Функция распределения в пространстве простого

X. Функции /д(л , V, т) и (х, v, т) называются плотностью функции распределения в фазовом пространстве, а короче — функциями распределения или просто распределениями. При [c.17]

Каждая из перечисленных в табл. 8-1 орбиталей, характеризуемая определенными значениями квантовых чисел и, / и т, соответствует различной функции распределения вероятности электрона в пространстве. Простейшие из таких функций вероятности соответствуют -орбиталям (/ = 0) и являются сферически симметричными. Вероятность обнаружения электрона в -состоянии одинакова во всех направлениях, но изменяется с расстоянием от ядра. Зависимость VI и плотности вероятности Ц от расстояния электрона до ядра для 1 -орбитали графически изображена на рис. 8-18. Сферическая симметрия этой орбитали более наглядно показана на рис. 8-19. Величину можно понимать как вероятность обнару- [c.367]

Поскольку в статистической механике распределение систем в данный момент времени определяется лишь функцией распределения в бЛ -мерном фазовом пространстве (и не требуется задания ее временных производных), то принцип причинности можно формулировать следующим образом если в некоторый начальный момент задано распределение числа систем между различными пространственными координатами и импульсами частиц, то уравнение, описывающее изменение во времени такого распределения, позволяет определить распределение систем по заданному начальному в любые последующие моменты времени. Простые соображения [c.176]

Перейдем к вычислению функции распределения трехмерной, изогнутой в пространстве цепи. Решить эту задачу можно различными методами. Самый простой из них заключается в применении уравнения броуновского движения Эйнштейна. Удобство этого метода в том, что задача сводится к решению общеизвестного уравнения диффузии. [c.58]

Однако простота формулы (В.3.17) кажущаяся. Несмотря на то, что функции /1 и /2 гораздо более просты, чем / (хотя бы по той причине, что они зависят от значительно меньшего числа аргументов), задача о нахождении их явного вида чрезвычайно сложна. Тем не менее для функций /ь /г и для всех других коррелятивных функций /п , п == 3, 4,. . ., непосредственно из уравнения Лиувилля, как указывалось в начале раздела, удается получить систему уравнений, описывающих их изменение во времени и в пространстве (см., например, [17, 18]). Эта система уравнений получила название цепочки уравнений Боголюбова. Термин цепочка подчеркивает тот факт, что уравнения, входящие в эту систему, зацеплены между собой. Так, в уравнение для коррелятивной функции распределения п-то порядка входят слагаемые, содержащие коррелятивную функцию (л+1)-го порядка. Несмотря на то, что каждое уравнение в цепочке уравнений Боголюбова является незамкнутым, эта система уравнений оказывается чрезвычайно полезной при решении многих задач статистической физики. [c.36]

Далее Эйген и Викке применяют формулу (169) к относительному распределению ионов около центрального иона. Одинарные функции распределения щ заменяются на бинарные функции Пц. Затем авторы вводят допущение, что при описании распределения ионов первого вида можно не рассматривать пространство, вытесняемое ионами второго вида, т. е. что различные ионы распределяются независимо друг от друга. Если имеются ионы двух видов в одном электролите, то как бы предполагается тем самым, что гидратные оболочки противоположно заряженных ионов способны взаимно проникать друг в друга. В формулах (169) пренебрегается перекрестными членами после такого преобразования их используют для вычисления относительных молекулярных распределений. Анализ исходных допущений, принятие которых необходимо для сохранения смысла этих получившихся преобразованных формул, приводит к тому, что вся теория начинает казаться сомнительной. Однако Эйген и Викке имели в виду только разработку простого и [c.50]

Функция распределения или плотность вероятности полностью характеризует (с вероятностной точки зрения) случайную величину X. Но столь полная информация не всегда необходима часто бывает достаточно лишь некоторых численных характеристик случайной величины. Почетное место среди таких характеристик занимают так называемые моменты. Первый момент, обычно известный как среднее значение, или математическое ожидание, равен взвешенной сумме состояний случайной величины (каждое состояние входит в сумму с весом, равным вероятности, с которой реализуется состояние). Подчеркнем, однако, что случайная величина X и вероятность Р определены на двух различных объектах X задана на пространстве элементарных событий 2, Р — на а-поле Ф. В связи с этим необходимо сказать несколько слов об интегрировании по вероятностному пространству Q,sФ,P). Начнем с рассмотрения случайных величин особенно простого вида так называемых случайных ступенчатых функций [c.51]

Теорема Лиувилля для 6-мерного фазового пространства с учетом взаимодействия между частицами. Хотя доказать теорему Лиувилля для 6-мерного фазового пространства можно только в случае невзаимодействующих частиц, при наличии взаимодействия между частицами это можно сделать лишь приближенно. Корреляции между частицами обычно очень малы, так что поведение каждой частицы по отношению к данной группе координат тождественно поведению любой другой частицы, т. е. каждая из них испытывает действие со стороны всего коллектива частиц. В пределе бесконечного числа частиц с бесконечно малым, зарядом (так что суммарные поля всего коллектива частиц остаются конечными) одночастичная функция распределения описывает поведение системы точно. Это можно пояснить на примере системы заряженных частиц, стремящихся перестроиться так, чтобы остаться нейтральными и экранирующий потенциал которых, как следует из простых рассуждений, должен быть вида [c.39]

Задачи о течении разреженных газов представляют научный и прикладной интерес, но при решении большей их части провести линеаризацию невозможно. В качестве важнейшего примера подобных задач приведем нахождение поля течения вокруг тела (метеора или искусственного спутника) при входе его из космического пространства в атмосферу планеты. При таком течении основная часть газа движется со сверхзвуковой скоростью, причем вблизи тела поток характеризуется очень большими градиентами параметров газа, т. е. образованием ударных волн. Внутри ударной волны состояние газа настолько сильно отличается от равновесного и меняется настолько быстро, что единственный приемлемый подход для описания явления — использование нелинейного уравнения Больцмана. Прототипом этой задачи можно считать простейшую задачу нелинейной динамики разреженного газа, а именно расчет функции распределения внутри плоской ударной волны. К сожалению, несмотря на исключительно большое внимание к проблеме, результаты использования многих подходов для ее решения неудовлетворительны. [c.469]

Эффект неаддитивности имеет место и при рассмотрении возмущений второго порядка в том случае, когда электронные оболочки двух молекул перекрываются [73]. Все представленные выше результаты для дальнодействующих сил в действительности справедливы лишь в пределе при очень больших расстояниях. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, в выводах используется простое произведение волновых функций без обмена во-вторых, мультипольное разложение, используемое для возмущенной части оператора Гамильтона, справедливо лишь для точек пространства, расположенных вне области распределения заряда. [c.204]

Аналогия между функциями и функционалами Ляпунова настолько велика, что можно поставить вопрос об использовании последних для систем с распределенными параметрами для определения области устойчивости в пространстве функциональных состояний. Такая возможность в случае систем с сосредоточенными параметрами была прямым следствием того, что замкнутые контуры в пространстве состояний единственным образом связаны с каждым значением функции Ляпунова. Кроме обеспечения устойчивости в малом существование семейства контуров Ляпунова гарантирует, что траектории не покинут определенную область в пространстве состояний. Для проверки справедливости этого утверждения в случае пространства функциональных состояний рассмотрим простое функциональное уравнение (VII, 80) и заметим, что значение и соответствует площади под кривой профиля. Так как существует бесконечное число профилей х (г), которые дают ту же площадь [c.214]

Макроскопическое состояние системы будем определять заданием параметра X (X может означать и набор параметров так, в задаче о распределении частиц по объему это набор чисел N1.....частиц, находящихся, соответственно, в объемах Ух, У внутри сосуда). Параметр X зависит от координат и импульсов частиц, причем функция X (р, д) такова, что данному значению X удовлетворяет множество значений р и д и в фазовом пространстве заданному значению X отвечает не точка, а область. Рассмотрим для примера простейший вариант задачи о распределении частиц распределение двух частиц в направлении оси х между двумя половинами сосуда (рис. 12, а). Положение стенок сосуда фиксировано координатами л = О и X = I. Подпространство координат Хг и Х2 двух частиц представляет плоскость область допустимых состояний в этом фазовом подпространстве — квадрат со стороной I (рис. 12, б). Макросостояние определяем заданием чисел частиц и в каждой из половинок сосуда (Л 1 = 2). Возможны следующие макросостояния системы [c.63]

Вторая предварительная стадия заключается в вычислении распределения плотности в адсорбционном пространстве, т. е. в нахождении функции 5=А(ср). Эту зависимость можно получить, исключая из двух функций =/( - ) и = (5). Это означает просто, что находят по одной кривой значения а по другой кривой значения соответствующие одним и тем же значениям , и строят кривую зависимости от (р, . Так как имеется только одна -(р-кривая и столько -5-кривых, сколько точек на изотерме адсорбции, то имеется множество -р-кривых. Каждому давлению соответствует различное распределение плотности в адсорбционном пространстве. [c.152]

Связь в молекуле На по существу описана следующим образом. Были выбраны орбитали каждого атома г А и г[ в, каждая с одним электроном, и объединены волновые функции этих орбиталей в волновую функцию одновременно двух электронов, а именно я 5д(1) X Хя1 в(2)+ а(2)1 5в(1). Эту операцию называют спариванием электронов, и метод валентных связей (ВС) называют методом электронных пар. Существует другое важное значение этой операции, которое до сих пор нельзя было разобрать подробнее. Волновую функцию связанных электронов, подобно простой атомной волновой функции, можно описать набором квантовых чисел. Какими бы ни были эти квантовые числа, ясно, что оба связанных электрона имеют тот же набор, так как из характера уравнения (3.12) следует, что их распределение в пространстве идентично. Поэтому они должны отличаться по своим значениям т , для того чтобы удовлетворить принципу Паули. Назовем этот набор различных значений двумя электронами спариванием спинов или просто спариванием. В результате можно установить общее правило, заключающееся в том, что только тогда, когда происходит спаривание спинов, возникают силы притяжения и, следовательно, образуется электронная пара связи. Кривая е на рис. 3.1 соответствует изменению потении- [c.80]

Изучение клеточной организации и попытки установить связь между структурой и функцией на различных иерархических уровнях — от простых молекул до макромолекул и таких агрегатов, как мембраны или частицы, до субклеточных единиц и, наконец, клеток — все это составляет одну из самых увлекательных и перспективных областей исследования в современной биологии. Для биохимика и цитолога выяснение химического значения различных сложных структурных элементов, обнаруженных в клетке, важно не только само по себе оно является необходимой ступенью любого исследования, направленного на то, чтобы понять, как происходит синтез, распад и взаимодействие этих элементов. Мы начинаем догадываться, что именно в этих сложных структурах скрыт секрет механизмов, с помощью которых осуществляется регуляция клеточных процессов как в пространстве, так и во времени. Этот секрет, возможно, заключается, по крайней мере отчасти, в том, что различные клеточные компоненты — главным образом ферменты, а также их субстраты и модификаторы (активаторы и ингибиторы) — находятся в разных отсеках клетки и потому не всегда доступны друг для друга. Из сказанного вытекает два вывода, подтвержденных в последнее время многочисленными экспериментальными данными 1) в клетке существует четкое распределение некоторых ключевых компонентов, особенно ферментов они локализуются в (или на) определенных клеточных структурах, представляющих собой микроскопические внутриклеточные органы, так называемых органеллах 2) эти структуры, а вместе с ними и соответствующие клеточные компоненты можно выделить с помощью подходящих мягких методов разрушения клеток (гомогенизация) и последующего фракционирования. [c.239]

Мы нарушим здесь логический порядок изложения с тем, чтобы обсудить связь между формальной математикой и той физической ситуацией, которую пытаемся описать. В связи с постоянным совершенствованием вычислительной техники мы получаем возможность проводить более сложные расчеты электронных молекулярных волновых функций. Эти функции сложно зависят от координат и спинов всех электронов они обычно составляются из большого числа детерминантов, построенных из орбиталей, которые в свою очередь являются линейными комбинациями некоторых базисных функций, содержащих числовые параметры. Таким образом, непосредственное знание самих волновых функций еще не дает ясной и простой картины электронного распределения, или распределения электронов в молекуле, и не отвечает на вопрос о том, как это распределение определяет различные физические и химические свойства молекулы. Если же из знания волновых функций мы все же хотим лучше понять электронную структуру молекулы, определить то общее, что кроется за наблюдаемыми свойствами молекулы, а также хотим сравнить достоинства и недостатки разных способов теоретического описания молекулы, то мы должны попытаться извлечь из рассчитанных электронных молекулярных функций информацию о физически существенных характеристиках электронного распределения. Фактически, вся эта информация содержится в небольшом числе так называемых электронных функций плотности, которые обладают очень простой структурой. Например, функция электронной плотности зависит от координат одной-единственной пространственной точки, в то время как сама исходная волновая функция зависит от N четверок координат и спинов электронов в многомерном конфигурационном пространстве. В этой главе мы формулируем общее определение функций плотности [18, 24— 26] и детально рассматриваем наиболее важные из них, а именно функции электронной и спиновой плотности и парную корреляционную функцию. [c.102]

Следовательно, (1) просто умножает ф(х1) назначение потенциала в точке XI, того потенциала, который создается электронами, распределенными в пространстве согласно функции одноэлектронной плотности состояния 5 группы 5. Мы видим также, что К (1) является интегральным оператором типа того оператора, который обычно используется в методе Хартри—Фока (см. разд. 5.1 и 5.3). Оба рассматриваемых оператора — это кулоновский и обмен- [c.233]

Постулат о равновесной функции распределения. Равновесная функция распределения в фазовом пространстве является одновременно и наиболее пероятной. Она осуществляется наибольшим числом способов, совместимым с заданными условиями определения ансамбля. Практическое использование этого постулата см. 3. Важнейшим общим свойством плотности вероятности в фазовом пространстве р(р, д) оказалась ее полная нечувствительность для равновесных систем к изменениям импульсов и координат отдельных молекул при движении системы по фазовой траектории. Общие свойства функции р(р, д) оказались достаточно простыми, что и позволило разработать статистический метод определения термодинамических величин для равновесных систем. Основное внимание мы уделим каноническому ансамблю Гиббса и канонической функции распределения р(р,д). Для нахождения вида функции р(р, д) необходимо использовать теорему Лиувилля, описывающую системы, подчиняющиеся уравнениям классической механики. [c.194]

В настоящий момент объем пор представляет суммарный объем пустых пор за вычетом пространства, занятого адсорбционным полимолекулярным слоем. В уравнении (3.41) неизвестна только функция распределения размеров по L r), но, так как она входит под знак интеграла, определить ее довольно трудно. В первоначальных исследованиях [39, 44] для этого подбирались функции распределения специального вида, а в более поздних работах [40, 44, 47—52] применялось численное интегрирование. Ввиду ряда неточностей, которые неизбежно сопутствуют применению уравнения Кельвина для расчета размеров пор, чрезмерное улучшение методики расчета, по-видимому, не является необходимым (ниже мы рассмотрим метод Пирса [41], модифицированный Орром и Далла Валле [54] он достаточно прост, но в то же время обеспечивает необходимую степень точности). [c.187]

Метод моделей. Аргон и ртуть но своим свойствам одни из наиболее простых жидкостей. Взаимодействие атомов аргона между собой зависит только от расстояния между ними и не зависит от их ориентации в пространстве. Тем же свойством обладают и атомы ртути. Грубая модель простейших или идеальных жидкостей может быть получена следующим образом. Наполним коробку стальными шариками так, чтобы между ними оставались свободные промежутки. Каждый шарик будет представлять собой модель атома. Отталкивательные силы, действующие между атомами, в этой модели аппроксимируются жесткими объемами шаров, а силы притяжения—стенками коробки, не позволяющими шарам разлетаться в стороны. Если коробку встряхивать, то шары будут перемещаться. Пусть какие-либо два шарика будут окрашены в черный цвет, а остальные—в белый. Наблюдая взаимное расположение черных шариков после каждого встряхивания, Можно, повторив встряхивание большое число раз, получить функцию распределения шаров р (г). Такие опыты в различных вариантах были выполнены Дебаем, Принсом, Мореллем и другими авторами [18]. Оказалось, что функция распределения стальных шариков р г) очень близка к экснериментальной кривой распределения атомов жидкой ртути. [c.127]

В начале главы анализируется вывод основного кинетического уравнения теории изотермической кристаллизации для функции. распределения образований новой фазы по числу содержащихся в А них атомов Z (п, t) и указывается вид этого уравнения для заро-I дышей различной формы (плоское образование, сфера, линзовид-ный диск). Приводятся численные решения задачи для различных J значений ее параметров и при краевых условиях, налагаемых на саму функцию распределения и на поток в пространстве размеров. Показывается, что период нестационарности процесса зависит от вида краевых условий. С помощью полученных решений рассмотрен слоистый рост кристаллов, осуществляемый путем формирования двумерных зародышей. Указывается способ учета конечной скорости тангенциального роста слоя па поверхности растущего кристалла. Приводятся результаты численного решения соответствующих уравнений. Кроме численного интегрирования основное кинетическое уравнение в его простейшем варианте может быть решено путем аналитических расчетов. Приводится специально разработанный аналитический метод решения основного кинетического уравнения и выводится формула для оценки периода нестационарности процесса. [c.17]

Однако решить секулярное уравнение удается только при периодическом расположении элементов решетки, так как при этом уравнение можно существенно упростить (разд. И, 4.2). В случае простой решетки Браве решение секулярного уравнения содержит три частотные ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки и которые называются акустическими ветвями, так как при больших длинах волн они описываются соотношением (П. 117) (где Ср—скорость звука). В случае сложных решеток, элементарная ячейка которых содержит п структурных элементов, к акустическим ветвям добавляются 3(/1—1) оптических ветвей, которые при определенных условиях отделены друг от друга и от акустических ветвей энергетическими щелями. Тот факт, что реальные твердые тела должны иметь конечное значение теплоемкости в противоположность бесконечно большому значению теплоемкости бесконечной решетки, учитывается введением периодических граничных условий и проведением нормирования плотности спектрального распределения к 3N степеням свободы. Колебательный спектр периодической решетки характеризуется наличием особенностей у функции распределения частот. Это обусловлено тем, что в пространстве волнового вектора вследствие дискретности решетки на поверхностях (f) = onst имеются критические точки, групповая скорость в которых равна нулю. [c.60]

Результат (1У.35) мы могли бы получить просто умножением функции распределения (1У.29) на объем сферического слоя 4 vЧv, поскольку все состояния с заданным модулем скорости имеют одну и ту же энергию бпост и равновероятны (изображающие точки частицы в пространстве Vx, Ьу, расположены на сфере). Функция распределения по модулю скорости дается выражением [c.104]

Дальнейшие рентгенографические исследования органических жидкостей привели к представлениям о наличии в относительном расположении частиц ближнего порядка, но отсутствии дальнего порядка, характерного для кристаллов. Стюарт [22] ввел понятие о сиботактических областях, содержащих лабильные микрокристаллические образования в последних относительная ориентация частиц сохраняет достаточную правильность. Эти области не резко ограничены и непрерывно переходят одна в другую. Представления Стюарта сменились затем рассмотрением интегрального статистического распределения плотности частиц в жидкости. На основе рентгенографических данных для сравнительно простых жидкостей можно построить функцию распределения, характеризующую расположение в пространстве структурных единиц жидкости (атомов, молекул, групп). [c.26]

Пусть /о описьшает состояние простого газа в фазовом пространстве в момент времени предположим, что для всех функция распределения / определяется уравнением Больцмана [c.79]

Исследуя уравнения кинетической теории, Гильберт [100] доказал теорему единственности, к изложению которой мы теперь приступим. Прежде всего отметим, что если не учитывать движения молекул из одной области пространства в другую, то функция распределения в результате столкновений становится максвелловской за время порядка нескольких времен между столкновениями. Более того, если макроскопические градиенты малы, распределение по скоростям молекул, попадающих в некоторую небольшую область, слабо отличается от распределения молекул, вылетающих из этой области различие приводит к изменениям, заметным лишь в макроскопической шкале времени, упомянутой в начале настоящей главы. Таким образом, столкновения играют основную роль в релаксации газа к состоянию теплового равновесия. Чтобы подчеркнуть это, введем малый параметр е, придающий большее влияние столкновительному члену. При этом для простого газа вместо уравнения (4.1.1) мы записьгеаем [c.118]

Конкретный вид как функции, так и элемента объема определяется той системой координат, которая принята для описания изучаемой системы В декартовой системе координат элемент объема есть куб со сторонами с1х, [у и йг Тогда выражение длv= f x,y,z,t) дiXдiyAz есть вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом объеме 4У =<1д ф с12 с центром в точке с координатами х,у, z Считаем, что в пределах выделенного объема (1К значение функции и квадрат ее модуля не меняются Перемещая точку х,у,гв пространстве декартовых координат, можно построить поверхность (или карту) распределения функции плотности вероятности или просто вероятности (умножая чгр каждый раз на величину малого постоянного объема) в различных сечениях пространства возможного существования функции у (пребывания частицы) [c.13]

И через б(х) обозначена б-функция Дирака. В приведенной записи представляет потенциал, создаваемый пространственным зарядом с плотностью распределения С(г). Для наших вычислений необходимо знать потенциал только в области пространства, занимаемого адсорбированной молекулой. Поэтому можно заменить распределение С(г), зависимость которого от волновой функции адсорбента выражается через матрщу плотности г), каким-нибудь более простым распределением заряда С(г), создающим в области, в которой находится адсорбированная молекула, потенциал, по возможности близкий к У (р). Для нахонодения 5(г) моншо использовать экспериментальные данные об адсорбенте, а именно данные о структуре его поверхностного слоя, о распределении заряда в поверхностном слое адсорбента и о характере электростатического поля, создавае-ваемого адсорбентом в области, доступной адсорбируемым молекулам. [c.40]

Согласно принципам волновой механики, квадрат собственной волновой функции (т. е. орбитали) представляет собой вероятность нахождения электрона в данной области пространства, или среднюю электронную плотность. Величину я-электронной плотности на низшей орбитали можно определить просто возведением в квадрат функции ф1. В верхней части рис. 9 схематически изображено распределение в пространстве квадрата этой функции. На рисунке отчетливо видно, что электроны на орбитали ф1 чаще всего находятся около центральных атомов углерода. В противоположность этому, электроны на орбитали фг (нижняя часть рис. 9) сосредоточены в основном вблизи концевых атомов. Сумма ф и Фз распределена в пространстве равномерно вокруг всех четырех атомов углерода, т. е. я-электронная плотность полностью делокализо-вана по всему углеродному скелету молекулы. [c.17]

Простейшим недетерминированным методом является построение сетки в пространстве переменных и локальный спуск из каждой точки сетки. Если сетка достаточно густа, то таким способом могут быть найдены все локальные минимумы, после чего остается лишь сравнить их по величине. Разумеется, это слишком дорогой метод, поскольку при его реализации функция должна быть вычислена слишком много раз. Более эффективен метод случайных испытаний. Вместо построения сетки случайным образом выбрасывают точки в пространстве переменных и из них производят локальные спуски. Если о структуре функции заранее что-нибудь известно, то задается распределение выбрасываемых точек. Наконец, распределение может быть найдено в процессе накопления опыта по проведенным испытаниям около точек, имеющих низкие значения энергии, случайные точки выбрасываются чаще, в других областях — реже. Такая процедура, сочетающая в себе черты недетерминированных и детерминированных методов, применялась в работе [194] при поиске глобального минимума бТкрытой пептидной системы, состоящей из 10 аланиновых остатков (поиск велся в пространстве 20 переменных — углов вращения). При достаточно большом числе испытаний точки, соответствующие низким значениям энергии, могут быть найдены, но никогда нет уверенности в том, что точка с минимальной энергией соответствует истинному минимуму. [c.138]

Действительно, вопрос о физическом смысле Ч -функции стал после открытия уравнения Шредингера одним из центральных. Вокруг него долго велись горячие споры. Сам Шредингер связывал с волновой функ1щей некоторое непрерывное распределение электрического заряда, представляя электрон как размазанную в пространстве заряженную массу. Он думал,-писал о Шредингере М. Борн,-что осуществил возврат к классическому мышлению. Он рассматривал электрон не как частицу, но как некоторое распределение плотности которое давалось квадратом модуля его волновой функции Ч . Он считал, что следует полностью отказаться от идеи частиц и квантовых скачков и никогда не сомневался в правильности этого убеждения. Я, напротив, имел возможность каждодневно убеждаться в плодотворности концепции частиц, наблюдая за блестящими опытами Дж. Франка по ато шым и молекулярным столкновениям, и был убежден, что частицы нельзя просто упразднить. Следовало найти путь к объединению частиц и волн. Я видел связующее звено в идее вероятности... [c.33]