных приближений он тоже может оказаться достаточно эффективным, но все же этот метод целесообразен лишь для определения порядка величины корня. Очень эффективен комбинированный метод, основанный на совместном использовании различных методов приближенного решения уравнений. Например, если применять совместно метод хорд и метод касательных, то интервал изоляция будет сужаться с обоих концов и это ускоряет процесс вычисления корня с заданной точностью. С достаточной эффективностью можно сочетать метод проб с методом Ньютона или методом хорд. [c.20]

Сходимость этого простого итерационного метода очень слаба для больших относительных значений X-, а когда значения Х иХ одного порядка, то этот метод может оказаться пе сходящимся при некотором выборе компонентов. Более сильную вычислительную процедуру дает метод Ньютона — Рафсона [7, стр. 178, 187]. Уравнепие (2.28) мон ет быть паписано в виде [c.73]

В последующих работах способ применения метода Ньютона, как наиболее эффективного Пути решения систем алгебраических уравне ний, был в той или иной мере усовершенство ван в смысле обобщения формы записи ис ходных уравнений, выбора формы представле кия неизвестных, преобразования уравнений Различные варианты применения метода Нью тона рассматриваются в работах [6, 17, 23, 25, [c.32]

Первую группу образуют градиентные методы. Хотя главным условием является нахождение точки, в которой первые производные по конформационным переменным равны нулю, а вторые производные больше нуля, некоторые методы ие требуют ЯВ1ЮГ0 вычисления производных. Эти методы можно рассматривать как семейство процедур, отличающихся спосо бом преобразования /+1 — Е( (здесь I и 1+1 отвечают соседним точкам конформациоиного пространства) для вычислении производных в точке I и выбора конформации Х+ь Метод наискорейшего спуска является одним из самых простых, но пользуется большой популярностью в конформационных расчетах в связи с хорошей сходимостью результатов. Недостатком метода считается его невысокая скорость. Метод Ньютона — Рафсона отличается большей сложностью и требует вычисления вторых производных, тем ие менее в настоящее время подобные методы используются достаточно часто. Метод Флетчера — Ривса позволяет обходиться без вычисления вторых производных, а информацию о кривизне энергетической поверхности получают с помощью использования квадратичных форм приближения. Методы Давидона [9] и Флетчера — Пауэлла [11] используют преимущества как процедуры Ньютона — Рафсона, так и процедуры Флетчера — Ривса. Перечисленные методы достаточно эффективны, но имеют недостаток поиск прекращается в любом из локальных минимумов. Действительно, выход из минимума невозможен ввиду принципиальных особенностей алгоритмов указанного типа. [c.579]

У/, удовлетворяющих граничные условия на другой границе, осуществляется путем "стрельбы" от одной границы слоя до другой. Обычно при использовании этого метода возникает необходимость в его модификации путем применения метода Ньютона [119], метода дополнительной прогонки [119] или повторной стрельбы [125]. Эти модификации связаны с численной неустойчивостью метода стрельбы и его сходимостью лишь в узкой окрестности решения [126]. Поэтому большое значение в реализации метода имеет выбор начального приближения. В работах [125, 127] в качестве такого приближения берется гольдмановская аппроксимация постоянного поля. В [81-83, 121] проблема решается путем последовательного решения краевой задачи с возрастающим значением плотности тока /, рассматриваемого как параметр, изменяющийся ступеньками с [c.280]

Первый метод основан на использовании уравнений стационарного пламени в эйлеровых координатах. Вторая форма этих, уравнений получается при опускании производной по времени в уравнениях типа (4.19) (ср. с лагранжевым представлением,, когда в левой части опускается производная по пространственной координате). Ход вычислений в основном совпадает, как показано в [99], с алгоритмом решения нестационарных уравнений, за исключением того, что шаги по времени заменяются итерационными шагами по методу Ньютона в направлении решения. Скорость сходимости, если последняя имеет место, весьма велика, однако вычисления с непосредственным применением схемы Ньютона могут оказаться неустойчивыми, поскольку отсутствует стабилизирующее влияние члена, связанного с производной по времени, при малых (или при больших значениях Р в уравнении (4.23) и в соответствующих конечно-разностных уравнениях). Для уменьшения чувствительности алгоритма к выбору начального приближения возможно, конечно, применение релаксационного метода, такого, например, как использовавшийся в работах [54, 19]. Однако более важным оказывается то обстоятельство, что область сходимости для алгоритмов расчета стационарного пламени увеличивается вместе с загруб- [c.102]

Избежать деформации пространства удается также при реализации регуляризованных процессов типа Канторовича — Ньютона [1]. Один из таких процессов известен как метод Марквардта [ИЗ] и заключается в выборе [c.217]

Наряду с рассмотренными имеются также и другие поисковые процедуры (так, например, метод Дэвидона — Флетчера — Пауэлла, метод Гаусса-Ньютона и др.). Методам численного поиска посвящена обширная литература [128—131], где детально освящены такие вопросы, как выбор направления движения, движение при наличии ограничений, сходимость процедуры и т. д. [c.325]

Методы, не использующие производные. Рассмотрим алгоритм [94]. Идея его заключается в том, чтобы на основе метода Гаусса — Ньютона создать метод, пе требующий вьгаисления точных производных Конечно, можно было бы воспользоваться разностной аппроксимацией производных (1,51). Но это приведет к ряду трудностей, связанных с выбором Дх/ и с большим числом вычислений функции f [х). [c.139]

Сходимость способа Ньютона — Рафсона рекомендуется исследовать путем непосредственного применения этого метода к решению различных задач, стояш их перед исследователем. Следует изучить использование различных начальных значений переменных. Если интерес представляют только положительные значения корней, а при промежуточном приближении получаются отрицательные значения перемеьных, необходимо предусмотреть возможность выбора новых значений переменных для следующего приближения. Как уже указывалось, целесообразно непосредственное испытание способа в отношении сходимости, так как труднее аналитически доказать сходимость или несходимость способа Ньютона — Рафсона для данной системы уравнений, чем найти конкретные условия, при которых получалась бы сходимость до желаемого результата для одних начальных условий и несходимость для других. [c.22]

Поправки на иеидеал ьность жидкой и паровой фаз наход [т по уравнениям (II, 73) —(И,77), причем уравнение (11,77) — ] убп-ческое относительно к — решается аналитически по формулам [Кардано с выбором наименьшего корпя, соответствующего паровому состоянию. Если уравнение (11,77) имеет только одни Д( Й-ствительный корень, соответствующий жидкому состоянию = 0,27), то осуществляется переход к более высокой телшературе. Шелтон н Вуд решали уравнение (11,77) численными методами с и пoлI.зoвaыиo r итераций Ньютона, однако в ых алгоритме нет операций по выделению корпя, относящегося к паровой фазе, что может приводить 1 ошибкам в вычислении констант равновесия . [c.48]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Метод проб и ошибок, использованный Рудманом [5], состоит в произвольном выборе пар значений неизвестных во всем диапазоне возможных концентраций с последующим отбором тех пар, которые наилучшим образом соответствуют системе уравнений (8.37). Эта процедура требует много времени альтернативный метод, основанный на итерационной технике Ньютона-Рафсона был предложен Кауфманом и Бернштейном Ы. Их м етод состоит в выборе пар приблизительно равновесных, концентраций Х к Х с последующим расчетом более точных значений Х [ Х [c.202]

Влияние псевдопластичности. Для лакокрасочных материалов, вязкость которых не подчиняется закону Ньютона при низких скоростях сдвига, стекание, подобно описанному выше, может не наблюдаться. Кажущаяся вязкость псевдопластичиых лакокрасочных материалов при скорости сдвига 1 сек достигает 100 пз. Такие краски не стекают тотчас же после нанесения кистью на поверхность, а испарение растворителя препятствует дальнейшему стеканию. То. что псевдопластичность предотвращает под-текообразование, можно показать, поместив пластинку с ианесеп-ной краской в прозрачную камеру, содержащую пары растворителя. В этом случае краска не стекает, хотя продолжает сохранять почти весь растворитель. Этим можно воспользоваться для предотвращения стекания, что достигается использованием специальных пигментов или выбором подходящего связующего, обеспечивающего псевдопластичность лакокрасочной композиции только при низких скоростях сдвига (рис. 13.15). Метод, однако, имеет тот недостаток, что кажущаяся вязкость при низких скоростях сдвига оказывается слишком высокой для обеспечения рас- [c.428]

Важным результатом расчетов методом молекулярной динамики с помощью потенциальных функций является возможность определения сил, действующих на каждую частицу. Это просто выполнить, вычисляя производную от энергии как функцию от координат. Зная массу ядер, можно по закону Ньютона (сила = масса-ускорение) вычислить ускорение и далее координаты, момент и кинетическую энергию каждой частицы через короткий фиксирова1П1ый отрезок времени. В отличие от тpaдициom ыx методов поиска наиболее выгодных конформа-ций (1 наименьшей энергией исследователь не может в данном случае производить свободный просмотр конформаций. Применяемый алгоритм основан па законе Ньютона, а выбор очередной конформации происходит вынужденным образом. Простота закона Ньютона определяет и простоту основного алгоритма, но на практике применяют модифицированные алгоритмы, обеспечивающие нужную скорость и точность вычислений. Наиболее популярный из них [2] отличается простотой, скоростью и надежностью. Помимо задания начальной конформации и вида потенциальных функций (для численного решения уравнений), алгоритм требует знания начальных скоростей частиц и ограничения отрезка временного интервала. Слишком большой интервал экономит расчетное время, но не обеспечивает плавного изменения потенциальной и кинетической энергии. Начальные скорости частиц необходимо задавать, так как средняя кинетическая энергия определяет температуру системы. Нет смысла выполнять вычисления при абсолютном нуле или при очень высокой температуре, когда большая часть энергии стартовой конформации превращается в кинетическую энергию системы. [c.572]